1、第21讲 不等式的性质、解法及应用1考题展望不等式的性质、简单不等式的解法及应用常以客观题的形式出现，而含绝对值的不等式(性质、解法及应用)，基本不等式有时以小题呈现，也有可能渗透在函数、数列、导数的综合问题中，以考查数学思想方法的灵活运用及分析问题和解决问题的能力2高考真题考题1(2012 福建)下列不等式一定成立的是()Alg(x214)lgx(x0)Bsinx 1sinx2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1x211(xR)【解析】选 C.对于 A：当 x12时，两边相等，故 A 错误；对于 B：具有基本不等式的形式，但是 sinx 不一定大于零，故 B 错误；对于 C：x212
2、|x|x22x10(x1)20，显然成立；对于 D：任意 x都不成立故选 C.【命题立意】本小题主要考查基本不等式和不等式的性质及分析能力考题2(2012 浙江)设 a0，b0，()A若 2a2a2b3b，则 abB若 2a2a2b3b，则 abC若 2a2a2b3b，则 abD若 2a2a2b3b，则 ab【解析】选A.若2a2a2b3b，必有2a2a2b2b.构造函数：f(x)2x2x，则f(x)2xln220恒成立，故有函数f(x)2x2x在x0上单调递增，即ab成立其余选项用同样方法排除故选A.【命题立意】本小题主要考查不等式的性质和指数函数的性质，考查创新意识和推理论证能力考题3(2
3、012 江苏)已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于 x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为_【解析】9.由值域为0，)，当 x2axb0 时有a24b0，即 ba24，f(x)x2axbx2axa24(xa2)2.f(x)(xa2)2c 解得 cxa2 c，ca2x ca2 不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，(ca2)(ca2)2 c6，解得 c9.【命题立意】本小题主要考查二次函数和二次不等式的解法，考查转化化归思想f(x)(xa2)2c 解得 cxa2 c，ca2x ca2 不等式 f(x)n b(开方法则)性质 10：ab0，
4、ab1a1b(倒数法则)二、基本不等式均值不等式：如果 a，bR，那么ab2 abab(ab2)2(当且仅当 ab 时取“”)三、证明不等式的基本方法有三种：1比较法；2.综合法；3.分析法此外证明不等式的方法还有：反证法、放缩法、构造函数利用函数的单调性证明不等式四、基本不等式的解法(1)一元二次不等式的解法形如ax2bxc0和ax2bxc0(其中a0)的解法如下表(2)简单对数不等式的解法：当 a1 时，logaf(x)logag(x)f（x）0g（x）0f（x）g（x）当 0a1 时，logaf(x)logag(x)f（x）0g（x）0f（x）g（x）(3)简单指数不等式的解法：当 a1
5、 时，af(x)ag(x)f(x)g(x)当 0a1 时，af(x)ag(x)f(x)g(x)1不等式的性质及应用例1(1)下列不等式不一定成立的是()Aa2b22abBa232aCx1x2(x0)D.ab2 a2b22C【解析】由于 a2b22ab(ab)20，因此 a2b22ab 一定成立 由 a232a(a1)220，因此 a232a一定成立 由 a2b22ab2(a2b2)(ab)2a2b22(ab2)2a2b22|ab2|ab2，因此ab2 a2b22一定成立 当 x0 时，x1x2 成立，当 x0 时，x1x2，可知 x1x2 不一定成立故选 C.(2)设 0ba1，则下列不等式成
6、立的是()Aabb21 Ba2ab1C.12(12)a(12)bDlog12blog12a0C【解析】由 ab0abb2，可知 A 不正确；由 ab0a2ab，可知 B 不正确；由于 y(12)x 为减函数，由 0ba1 得(12)0(12)b(12)a(12)1，可知C 正确；由于 ylog12x 为减函数，又 0ba1 得 log12blog12a0，可知 D 不正确故选 C.(3)设条件 p：实数 m、n 满足2mn40mn3；条件 q：实数 m、n 满足0m12n3，则()Ap 是 q 的充分不必要条件Bp 是 q 的必要不充分条件Cp 是 q 的充要条件Dp 既不是 q 的充分条件又
7、不是 q 的必要条件B【解析】由0m12n3 2mn40mn3，但当m32n1时，满足2mn40mn3 但不满足0m12n3，故选 B.【点评】在分析推导有关不等式问题时，必须严格遵循不等式的性质，即不等式的性质是解不等式，证明不等式的工具2基本不等式的解法及应用例2(1)设函数 f(x)2x1，x1x22x2，x1，若 f(x0)1，则 x0的取值范围是(，1)1，)【解 析】由 题 设 得：x01x022x021 或x012x011，解得 x01 或 x01 故 x0 的取值范围是(，1)1，)(2)已知0a1，函数f(x)loga(a2x2ax2)，则使 f(x)0 的 x 的取值范围是
8、【解析】由 f(x)0 得a2x2ax20a2x2ax21(ax)22ax30(ax3)(ax1)0ax3xloga3.即 x 的取值范围是(，loga3)(，loga3)(2)已知0a1，函数f(x)loga(a2x2ax2)，则使 f(x)0 的 x 的取值范围是【解析】由 f(x)0 得a2x2ax20a2x2ax21(ax)22ax30(ax3)(ax1)0ax3xloga3.即 x 的取值范围是(，loga3)(3)定义：若关于 x 的不等式 f(x)0 和 g(x)0 的解集分别是(a，b)和(1b，1a)，则称这两个不等式为对偶不等式已知不等式 x24 3xcos2 20与不等式
9、 2x24xsin2 10 为对偶不等式，且(2，)，那么 56【解析】设方程 x24 3xcos220 的两根为 x1，x2，方程 2x24xsin210 的两根为 x3，x4.由题意148cos2280216sin2280即cos2216sin2212 且 x1 与 x2 同号，x3 与 x4 同号 由韦达定理，x1x24 3cos2，x1x22，x3x4 1x1 1x2x1x2x1x2 4 3cos222 3cos22sin2 即 tan2 3.又(2，)，所以 2(，2)从而 253，即 56满足和.故 56为所求【点评】解简单基本不等式一定要注意执行解相应不等式的算法思想，同时讲究不
10、等式转化的等价性A3均值不等式及应用例3(1)已知二次函数 f(x)ax22xc(xR)的值域为0，)，则a1c c1a 的最小值为()A4 B4 2C8 D8 2【解析】由于 f(x)ax22xc 的值域为0，)，则 a0 且 44ac0，即 a0，ac1，从而 c0.所以a1c c1a a11a1a1a a2 1a2a1a2a1a2a1a4，当且仅当 a1a即 a1 时，等号成立故选 A.(2)已知 x0，y0 且2x1y1，若对任意 x0，y0，不等式 x2ym22m 恒成立，则实数m 的取值范围是【解析】x0，y0，2x1y1 x2y(x2y)(2x1y)44yx xy424yx xy
11、8.(4，2)(2)已知 x0，y0 且2x1y1，若对任意 x0，y0，不等式 x2ym22m 恒成立，则实数m 的取值范围是【解析】x0，y0，2x1y1 x2y(x2y)(2x1y)44yx xy424yx xy8.当且仅当4yx xy，即 x2y 时取等号 由x2y2x1y1 得 x4，y2 时，(x2y)min8.故 m22m8.解得4m2，即 m 的取值范围是(4，2)【点评】应用均值不等式求最值时，注意“条件是否满足，和(或积)是否为定值，等号是否可取”这三要素同时注意恰当“转化”，应用均值不等式解决问题当且仅当4yx xy，即 x2y 时取等号 由x2y2x1y1 得 x4，y
12、2 时，(x2y)min8.故 m22m8.解得4m2，即 m 的取值范围是(4，2)【点评】应用均值不等式求最值时，注意“条件是否满足，和(或积)是否为定值，等号是否可取”这三要素同时注意恰当“转化”，应用均值不等式解决问题4不等式的证明及应用例4设函数 f(x)x2axb(a、b 为实常数)已知不等式|f(x)|x2x2|对一切 xR 恒成立，定义数列an：a12，anf(an1)3(n2，nN*)(1)求 a、b 的值；(2)求证：（n1）24an5(32)n13(nN*)【解析】(1)由xR，都有|f(x)|x2x2|(x2)(x1)|得 f(2)0，f(1)0.即42ab01ab0，
13、解得a1b2.(2)由(1)得 f(x)x2x2.当 n2 时，anf(an1)3an1 an11.an(an112)234(an112)2 an an112 即 an an112(n2，nN*)于是当 n2 时，an a1(a2 a1)(a3 a2)(an an1)n12 2n12 即 n2，nN*时，an（n1）24 又 anan11 an11an11an123232an1 从而 an332(an13)(n2，nN*)于是，当 n2 时，an332(an13)(32)2(an23)(32)n1(a13)5(32)n1 即 an5(32)n13(n2，nN*)又当 n1 时，（11）24a1
14、25(32)113.故对一切 nN*，不等式（n1）24an5(32)n13 恒成立【点评】本例是一道数列和不等式的综合题，求解的难点在于怎样找到放缩的递推关系，在求解时，必须对问题的目标结构有一个比较清晰的认识对问题的求解方向有一个比较明确的预测，这一点需要在平时的解题过程中逐步积累，形成能力备选题例5已知函数 f(x)x22xalnx(x0)，f(x)的导函数是 f(x)对任意两个不相等的正数 x1，x2，证明：(1)当 a0 时，f（x1）f（x2）2f(x1x22)；(2)当 a4 时，|f(x1)f(x2)|x1x2|.【解析】(1)由 f(x)x22xalnx，得 f（x1）f（x
15、2）212(x12x22)(1x1 1x2)a2(lnx1lnx2)12(x12x22)x1x2x1x2 aln x1x2.f(x1x22)(x1x22)24x1x2alnx1x22.而12(x12x22)14(x12x22)2x1x2(x1x22)2.又(x1x2)2(x12x22)2x1x24x1x2，x1x2x1x2 4x1x2.x1x2x1x22，ln x1x2lnx1x22.又a0，aln x1x2alnx1x22.由、得 12(x12 x22)x1x2x1x2 alnx1x2(x1x22)24x1x2alnx1x22，即f（x1）f（x2）2f(x1x22)(2)证法一：由 f(x
16、)x22xalnx，得 f(x)2x 2x2ax，|f(x1)f(x2)|(2x1 2x12 ax1)(2x2 2x22 ax2)|x1x2|22（x1x2）x12x22 ax1x2|.即|f(x1)f(x2)|x1x2|22（x1x2）x12x22ax1x2|1.下面证明对任意两个不相等的正数 x1、x2，有 22（x1x2）x12x22 ax1x21 恒成立，即证 ax1x22（x1x2）x1x2成立 x1x22（x1x2）x1x2x1x24x1x2.设 t x1x2，u(t)t24t(t0)，则 u(t)2t4t2，u(t)33 43 1084a.x1x22（x1x2）x1x2a.对任意
17、两个不相等的正数 x1、x2，恒有|f(x1)f(x2)|x1x2|.证法二：前面同证法一，下面证|22（x1x2）x12x22 ax1x2|1，x1、x2 是两个不相等的正数，22（x1x2）x12x22 ax1x224（x1x2）3 ax1x224（x1x2）3 4x1x2.设 t1x1x2，u(t)24t34t2(t0)，u38271.即 22（x1x2）x12x22 ax1x21，|f(x1)f(x2)|x1x2|22（x1x2）x12x22 ax1x2|x1x2|.【点评】不等式的证明题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐在题目的设计上，常常将不等式的证明与函数、数列综合在一
18、起，意在考查逻辑推理能力比较法、分析法、综合法是不等式证明的最基本方法，而放缩法、数学归纳法、构造函数法这三种方法却是高考的重点考查内容之一u38271.即 22（x1x2）x12x22 ax1x21，|f(x1)f(x2)|x1x2|22（x1x2）x12x22 ax1x2|x1x2|.【点评】不等式的证明题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐在题目的设计上，常常将不等式的证明与函数、数列综合在一起，意在考查逻辑推理能力比较法、分析法、综合法是不等式证明的最基本方法，而放缩法、数学归纳法、构造函数法这三种方法却是高考的重点考查内容之一1不等式的性质是解不等式和证明不等式的基础依据，应
19、熟练掌握，并会区分哪些是充分的，哪些是充要条件的命题2在解不等式的过程中充分运用不等式的性质及相关知识，把原不等式等价转化为易解的不等式对不等式变形时，要注意不等式的同解性，即注意保持字母的允许值范围不发生变化，解含参数不等式时，注意对参数分类讨论，做到不重不漏3利用均值不等式求最值时，要切实注意三要，即“一正、二定、三等号”4不等式的证明方法灵活多变，技巧性和综合性很强，在证一个不等式时，经常涉及到两种或多种基本方法(如比较法、分析法、综合法)的综合，有时需要进行适当放缩或构造函数，有时还需利用反证法、数学归纳法等等1不等式x2xx2x 的解集是()A(0，2)B(，0)C(2，)D(，0)
20、(0，)A2下面四个条件中，使 ab 成立的充分而不必要的条件是()Aab1 Bab1Ca2b2Da3b3A3 设 函 数 f(x)log2x，x0，log12（x），x0.若f(a)f(a)，则实数 a 的取值范围是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C(1，0)(1，)D(，1)(0，1)C【解析】当 a0 时，由 f(a)f(a)得：log2alog12a，即 log2alog21a，即 a1a，解得 a1；当 af(a)得：log12(a)log2(a)，即 log2(1a)log2(a)，即1aa，解得1a0，b0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，则1a1b的最小值为(
21、)A8 B4 C1 D.14【解析】3是 3a 与 3b 的等比中项，(3)23a3b，即 33ab，ab1.此时1a1baba abb 2(baab)22B【解析】3是 3a 与 3b 的等比中项，(3)23a3b，即 33ab，ab1.此时1a1baba abb 2(baab)224(当且仅当 ab12时取等号)，故选 B.5设 0b(ax)2的解集中的整数恰有 3 个，则()A1a0 B0a1C1a3 D3a(ax)2(xb)2(ax)20(1a)xb(1a)xb0.若1 b1a或 x b1a，可知不止三个整数解；C5设 0b(ax)2的解集中的整数恰有 3 个，则()A1a0 B0a1
22、C1a3 D3a(ax)2(xb)2(ax)20(1a)xb(1a)xb0.若1 b1a或 x b1a，可知不止三个整数解；若 0a b1a或 x1，有(xb)2(ax)2(1a)xb(a1)xb0，则 ba1x b1a.又 0b1a，不等式的解集中的整数为2，1，0，故3 ba12，则有 2a2b3a3，即2a2b0，解得 1a0，a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10 上，其中 mn0，则1m2n的最小值为【解析】由已知得函数 yloga(x3)1 的图象恒过点(2，1)，代入 mxny10 中，得 2mn1.又 mn0，m0，n0，(1m2n)(1m2n)(2mn)22
23、mn2 2mn8.86函数 yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10 上，其中 mn0，则1m2n的最小值为【解析】由已知得函数 yloga(x3)1 的图象恒过点(2，1)，代入 mxny10 中，得 2mn1.又 mn0，m0，n0，(1m2n)(1m2n)(2mn)22mn2 2mn8.当且仅当n2m，2mn1，即m14n12时等号成立，故所求最小值为 8.7设 a0，b0，称 2abab为 a，b 的调和平均数如图，C 为线段 AB上的点，且 ACa，CBb，O 为AB 中点，以 AB 为直径作半圆过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D.连结
24、 OD，AD，BD.过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E，则图中线段 OD 的长度是 a，b 的算术平均数，线段的长度是 a，b 的几何平均数，线段的长度是 a，b 的调和平均数CDDE【解析】在 RtADB 中，DC 为高，则由射影定理可得 CD2ACCB，故 CD ab，即 CD 的长度为 a，b 的几何平均数；在 RtOCD 中，CD ab，ODab2 代入DECD2OD可得，ED 2abab，故 DE 的长度为 a，b 的调和平均数8若实数 a，b，c 满足 2a2b2ab，2a2b2c2abc，则 c 的最大值是【解析】2ab2a2b2 2ab，2ab4.又2a2b2c2abc，2
25、ab2c2ab2c，2log238若实数 a，b，c 满足 2a2b2ab，2a2b2c2abc，则 c 的最大值是【解析】2ab2a2b2 2ab，2ab4.又2a2b2c2abc，2ab2c2ab2c，2c2ab(2c1)，2c2c12ab4，12c43，c2log23.9已知函数 f(x)ax，g(x)lnx，其中 aR.(1)若函数 F(x)fsin(1x)g(x)在区间(0，1)上为增函数，求 a 的取值范围；(2)设 ansin1（n1）2，求证：k1nakln2.【解析】(1)F(x)asin(1x)lnx，F(x)acos(1x)1x.9已知函数 f(x)ax，g(x)lnx，
26、其中 aR.(1)若函数 F(x)fsin(1x)g(x)在区间(0，1)上为增函数，求 a 的取值范围；(2)设 ansin1（n1）2，求证：k1nak0，当 a0 时，显然 F(x)acos(1x)1x0 恒成立 当 a0 时，即 F(x)acos(1x)1x01axcos(1x)恒成立 设 h(x)xcos(1x)，显然，h(x)xcos(1x)在 x(0，1)上单调递增，h(x)maxh(1)1.由1a10a1.综上，a 的取值范围是(，1(2)由(1)知，当 a1 时，F(x)sin(1x)lnx 在区间(0，1)上为增函数，当 x(0，1)时，F(x)sin(1x)lnxF(1)0sin(1x)ln1x.令 1xt，则当 t(0，1)时，sintln 11t成立 对kN*，有1（k1）2(0，1)对kN*，有1（k1）2(0，1)aksin1（k1）2ln111（k1）2ln（k1）2k（k2）.