1、 1数列的综合应用一、单选题1等比数列的前 n 项和，前 2n 项和，前 3n 项的和分别为 A，B，C，则()A+=ABCB=BAC2C+=ABCB2)(D+=+ABA BC22)(2数列 an是各项均为正数的等比数列，数列 bn是等差数列，且=ab56，则 A+aabb3748B+aabb3748C+aabb3748D+=+aabb37483设 Sn 为等差数列 an的前n 项和，若=+SSS543，且=a11，则 S10=（）A45B55C81D1004已知数列 an满足+=+aann301，=a342，则 an的前 10 项和等于A6(1 3)10B9(1 3)110C3(1 3)10
2、D+3(1 3)105已知数列 an的通项公式=ann3sin，则+=aaaaaaaaaaa1245781011132829 A0B 3C 3D23 6已知 an是首项为 2 的等比数列，Sn 是其前 n 项和，且=SS646536，则数列anlog2前 20 项和为（）A360B380C360D3807已知函数=+f xx2()113，则+ffff20212021202120211220192020 的值为（）A1B2C2020D20218已知正项数列 an的前n 项和为 Sn，且=a11，N=+aSnnnn2112*)(，设数列+a ann11的前n 项和为Tn，则Tn 的取值范围为 A2
3、0,1B(0,1)C 2(,1)1D 2,1)19已知数列 an是1为首项，2 为公差的等差数列，bn是1为首项，2 为公比的等比数列，设=canbn，2022 高考 2=+TcccnNnn.,(*)12，则当T n2019时，n 的最大值是 A9B10C11D12 10在等差数列 an中，=a91，=a15记=Ta aa nnn(1,2,)12，则数列 Tn（）A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项 C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项 11我们把=+Fnn212=n0,1,2,)(叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）设=aFnnlog12)(，=n1,2,3,，设数列 an的前n
4、 项和为 Sn，则使不等式+SSSSnn2021 2123成立的正整数n 的最小值是（）A8B9C10D11612科技创新离不开科研经费的支撑，在一定程度上，研发投入被视为衡量“创新力”的重要指标.“十三五”时期我国科技实力和创新能力大幅提升，2020 年我国全社会研发经费投入达到了 24426 亿元，总量稳居世界第二，其中基础研究经费投入占研发经费投入的比重是 6.16%.“十四五”规划纲要草案提出，全社会研发经费投入年均增长要大于 7%，到 2025 年基础研究经费占比要达到 8%以上，请估计 2025 年我国基础研究经费为（）A1500 亿元左右B1800 亿元左右C2200 亿元左右D
5、2800 亿元左右 二、多选题13已知数列 an的首项为 4，且满足+=+nananNnn2(1)01*)(，则（）Anan为等差数列 B an为递增数列 C an的前n 项和=+Snnn(1)241D+ann21 的前n 项和=+Tnnn22 14已知正项数列 an的首项为 2，前n 项和为 Sn，且+=+SaSaaaannnnnnn21111)()(，+=+aabnnn211，数列 bn的前n 项和为Tn，若Tn16，则n 的值可以为（）A543B542C546D544 315在数列 an中，若+=+aannn31，则称 an为“和等比数列”设 Sn 为数列 an的前n 项和，且=a11，
6、则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（）A=a43120202020B=a43120202021C=S83120212022D=S8312021202316下面是按照一定规律画出的一列“树形图”其中，第 2 个图比第 I 个图多 2 个“树枝”，第 3 个图比第 2 个图多 4 个“树枝”，第 4 个图比第 3 个图多 8 个“树枝假设第n 个图的树枝数为an，数列 an的前n 项和 Sn，则下列说法正确的是（）A=ann21B=+aannn21C=Sannn2D+=+aaaaannn21135212三、填空题17在等比数列 an中，a4 1，a24，a7 成等差数列，则+=+aaaa119
7、35_.18若数列 an满足=a11，=+aannn121，则=an_ 19已知等比数列an的前 n 项积为 Tn，若=a241，=a984，则当 Tn取最大值时，n 的值为_.20数列+=n nan11)(的前n 项和为 Sn，若 S1，Sm，Sn 成等比数列m1)(，则正整数n 值为_.21设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列已知数列an+bn的前 n 项和N=+Snnnnn21()2，则 d+q 的值是_ 22某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm 12dm，20
8、dm 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和=S240dm12，对折 2 次共可以得到5dm 12dm，10dm 6dm，20dm 3dm三种规格的图形，它们的面积之和=S180dm22，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为_；如果对折n 次，那么=Skkn1_dm2.2022 高考 4四、解答题23设数列 an的前n 项和为 Sn，且=a11，_，在以下三个条件中任选一个填入以上横线上，并求数列+aSnn1的前n 项和Tn =+aSnn221；=+aann211；=+Sann211 24已知数列an和bn满足 a1=1，b1=0，=+aabnnn4341，=+bbannn4
9、341.（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.25设 an是公比不为 1 的等比数列，a1为 a2，a3的等差中项（1）求 an的公比；（2）若=a11，求数列 nan的前n 项和 526设等比数列an满足+=aa412，=aa831（1）求an的通项公式；（2）记 Sn 为数列log3an的前 n 项和若+=+SSSmmm13，求 m 27设 an是首项为 1 的等比数列，数列 bn满足=bnann3 已知a1，a32，a93 成等差数列（1）求 an和 bn的通项公式；（2）记 Sn 和Tn 分别为 an和 bn的前 n 项和证明：TSnn2
10、28等比数列 an的各项均为正数，且+=aaaa a231,9123262.（1）求数列 an的通项公式；（2）设 bnlog3a1log3a2log3an，求数列bn1的前n 项和Tn.2022 高考 629已知数列 an是公差不为零的等差数列，其前n 项和为 Sn，满足=S396，且a2，a4，a12 成等比数列.（1）求数列 an的通项公式；（2）若=+bannan2，求数列 bn的前n 项和Tn.30已知 an为等差数列，bn为等比数列，=abaaabbb1,5,411543543)()(（）求 an和 bn的通项公式；（）记 an的前n 项和为 Sn，求证：N+S SSnnnn212
11、*)(；（）对任意的正整数n，设数偶为数奇为=+bnaca anabnnnnnnn,.,32112)(求数列 cn的前 n2 项和 7参考答案1D 2B 3D 4C 5A 6A 7C 8D 9A 10B 11B 12D 13BD 14AB 15AC 16BC 17 41 18+nn22 194 208 214 225 +nn272015 34)(23【解析】选条件时，因为=+aSnn221，所以=+SSSnnn221，所以=+SSnn321，整理得+=+SSnn1311)(，所以+Sn1为首项为 2，公比为 3 的等比数列，所以+=Snn1231，即=Snn2 311 因为=+aSnn221，
12、所以=+=+SaSnnnn22 3111，所以数列+aSnn1的前n 项和+=+Tnn2 32 32 31 11011)()(=+nn31 即=+Tnnn31 选条件时，=+aann211；整理得：+=+aann1211)(，故数列+an1是以+=a121为首项，2 为公比的等比数列 所以=ann21，故=+ann2111，所以=+aSnnnnnn2 121121111，所以+aSnn1为等差数列，所以数列+aSnn1的前n 项和=+=+Tnnn nn222113)()(选条件时，由于=+Sann211，当n2 时，=+Sann211，2022 高考 8得：=+aann31，所以数列 an是以
13、1为首项，3 为公比的等比数列，所以=Snnn1 321 331，则=+aSSnnnnn221131331，所以数列+aSnn1的前n 项和+=+Tnn2222333133312)(=+nn43361 即=+Tnnn43361 所以=+Tnnn43361 24【解析】(1)由题意可知=+aabnnn4341，=+bbannn4341，+=ab111，=ab111，所以+-+-+=+=+ababbaabnnnnnnnn3442244311，即=+ababnnnn2111)(，所以数列+abnn是首项为1、公比为 21 的等比数列，+=-abnnn211)(，因为-=+-=-+-+ababbaab
14、nnnnnnnn44343444811)(，所以-=-+ababnnnn211，数列abnn是首项1、公差为 2 的等差数列，-=-abnnn21(2)由(1)可知，+=-abnnn211)(，-=-abnnn21，所以=+-=+-aababnnnnnnn222111)(，=12 +()=12 +12 25【解析】（1）设 an的公比为q，a1为 a a,23的等差中项，=+=aaa aqq2,0,2012312，=qq1,2；（2）设 nan的前n 项和为 Sn，=aann1,(2)11，=+Snnn1 12(2)3(2)(2)21，=+Snnnnn21(2)2(2)3(2)(1)(2)(2
15、)231，得，=+Snnnn31(2)(2)(2)(2)21 9=+nnnnn1(2)3(2)1(2)1(13)(2)，=+Snnn91(13)(2).26【解析】（1）设等比数列 an的公比为q，根据题意，有=+=a qaaa q8411211，解得=qa311，所以 ann=31；（2）令=nbannn31loglog313，所以=+Snnn nn22(01)(1)，根据+=+SSSmmm13，可得+=+m mm mmm222(1)(1)(2)(3)，整理得=mm5602，因为m0，所以=m6，27【解析】因为 an是首项为 1 的等比数列且a1，a32，a93 成等差数列，所以=+aaa
16、69213，所以=+a qaa q691112，即+=qq96102，解得=q31，所以=ann3()11，所以=bnannnn33.（2）证明：由（1）可得=Snnn31231(1)3311(1)1，=+Tnnnnn333312121，=+Tnnnnn333331121231，得=+Tnnnn33333321111231 =+nnnnnn3132331(1)3311(1)1111，所以=Tnnnn432 3(1)31，所以=TSnn2=nnnnnn432 3432 3(1)(1)03131，所以TSnn2.28【解析】（1）设数列an的公比为 q,2022 高考 10由 a32 9a2a6得
17、a32 9a42,所以 q2 91.由条件可知 q0,故 q 31.由 2a13a21 得 2a13a1q1,所以 a1 31.故数列an的通项公式为 ann31.（2）bnlog3a1log3a2log3an（12n）+n n21)(.故+=bn nnnn1121211)(.+=+=bbbnnnnn223112111111111212所以数列bn1的前 n 项和为+nn12 29【解析】（1）设等差数列 an公差为d d0)(，=Sad26+396 561 =ad221351，a2，a4，a12 成等比数列得：+=adadad()(11)(+3)1112,整理得：+=da d3012,d0，
18、=da3 1,由解得：=d3，=a11，=+=annn1 3134)(（2）由（1）得：=+bnnn23434,由于=nadann228221)(为常数,数列an2 为公比为8 的等比数列，=+Tnnn2222(1)253412534)(=+nnn1 821 3421 81)()(=+nnn14221483512.30【解析】()设等差数列 an的公差为d，等比数列 bn的公比为 q.由=a11，=aaa5543)(，可得 d=1.从而 an的通项公式为=ann.由=bbbb1,41543)(，11又 q0，可得+=qq4402，解得 q=2，从而 bn的通项公式为=bnn21.()证明：由(
19、)可得=+Sn nn2(1)，故=+S Sn nnnnn4(1)(2)(3)12，=+Snnn41211222)()(，从而=+S SSnnnnn2(1)(2)01212，所以+S SSnnn212.()当 n 为奇数时，+=+a an nnncnabnnnnnnnn(2)2(32)222322111)(，当 n 为偶数时，=+bcnannnn2111，对任意的正整数 n，有+=kknckkknnkkn212121 122211212222，和=+=cknnkkknnknn444444211352321112312 由得=+=+cnnknnkn44444411352321142312 由得=+=+cnnknnnknn41444444414431222112112112112，由于=+nnnnnnnn4144334444123 4144121221121156512111，从而得：=+=cnknkn99 456512.因此，+=+=+=ncccnkkknkkknnnn219 4946541112122.所以，数列 cn的前 2n 项和为+nnnn219 494654.