1、抢分练2(时间:30分钟,满分:24分)1.(本题满分12分)(2022山西吕梁三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,且过点A2,22b.(1)求椭圆C的方程;(2)斜率为-12的直线l交椭圆C于P,Q两点(不同于点A),记直线PA,QA的斜率分别为k1,k2,证明:k1k2为定值.2.(本题满分12分)(2022江西南昌八一中学三模)已知函数f(x)=ln x+x2-x+m(mR),g(x)=(x-2)ex-x2(其中e为自然对数的底数).(1)若m0,判断函数f(x)的零点的个数,并说明理由;(2)当x(0,1时,f(x)+g(x)0,解得-2m2.又因为k1,
2、k2存在,所以m0,即-2m0或0m0),当x0时,2x2-x+1=2x-142+780,所以f(x)0,f(x)是(0,+)上的增函数.又f(1)=m0,所以x0(1,e-m),使得f(x0)=0,所以函数f(x)有且只有一个零点.(2)当x(0,1时,f(x)+g(x)0,即m(-x+2)ex-ln x+x,令h(x)=(-x+2)ex-ln x+x,x(0,1,所以h(x)=(1-x)ex-1x,当0x1时,1-x0,设u(x)=ex-1x,u(x)在(0,1上单调递增,且u12=e-20,所以存在x012,1,使得u(x0)=0,即ex0=1x0,ln x0=-x0,当x(0,x0)时,u(x)0,h(x)0,h(x)0.所以函数h(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,1)上单调递增.所以h(x)min=h(x0)=(-x0+2)ex0-ln x0+x0=(-x0+2)1x0+2x0=-1+2x0+2x0,又设y=-1+2x+2x(0x1),y=-2x2+2=2(x2-1)x20,所以y=-1+2x+2x在x(0,1)上单调递减,
