1、16.2 抛物线 五年高考 考点 抛物线标准方程及其几何性质 1.(2017 课标全国理改编,10,5 分)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C 交于 A,B 两点,直线 l2与 C 交于 D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为 .答案 16 2.(2016 课标全国改编,5,5 分)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y=(k0)与 C 交于点 P,PFx 轴,则 k=.答案 2 3.(2014 辽宁改编,10,5 分)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一
2、象限相切于点 B,记 C 的焦点为F,则直线 BF 的斜率为 .答案 4.(2014 四川改编,10,5 分)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,=2(其中 O 为坐标原点),则ABO 与AFO 面积之和的最小值是 .答案 3 5.(2017 浙江,21,15 分)如图,已知抛物线 x2=y,点 A(-),B(),抛物线上的点 P(x,y)(-).过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q.来源:学*科*网(1)求直线 AP 斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值.来源:学科网 解析(1)设直线 AP 的斜率为 k,k=-=x-,因为-x
3、0)交于 M,N 两点.(1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有OPM=OPN?说明理由.解析(1)由题设可得 M(2,a),N(-2,a)或 M(-2,a),N(2,a).又 y=,故 y=在 x=2 处的导数值为,C 在点(2,a)处的切线方程为 y-a=(x-2),即 x-y-a=0.y=在 x=-2 处的导数值为-,C 在点(-2,a)处的切线方程为 y-a=-(x+2),即 x+y+a=0.故所求切线方程为 x-y-a=0 和 x+y+a=0.(5 分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设 P(0,b)为
4、符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2.将 y=kx+a 代入 C 的方程得 x2-4kx-4a=0.故 x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而 k1+k2=-+-=-=.当 b=-a 时,有 k1+k2=0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点 P(0,-a)符合题意.(12 分)教师用书专用(79)7.(2013 课标全国理改编,11,5 分)设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C的方程为 .答案 y2=4x
5、或 y2=16x 8.(2014 山东,21,14 分)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时,ADF 为正三角形.(1)求 C 的方程;(2)若直线 l1l,且 l1和 C 有且只有一个公共点 E,(i)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标;(ii)ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.解析(1)由题意知 F().设 D(t,0)(t0),则 FD 的中点为().因为|FA|=|FD|,由
6、抛物线的定义知 3+=|-|,解得 t=3+p 或 t=-3(舍去).由 =3,解得 p=2.所以抛物线 C 的方程为 y2=4x.(2)(i)由(1)知 F(1,0),来源:学&科&网 设 A(x0,y0)(x0y00),D(xD,0)(xD0),因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1,由 xD0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0).故直线 AB 的斜率 kAB=-.因为直线 l1和直线 AB 平行,设直线 l1的方程为 y=-x+b,代入抛物线方程得 y2+y-=0,由题意=+=0,得 b=-.设 E(xE,yE),则 yE=-,xE=,当 4 时,kAE=-=-=-,可
7、得直线 AE 的方程为 y-y0=-(x-x0),由 =4x0,整理可得 y=-(x-1),直线 AE 恒过点 F(1,0).当 =4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0),所以直线 AE 过定点 F(1,0).(ii)由(i)知直线 AE 过焦点 F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+()=x0+2.设直线 AE 的方程为 x=my+1,因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上,故 m=-,来源:Zxxk.Com 设 B(x1,y1),直线 AB 的方程为 y-y0=-(x-x0),由于 y00,可得 x=-y+2+x0,代入抛物线方程得 y2+y-8
8、-4x0=0.所以 y0+y1=-,可求得 y1=-y0-,x1=+x0+4,所以点 B 到直线 AE 的距离为 d=|()-|=4().则ABE 的面积 S=4()()16,当且仅当 =x0,即 x0=1 时等号成立.所以ABE 的面积的最小值为 16.9.(2013 湖南理,21,13 分)过抛物线 E:x2=2py(p0)的焦点 F 作斜率分别为 k1,k2的两条不同直线 l1,l2,且 k1+k2=2,l1与 E 相交于点A,B,l2与 E 相交于点 C,D,以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共弦所在直线记为 l.(1)若 k10,k20,证明:0,k20,k
9、1k2,所以 0k1k2()=1.故 0,所以点 M 到直线 l 的距离 d=().故当 k1=-时,d 取最小值 .由题设得,=,解得 p=8.故所求的抛物线 E 的方程为 x2=16y.三年模拟 A 组 20162018 年模拟基础题组 考点 抛物线标准方程及其几何性质 1.(2017 河北普通高中质量监测,20)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F 与椭圆 C:+=1 的一个焦点重合,点 A(x0,2)在抛物线上,过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 M,N 两点.(1)求抛物线 C 的方程以及|AF|的值;(2)记抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 B,若 =,|BM|2+|B
10、N|2=40,求实数 的值.解析(1)依题意知,椭圆 C:+=1 中,a2=6,b2=5,故 c2=a2-b2=1,故 F(1,0),故 =1,则 2p=4,故抛物线 C 的方程为 y2=4x.将(x0,2)代入 y2=4x,解得 x0=1,故|AF|=1+=2.(2)设 l:x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),来源:Zxxk.Com 联立得 消去 x,得 y2-4my-4=0,所以 -又 =,则(1-x1,-y1)=(x2-1,y2),即 y1=-y2,代入得 -消去 y2得 4m2=+-2.易得 B(-1,0),则 =(x1+1,y1),=(x2+1,y2),则|BM|2+|
11、BN|2=+=(x1+1)2+(x2+1)2+=+2(x1+x2)+2+=(my1+1)2+(my2+1)2+2(my1+my2+2)+2+=(m2+1)(+)+4m(y1+y2)+8=(m2+1)(16m2+8)+4m4m+8=16m4+40m2+16,由 16m4+40m2+16=40,解得 m2=,故+=4,解得=2.2.(2017 江苏南京调研)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=2px(p0)的准线 l 与 x 轴交于点 M,过 M 的直线与抛物线交于A,B 两点.设 A(x1,y1)到准线 l 的距离为 d,且 d=p(0).(1)若 y1=d=1,求抛物线的标准方程
12、;(2)若 +=0,求证:直线 AB 的斜率为定值.解析(1)由条件知,A(-),代入抛物线方程得 p=1.所以抛物线的方程为 y2=2x.(2)证明:设 B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=k()(k0).将直线 AB 的方程代入 y2=2px,消去 y 得 k2x2+p(k2-2)x+=0,所以 x1=-,x2=-.因为 d=p,所以 x1+=p,又 +=0,所以 x1+=(x2-x1),所以 p=x2-x1=-,所以 k2=2-2,所以直线 AB 的斜率为定值.B 组 20162018 年模拟提升题组(满分:30 分 时间:15 分钟)解答题(共 30 分)1.(2017 江苏苏
13、州自主学习测试)已知抛物线 C 的方程为 y2=2px(p0),点 R(1,2)在抛物线 C 上.(1)求抛物线 C 的方程;(2)过点 Q(1,1)作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A,B,若直线 AR,BR 分别交直线 l:y=2x+2 于 M,N 两点,求|MN|最小时直线 AB的方程.解析(1)点 R(1,2)在抛物线 C 上,2p=4,p=2,抛物线 C 的方程为 y2=4x.(2)显然直线 AB 的斜率存在且不为 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 x=m(y-1)+1(m0).由 -消去 x,整理得 y2-4my+4(m-1)=0.-设直线
14、AR 的方程为 y=k1(x-1)+2,由 -得点 M 的横坐标 xM=-,又 k1=-=-=,xM=-=-.同理,点 N 的横坐标 xN=-.|y2-y1|=-=4 -=|xM-xN|=|-|=2|-|=8 -=2 -.令 m-1=t,t0,则 m=t+1,|MN|=2 =2 .|MN|=2(),当 t=-2,即 m=-1 时,|MN|的最小值为 ,此时直线 AB 的方程为 x+y-2=0.2.(2016 江苏常州高级中学调研,23)若抛物线 C 的顶点在坐标原点 O,其图象关于 x 轴对称,且经过点 M(2,2).(1)求抛物线 C 的方程;(2)过点 M 作抛物线 C 的两条弦 MA,M
15、B,设 MA,MB 所在直线的斜率分别为 k1,k2,当 k1,k2变化且满足 k1+k2=-1 时,证明直线 AB 过定点,并求出该定点坐标.解析(1)由题意可设所求抛物线的标准方程为 y2=2px,因为抛物线经过点 M(2,2),故 22=2p22p=2,从而 y2=2x.(2)抛物线的弦 MA,MB 与抛物线交于两点,从而它们所在直线的斜率 k1,k2满足 k10,k20,设 A(xA,yA),B(xB,yB),由 -得 xA=-,yA=-2,同理 xB=-,yB=-2,从而 A,B 所在直线的方程为:-(-)-x-(-)-(-)=0,由 k1+k2=-1,可得:(x+2y+2)+(x+
16、2y+2)-(y+4)k1=0,因为 k1R,所以 解得 x=6,y=-4,所以直线 AB 过定点,且定点坐标为(6,-4).C 组 20162018 年模拟方法题组 方法 直线与抛物线的位置关系 1.(2017 苏北三市三模,22)在平面直角坐标系 xOy 中,点 F(1,0),直线 x=-1 与动直线 y=n 的交点为 M,线段 MF 的中垂线与动直线y=n 的交点为 P.(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程;(2)过动点 M作曲线 E 的两条切线,切点分别为 A,B,求证:AMB 的大小为定值.解析(1)因为直线 y=n 与 x=-1 垂直,所以 MP 为点 P 到直线 x=-1 的距离
17、.连结 PF,因为 P 为线段 MF 的中垂线与直线 y=n 的交点,所以|MP|=|PF|.所以点 P 的轨迹是抛物线.其焦点为 F(1,0),准线为 x=-1.所以轨迹 E 的方程为 y2=4x.(2)证明:由题意知,过点 M(-1,n)的切线斜率存在,设切线方程为 y-n=k(x+1),由 得 ky2-4y+4k+4n=0,所以 1=16-4k(4k+4n)=0,即 k2+kn-1=0(*).因为 2=n2+40,所以方程(*)存在两个不等实根,设为 k1,k2,因为 k1k2=-1,所以AMB=90,为定值.2.(2016 江苏新海中学月考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y
18、2=2px(p0)的准线方程为 x=-,过点 M(0,-2)作抛物线的切线MA,切点为 A(异于点 O).直线 l 过点 M 与抛物线交于 B,C 两点,与直线 OA 交于点 N.(1)求抛物线的方程;(2)+的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.解析(1)由题设,知-=-,即 p=,所以抛物线的方程为 y2=x.(2)设 A(x0,y0),因为函数 y=-的导函数为 y=-,所以直线 MA 的方程为 y-y0=-(x-x0),因为点 M(0,-2)在直线 MA 上,所以-2-y0=-(0-x0).由 -解得 A(16,-4).所以直线 OA 的方程为 y=-x.设直线 BC 的方程为 y=kx-2,B(xB,yB),C(xC,yC),N(xN,yN),由 -得 k2x2-(4k+1)x+4=0,易知 k0,所以 xB+xC=,xBxC=.由 -得 xN=.所以,+=+=2,故 +为定值 2.