1、第三讲定积分与微积分基本定理题组定积分与微积分基本定理1.2014湖南,9,5分理已知函数f(x)=sin(x-),且023 f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x=56B.x=712C.x=3D.x=62.2014湖北,6,5分理若函数f(x),g(x)满足-11 f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间-1,1上的一组正交函数.给出三组函数: f(x)=sin12x,g(x)=cos12x; f(x)=x+1,g(x)=x-1; f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间-1,1上的正交函数的组数是()A.0 B.1 C.2D.33.2015天津,11,
2、5分理曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.4.2015湖南,11,5分理02 (x-1)dx=.5.2015陕西,16,5分理如图3-3-1,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.图3-3-1A组基础题1.2017贵州省贵阳市高三监测考试,5求曲线y=x2+2与直线y=x+2所围成的封闭图形的面积,其中正确的是()A.S=01 (x2-x)dxB.S=01 (x-x2)dx C.S=01 (y2-y)dyD.S=01 (y-y)dy2.2017重庆市七校高三联考,8已知a=2-13,b=(2log
3、23)-12,c=14 0sin xdx,则实数a,b,c的大小关系是()A.acb B.bac C.abcD.cba3.2018成都市高三摸底测试,1302 (-2sin x)dx=.4.2018郑州一中高三入学测试,13设函数f(x)=ax2+b(a0),若03 f(x)dx=3f(x0),x00,则x0=.5.2017长春市高三质量监测(二),13e 1(x+1x)dx=.B组提升题6.2017湘中名校联考,6设f(x)=1-x2,x-1,1),x2-1,x1,2,则-12 f(x)dx的值为()A.2+43B.2+3 C.4+43 D.4+37.2018辽宁省五校高三上学期联考,15如
4、图3-3-2,点A的坐标为(1,0),函数y=ax2过点C(2,4),若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.图3-3-28.2017太原市三模,14-11 (1-x2+sin x)dx=.9.2017衡阳八中月考,14由曲线y=cos 2x与直线x=12,x=34,y=0所围成的平面图形(图3-3-3中的阴影部分)的面积为.图3-3-310.2016甘肃实战考试,15若f(x)+01 f(x)dx=x,则01 f(x)dx=.答案1.A由定积分023 sin(x-)dx=-cos(x-)023=12cos -32sin +cos =0,得tan =3,所以=3+k(kZ)
5、,所以f(x)=sin(x-3-k)(kZ),由正弦函数的性质知y=sin(x-3-k)与y=sin(x-3)的图象的对称轴相同,令x-3=k+2,则x=k+56(kZ),所以函数f(x)的图象的对称轴为x=k+56(kZ),当k=0,得x=56,故选A.2.C对于,-11 sin12xcos12xdx=-11 12sin xdx=0,所以是一组正交函数;对于,-11 (x+1)(x-1)dx=-11 (x2-1)dx0,所以不是一组正交函数;对于,-11 xx2dx=-11 x3dx=0,所以是一组正交函数.故选C.3.16由题意可得封闭图形的面积为01 (x-x2)dx=(12x2-13x
6、3)01=12-13=16.4.002 (x-1)dx=(12x2-x)02=124-2=0.5.1.2建立如图D 3-3-1所示的直角坐标系,图D 3-3-1可设抛物线的方程为x2=2py(p0),由图易知(5,2)在抛物线上,可得p=254,抛物线方程为x2=252y,所以当前最大流量对应的截面面积为250(2-225x2)dx=403,原始的最大流量对应的截面面积为2(6+10)2=16,所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403=1.2.A组基础题1.B依题意,在同一坐标系下画出曲线y=x2+2与直线y=x+2的图象(图略),注意到它们的交点坐标分别为(0,2)与(1,3),结
7、合图形及定积分的几何意义可知,相应图形的面积可用定积分表示为01 (x-x2)dx,故选B.2.C因为a=2-13=(12)13=(14)16,b=(2log23)-12=3-12=(13)12=(127)16,所以ab,排除B,D;c=14 0sin xdx=-14cos x0=-14(cos -cos 0)=12=(14)12,所以bc,所以abc,选C.3.-2由定积分的概念及微积分基本定理,得02 (-2sin x)dx=2cos x02=-2.4.3依题意得03 f(x)dx=03 (ax2+b)dx=a3x3+bx03=3(ax02+b),即3ax02=9a(a0),x02=3(x
8、00),由此解得x0=3.5.e2+12e 1(x+1x)dx=(x22+lnx)e1=e22+1-12=e2+12.B组提升题6.A-12 f(x)dx=-11 1-x2dx+12(x2-1)dx=1212+(13x3-x)12=2+43,故选A.7.512因为函数y=ax2过点C(2,4),所以a=1,即y=x2,又A(1,0),所以S矩形ABCD=4,阴影部分的面积S1=4-12 x2dx=53,所以在矩形ABCD内随机取一点,此点取自阴影部分的概率P=S1S矩形ABCD=512.8.2-11 (1-x2+sin x)dx=-11 1-x2dx+-11 sin xdx=2+(-cosx)-11=2.9.54由定积分的几何意义知曲边形的面积S=124 cos 2x dx-434 cos 2x dx=12sin2x124-12sin2x434=54.10.1401 f(x)dx是一个常数,设为c,则有f(x)=x-c,x-c+01 (x-c)dx=x,解得c=14.