1、考点突破练22不等式选讲(选修45)1.(2022河南开封三模)已知函数f(x)=|x-1|+|x+a|-|a-1|的最小值为2.(1)求a的取值范围;(2)若f(a-4)f(2a-3),求a的取值范围.2.(2022陕西宝鸡二模)已知函数f(x)=lg(|x-m|+|x-2|-3)(mR).(1)当m=1时,求函数f(x)的定义域;(2)若不等式f(x)0对于xR恒成立,求实数m的取值范围.3.(2022安徽安庆二模)已知函数f(x)=|2x+4|+|x-1|.(1)求不等式f(x)6的解集;(2)设函数f(x)的最小值为m,正实数a,b满足a2+9b2=m,求证:a+3b26ab.4.(2
2、022云南昆明三模)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.(1)求1a+4b+c的最小值;(2)证明:1-a+1-b+1-c6.5.(2022安徽马鞍山三模)已知函数f(x)=|ax+2|+|2x-a|(aR).(1)当a=1时,求不等式f(x)f(2a-3)得|a-5|3(a-1),即a-53(a-1)或a-53(1-a),解得a0,即等价于x1,3-2x-30或1x0或x2,2x-3-30,解得x3,故函数f(x)的定义域为(-,0)(3,+).(2)由f(x)0对于xR恒成立,得|x-m|+|x-2|-31,即|x-m|+|x-2|4,又|x-m|+|x-2|m-2|,当且仅当(x-m
3、)(x-2)0时等号成立,即|m-2|4,解得m-2或m6,故实数m的取值范围为(-,-26,+).3.(1)解 由条件可知原不等式可化为x1,2x+4+x-16,-2x6,x-2,-(2x+4)-(x-1)6,解得x1;解得x;解得x-3,所以原不等式的解集为(-,-3)(1,+).(2)证明 因为f(x)=|2x+4|+|x-1|=3x+3,x1,x+5,-2x0,b0,而3=a2+9b22a3b=6ab,当且仅当a=3b时,等号成立,于是00,1a+4b+c=1a+41-a=a+(1-a)1a+41-a=5+1-aa+4a1-a5+21-aa4a1-a=9,当且仅当1-aa=4a1-a,
4、即a=13时,等号成立,故1a+4b+c的最小值为9.(2)证明 由柯西不等式可得(1-a)+(1-b)+(1-c)(1+1+1)(1-a+1-b+1-c)2,当且仅当a=b=c=13时,等号成立,即(1-a+1-b+1-c)26,故不等式1-a+1-b+1-c6成立.5.解 (1)当a=1时,不等式f(x)6|x+2|+|2x-1|6,于是有:由x-2,-3x-16,解得-73x-2,由-2x12,-x+312,3x+16,解得12x53,综上得,-73x53,所以不等式f(x)6的解集为-73,53.(2)依题意,f(a-1)=|a2-a+2|+|a-2|=a2-a+2+|a-2|,当-1
5、a2时,a2-a+2-a+2=a2-2a+4=(a-1)2+3,当a=1时,f(a-1)取最小值3,当a=-1时,f(a-1)取最大值7,因此f(a-1)3,7,当2a3时,a2-a+2+a-2=a2在a2,3上单调递增,当a=2时,a2=4,当a=3时,a2=9,f(a-1)4,9,所以f(a-1)的最大值为9,最小值为3.6.(1)解 因为a,b(0,+),a+b=1,x1,x2(0,+),所以x1a+x2b+2x1x233x1ax2b2x1x2=332ab332(a+b2)2=338=6,当且仅当x1a=x2b=2x1x2,a=b,即a=b=12且x1=x2=1时,x1a+x2b+2x1
6、x2有最小值6.(2)证明 (方法一)由a,b(0,+),a+b=1,x1,x2(0,+),及柯西不等式可得(ax1+bx2)(ax2+bx1)=(ax1)2+(bx2)2(ax2)2+(bx1)2(ax1ax2+bx2bx1)2=(ax1x2+bx1x2)2=x1x2,当且仅当ax1ax2=bx2bx1,即x1=x2时取得等号.即证.(方法二)因为a,b(0,+),a+b=1,x1,x2(0,+),所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)=a2x1x2+abx22+abx12+b2x1x2=x1x2(a2+b2)+ab(x22+x12)x1x2(a2+b2)+ab(2x1x2)=x1x2(a2+b2+2ab)=x1x2(a+b)2=x1x2,
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有