1、抢分练1(时间:30分钟,满分:24分)1.(本题满分12分)(2022辽宁丹东模拟)已知圆M经过点(0,1),且与直线y=-1相切,圆心M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)经过点N(0,2)且不平行于x轴的直线与C交于P,Q两点,点P关于y轴的对称点为R,证明:直线QR经过定点.2.(本题满分12分)(2022重庆三模)已知f(x)=a2x+ln x+1,g(x)=x(ex+a)(e为自然对数的底数,e2.72,aR).(1)对任意aR,证明:y=f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线始终过定点;(2)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.抢分练11.(1)解 设圆心M(x,y)
2、,根据题意可得,点M到点(0,1)的距离与到直线y=-1的距离相等,即圆心M的轨迹C为以(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线,圆心M的轨迹方程为x2=4y.(2)证明 根据题意可知,直线PQ的斜率存在且不为0.设直线PQ:y=kx+2(k0),Px1,x124,Qx2,x224,则R-x1,x124.联立方程y=kx+2,x2=4y,消去y得x2-4kx-8=0,则=16k2+320,x1+x2=4k,x1x2=-8,直线QR的斜率kQR=x224-x124x2+x1=x2-x14,直线QR的方程为y-x224=x2-x14(x-x2),整理得y=x2-x14x+x1x24,即直线QR的方
3、程为y=x2-x14x-2,则直线QR经过定点(0,-2).2.(1)证明 因为f(x)=a2x+ln x+1,所以f(1)=a2+1,f(x)=a2+1x,所以f(1)=a2+1.所以y=f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线为y=(a2+1)x经过定点(0,0),即y=f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线始终过定点.(2)解 因为f(x)g(x)恒成立,即为a2-axex-lnx-1x对x0恒成立.记h(x)=xex-lnx-1x(x0),只需a2-ah(x)min.h(x)=xex-lnx-1x=xex-lnx-x-1x+1=elnx+x-(lnx+x)-1x+1.不妨设t=ln x+x(x0).因为t=1x+10,所以t=ln x+x在(0,+)上单调递增,当x=1时,t=10;当x=1e时,t=1e-10,解得t0;令y0,解得t0,所以elnx+x-(lnx+x)-1x0,
