1、考点 04平面向量一、单选题1（2020黑龙江香坊哈尔滨市第六中学校高三三模（理）已知向量(1,2),(,1)abk且()aab，则 k （）A1B2C 3D 2【答案】C【解析】1,1abk，因为()aab，故 11210k ，故3k .故选：C.2（2020赤峰二中高三三模（理）如图所示，在 ABC中，ADDB，点 F 在线段CD 上，设 ABa，ACb，AFxayb，则 141xy的最小值为（）A62 2B6 3C64 2D32 2【答案】D【解析】解：2AFxaybxADyAC C，F，D 三点共线，21xy 即12yx 由图可知0 x 21412111xxyxxxx 令 21xf x
2、xx，得 22221xxfxxx，令 0fx 得21x 或21x （舍）当021x 时，0fx，当21x 时，0fx 当21x 时，f x 取得最小值 22212121f32 2.故选 D 3（2019河北辛集中学高三月考（理）设向量(,1)ax，(1,3)b，且 ab，则向量3ab与b 的夹角为（）A 6B 3C 23D 56【答案】D【解析】向量,1ax，1,3b，且ab，则30,3a bxx,3(3,1)ab 3(1,3)(0,4),(3)0 14(3)4 3abb ,34,2abb,设向量3ab与b 的夹角为，则(3)4 33cos4 223abbabb ，50,6，选 D.4（201
3、9合肥市第九中学高三其他（理）若向量(0,2)m，(3,1)n，则与2mn共线的向量可以是（）A(3,1)B(1,3)C(3,1)D(1,3)【答案】B【解析】0,2,3,1mn23,3mn31,33,33 故选 B5（2020陕西西安高三二模（理）已知向量5,am，2,2b，若a bb，则实数m ()A-1B1C2D-2【答案】B【解析】因为向量5,am，2,2b 所以3,2abm，因为abb，所以0abb所以6220m 解得1m .故选：B.6（2020宁夏兴庆银川二中高三月考（理）在ABC 中，若 AB2 BC2=AB AC，则ABC 是（）A等腰三角形B直角三角形 C等腰直角三角形D等
4、边三角形【答案】B【解析】解：22CABBAB AC22coscabcA，化简可得：222cab，ABC 是直角三角形 故选 B 7（2020山东临沭高三期末）已知向量a，b 满足|3a，|2b，|2|2 13ab，则a 与b 的夹角为（）A 6B 4C 2 3D 3【答案】D【解析】222|2|2 13(2)4()4()52ababaa bb 又22()|9,aa22()|4bb=3a b 1cos,2|a ba ba b,3a b8（2020雅安市教育科学研究所高三一模（理）如图，已知 ABC中，D 为 AB 的中点，13AEAC，若 DEABBC，则 （）A56B16C 16D 56【答
5、案】C【解析】因为1123DEDAAEBAAC111111236363BABCBABABCABBC，所以16 ，13.故16.故选：C.9（2020湖南省岳阳县第一中学高三月考）在ABC 中，ABC120，AB3，BC1，D 是边 AC 上的一点，则 BD AC的取值范围是（）A21,12B5 21,22C0,1D21 5,22【答案】D【解析】因为 D 是边 AC 上的一点(包括端点)，设1BDBABC(01)ABC120，AB3，BC1，133 122BA BC ，1BD ACBABCBCBA 22511132BA BCBABCBC BA 01剟，215513222剟.BD AC的取值范围
6、是21 5,22.故选 D.10（2020全国高三一模（理）已知,A B 为抛物线2:4C yx上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若5ABFB，则|AB （）A 252B10C 254D6【答案】C【解析】设1122(,),(,)A x yB xy，则2121,ABxx yy，又(1,0)F，221,FBxy，21255xxx，2125yyy，1212544xxyy，由 222222444 54yxyx，得21144xx，1225|24ABxx.故选 C 11（2020河南高三其他（理）下列命题为真命题的个数是（）xx x 是无理数，2x 是无理数；若0a b，则0a 或0b；命题“若22
7、0 xy，xR，y R，则0 xy”的逆否命题为真命题；函数 xxeef xx是偶函数.A1B2C3D4【答案】B【解析】对于中，当2x 时，22x 为有理数，故错误；对于中，若0a b，可以有 ab，不一定要0a 或0b，故错误；对于中，命题“若220 xy，xR，y R，则0 xy”为真命题，其逆否命题为真命题，故正确；对于中，xxxxeeeefxf xxx，且函数的定义域是(,0)(0,)，定义域关于原点对称，所以函数 xxeef xx是偶函数，故正确.综上，真命题的个数是 2.故选：B.12（2020河南开封高三二模（理）己知平行四边形 ABCD 中，2ABAD，60DAB，对角线 A
8、C与 BD 相交于点O，点 M 是线段 BC 上一点，则OM CM的最小值为（）A916B 916C12D 12【答案】A【解析】如图所示，以 BD 的中点为坐标原点，以 BD 所在直线为 x 轴，以CA 所在直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则(1,0),(0,3)BC，所以直线 BC 的方程为33yx，设点(,33)M xx，(10)x，所以(,33),(,3)OMxxCMxx，所以2223343OM CMxxxxx，当38x 时，OM CM取到最小值916.故选：A.13（2018河南洛阳高三二模（理）在 ABC中，点 D 在线段 BC 上，且2BDDC，点O 在线段CD 上（与
9、点C，D 不重合）若1AOxABx AC，则 x 的取值范围是（）A0,1B 2,13C10,3D 1 2,3 3【答案】C【解析】1AOxABx ACx ABACAC，即COx CB.COxCB，2BDDC,即3BCDC,103CDxCB，x 的取值范围是10,3，故选 C.14（2020江西宜春高三其他（理）如图，在四边形 ABCD 中，/AB CD，ABAD，22ABADCD，E 是 BC 边上一点且3BCEC，F 是 AE 的中点，则下列关系式不正确的是（）A12BCABAD B1133AFABADC1233BFABAD D1263CFABAD【答案】C【解析】对于 A，因为1122B
10、CBAADDCABADABABAD ，所以 A 正确；对于 B，因为11122223AFAEABBEABBC，而12BCABAD，代入可得，1133AFABAD，所以 B 正确；对于 C，因为 BFAFAB，而1133AFABAD，所以2133BFABAD，C 不正确；对于 D，因为12CFCDDAAFABADAF，而1133AFABAD，代入得，1263CFABAD，所以 D 正确；故选：C 15（2020河北高三其他（理）已知1,0AB，2,2BC 若ABACBC且10AC，则的值为（）A4 2B 4 2C6 2D 6 2【答案】B【解析】因为1,2ACABBC，所以105102AC，00
11、ABACBCABACBCAB BCAC BC，即 2603，因而，44 2 故选：B 16（2020湖南高三三模（理）在等腰梯形 ABCD 中，/ABCD，2ABCD，E，F 分别为 BC，CD的中点，则（）A92105AEACBFB4255AEACBFC3144AEACBFD3144AEACBF【答案】A【解析】根据题意，作图如下：设 AEACBF，因为 ACADDC，113()222AEACABADDC，32BFBAADDFADDC，所以133()222AEADDCADDCADDC，即133222ADDCADDC，所以123322 ，解得91025，即92105AEACBF.故选：A17（
12、2020河北桥西邢台一中高三月考（理）如图，圆O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 为劣弧 AC 的中点，则OD （）A 2133BAACB 2133BAACC 1233BAACD 4233BAAC【答案】A【解析】解：连接 BO，易知 B，O，D 三点共线，设OD 与 AC 的交点为 E，则221121332333ODBOBEBABCBABAACBAAC.故选：A.18（2020广西贵港高三其他（理）在直角ABC 中，ABAC，|3AB，|2AC，2AEEB，AFFC，设 BF 与 CE 交于 G，则cos,AG AE （）A 1010B 3 1010C 35D 45【答案】B【解析】
13、如图，以 A 为原点建立坐标系，则3,0B，0,2C，2,0E，0,1F，所以直线 CE 的方程为20 xy，直线 BF 的方程为330 xy，解20330 xyxy，得3212xy 3 1(,)2 2AG，(3,0)AB，93 102cos,10532AG AB 故选：B19（2020上海市建平中学高三月考）已知单位向量,a b，且0a b，若0,1t，则5|()|(1)()12t baabt ab的最小值为（）A19312B1312C2D1【答案】B【解析】由题知,a b 是单位向量,且0a b,故不妨取(1,0)a,(0,1)b r,设5|()|(1)()12Tt baabt ab 5(
14、1,1)(1,0)0,(1)(1,1)12tt 22227(1)(1)12tttt 22227(1)(1)12tttt设(,)P t t,(0,1)A,71,12B,则T 表示动点(,)P t t 到两定点7(0,1),1,12AB的距离之和,所以|TPAPBAB22713111212,故选:B.20（2020岳麓湖南师大附中高三三模（理）设 a，b，c 分别是 ABC 的内角 A，B，C 的对边，已知sinsinsinbcACacAC，设 D 是 BC 边的中点，且 ABC 的面积为 3，则ABDADB等于()A2B4C 4D 2 【答案】A【解析】sinsinsinbcACacAC，由正弦
15、定理可得：bacbcac（），整理可得：b2+c2a2=-bc，由余弦定理可得：cosA=12，由 A（0，），可得：A=23，又 ABC 的面积为 3，即12323bcsin ,bc=4,又 ABDADBDBDADADB=2DB-2DA=24CB-24ABAC=24ABAC-24ABAC=4?4AB AC=AB AC=-bccosA=2.故选 A.二、填空题21（2020南岗黑龙江实验中学高三二模（理）已知向量4,2a，,1b，若2ab与ab的夹角是锐角，则实数 的取值范围为_【答案】111,22,111【解析】向量(4,2)a，(,1)b，2(42,4)ab，(4,1)ab，若2ab与ab
16、的夹角是锐角，则2ab与 ab不共线，且它们乘积为正值，即 42441，且 2(42,4)(4,1)abab220420，求得111111，且2 22（2020全国高三其他（理）若两单位向量 a，b 的夹角为 3，则向量2 ab在 a 方向上的投影为_【答案】32【解析】由已知得向量2ab在 a 方向上的投影为212223212abaab aaa 故答案为:3223（2020江苏高三其他）已知向量1,3a，2,1b ，3,2c.若向量c 与向量kab共线，则实数 k _.【答案】1【解析】向量1,3a，2,1b ，向量=2,31kabkk,又3,2c，且向量c 与向量kab共线，3 3122,
17、kk 解得1k ,故答案为：1.24（2020五华云南师大附中高三其他（理）在ABC 中，2 3AB，O 为三角形的外接圆的圆心，若(,)AOxAByAC x yR，且21xy，则ABC 的面积的最大值为_.【答案】6【解析】如图，取 AC 的中点 D，因为 AOxAByAC，所以2AOxAByAD，因为21xy，所以,B O D 三点共线，因为O 是三角形的外接圆的圆心，所以 BDAC.设 ADDCm，则212(02 3)BDmm，所以2222221(12)212(12)622ABCmmSmmmm，当且仅当2212mm，即6m 时取等.故答案为：625（2020全国高三其他（理）已知向量,1
18、axr，2,1bxr，2/aba，则 x _.【答案】2 或 1 【解析】因为向量,1axr，2,1bxr，2/aba 222,3abxx，所以223xx x，220 xx，2x或 1.故答案为:2 或 1.26（2020浙江高三月考）已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a ba，记3144cab，当,b c的夹角取得最大值时，|ab的值为_【答案】4【解析】由非零平面向量,a b 不共线，且满足24a ba，建立如图所示的平面直角坐标系：则(2,0),(2,),0ABb b，则(2,0),(2,)abb，由3144cab，则(2,)4bC，则直线,OB OC 的斜率分别为,2 8b
19、b，由两直线的夹角公式可得：33328tanBOC848122822bbbbbbbb，当且仅当 82bb，即4b 时取等号，此时(2,4)B，则(0,4)ab，所以|4ab，故填：4.27（2020江苏广陵扬州中学高三其他）圆22640 xyxy与曲线213xyx相交于 A，B，C，D四点，O 为坐标原点，则 OAOBOCOD _【答案】4 13.【解析】圆22640 xyxy的圆心为 M（-3，2），圆22640 xyxy关于 M（-3，2）中心对称，又曲线215y233xxx，关于（-3，2）中心对称，圆22640 xyxy与曲线213xyx的交点关于（-3，2）中心对称，不妨设 A 与
20、B，C 与 D 关于（-3，2）中心对称，则2OAOBOM，2OCODOM,OAOBOCOD 44 944 13OM，故答案为4 13.28（2018上海高考真题）已知实数1x、2x、1y、2y 满足：22111xy，22221xy，121212x xy y，则11221122xyxy的最大值为_【答案】23【解析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），由 x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，可得 A，B 两点在圆 x2+y2=1 上，且OA OB=11cosAOB=12，即有AOB=60，即三角形 OAB 为等边三角
21、形，AB=1，1112xy+2212xy的几何意义为点 A，B 两点 到直线 x+y1=0 的距离 d1与 d2之和，显然 A，B 在第三象限，AB 所在直线与直线 x+y=1 平行，可设 AB：x+y+t=0，（t0），由圆心 O 到直线 AB 的距离 d=2t，可得 2212t=1，解得 t=62，即有两平行线的距离为6122=232，即1112xy+2212xy的最大值为2+3，故答案为2+3 29（2020南岗黑龙江实验中学高三三模（理）如图，在ABC 中，13BBCD，点 E 在线段 AD 上移动（不含端点），若 AEABAC，则12的取值范围是_【答案】(10,3)【解析】解：由题
22、可知，13BBCD，设01AEmADm，则13AEm ABBC13m ABBAAC，所以2133AEm ABm AC，而 AEABAC，可得：21,33mm，所以1323mm01m，设 33mf xm01m，由双钩函数性质可知，f x 在0,1 上单调递减，则 1101333f xf，所以12的取值范围是(10,3).故答案为：(10,3).30（2020天津高考真题）如图，在四边形 ABCD 中，60,3BAB，6BC，且3,2ADBCAD AB，则实数 的值为_，若,M N 是线段 BC 上的动点，且|1MN，则 DM DN的最小值为_【答案】16132ADBC，/AD BC，180120BADB，cos120AB ADBC ABBCAB136 3922 ，解得16，以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 xBy，66,0BCC，,3,60ABABC，A 的坐标为3 3 3,22A,又16ADBC,则5 3 3,22D，设,0M x，则1,0N x（其中05x），53 3,22DMx，33 3,22DNx，222533 321134222222DM DNxxxxx，所以，当2x 时，DM DN取得最小值132.故答案为：16；132.