1、第 1 页 共 4 页2020 学年度第一学期期中质量调研高二年级数学试题一、单项选择题：本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求1“0 x,2sinxx”的否定是()A0 x,2sinxxB0 x,2sinxxC00 x,002sinxxD00 x,002sinxx2不等式 503xx-+的解集为()A.(,35,)B.3,5C.(,3)5,)D.35(，3设aR,则“1a”是“21a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要4观察数列1,ln 2,sin3,4,ln5,sin6,7,ln8,sin9则该数列的
2、第 23项等于()A.sin21B.ln 20C.sin24D.ln 235算法统宗是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著,在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百一十六,借问大儿多少岁,各儿岁数要谁推.这位公公年龄最大的儿子年龄为()A.9 岁B.12岁C.21岁D.36 岁6不等式22(9)(3)10axax 的解集是空集,则实数 a 的范围为()A.9(3,)5B.9 3,)5C.9 3,5D.9 3,)357已知实数 a,
3、b 满足0ab,则222aaabab的最大值为()A 32B 14C 13D 23第 2 页 共 4 页8已知函数 ln2eexf xxex,若2201820192020202020202020eeeeffff20192ab,其中0b,则 12aab的最小值为()A 34B 54C2D22二、多项选择题：本大题共4 小题,每小题5 分,共 20 分在每小题给出的选项中有多项符合要求全部选对的得5 分,部分选对的得3分,有选错的得0 分9.如果0ab,那么下列不等式正确的()A.11abB.22acbcC.11abbaD.22aabb10.已知 aZ,关于 x 的一元二次不等式220 xxa的解
4、集中有且仅有3 个整数,则 a 的值可以是()A.3B.2C.1D.011.已知数列 na为等差数列,其前 n 项和为nS,且13724aaS,则以下结论正确的有()A.140aB.14S最小C.1116SSD.270S12.将2(3)nn 个数排成 n 行 n 列的一个数阵,如下图：111213212223231323331312nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa该数阵第一列的 n 个数从上到下构成以 m 为公差的等差数列,每一行的 n 个数从左到右构成以 m 为公比的等比数列（其中0m）.已知113a,61131aa,记这2n 个数的和为 S.下列结论正确的有()A.2m B
5、.76713 2aC.1(21)2 jijaiD.(2)21nSn n三、填空题：本大题共 4 小题,每小题5分,共 20 分,第 16 题第一空2 分,第二空3分.13.已知不等式250 xaxb的解集为|14x xx或,则 ab14.已知数列 na为等差数列,nS 为 na的前 n 项和,若213a,324a,则4S 的取值范围是15.已知0,0 xy且26xyxy,若21xymm 恒成立,则非零整数 m 的取值集合是第 3 页 共 4 页16.对于数列 na,若任意*,()m nNmn,都有mnaatmn（t 为常数）成立,则称数列 na具有性质()p t.（1）若数列 na的通项公式为
6、3nna,且具有性质()p t,则t 的最大值为；（2）若数列 na的通项公式为naann,且具有性质(9)p,则实数a 的取值范围是四、解答题：本大题共6 小题共70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分 10 分）已知集合22|8120Ax xaxa,其中0a；集合|(1)(2)0Bxxx=-（1）若1,a 求 AB；（2）若:p xA,:q xB,且 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围18.（本小题满分 10 分）已知等差数列 na的前n项和为nS,nb是各项均为正数的等比数列,14ab,28b,1334bb,是否存在正整数k,使得数列1n
7、S的前k 项和34kT,若存在,求出k 的最小值；若不存在,说明理由.从420S,332Sa,3423aab这三个条件中任选一个补充到上面问题中并作答.（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.）19.（本小题满分 12 分）已知函数()xaf xxb（,a b 为常数）.（1）若1b ,解关于 x 的不等式(2)0f x；（2）若2a,当 1,2x 时,21()()f xxb恒成立,求b 的取值范围.第 4 页 共 4 页20.（本小题满分 12 分）已知数列 na的前 n 项和为nS,11232nnnSa+,*nN,且1a,26a ,29 成等差数列（1）求1a 的值；（2）证明：
8、数列 3nna为等差数列,并求数列 na的通项公式；（3）设3()121nnabgnlo,若对任意的*nN,不等式()()1260nnbnn b 恒成立,试求实数的取值范围21.（本小题满分 12 分）党中央、国务院对节能减排高度重视,各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署,把节能减排作为转换发展方式,经济提质增效,建设生态文明的重要抓手,取得重要进展.新能源汽车环保、节能、以电代油,减少排放,既符合我国国情,也代表了汽车产业发展的方向.为了响应国家节能减排的号召,2020 年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析:全年需投入固定成本2500 万元.每
9、生产 x（百辆）新能源汽车,需另投入成本()C x 万元,且210500,040()100009014300,40 xxxC xxxx.由市场调研知,每辆车售价9 万元,且生产的车辆当年能全部销售完.（1）请写出 2020 年的利润()L x（万元）关于年产量 x（百辆）的函数关系式；（利润 销售 成本）（2）当 2020 年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.22.（本小题满分 14 分）已知各项均为正数的数列 na的前 n 项和为nS,且满足33321212()nnaaaaaa,*nN.（1）求证：22nnnaSa；（2）设1()22nnnca,其前 n 项和为nT,求nT
10、；（3）在（2）的条件下，设322nnnTb,求使不等式1211111121npnbbb对一切2n 且*nN 均成立的最大整数 p.第 1 页 共 6 页2020 学年度第一学期期中质量调研高二数学参考答案及评分标准一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.DDBDDBCA一、多项选择题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.CDBCDACDACD二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.第 16 题第一空 2 分，第二空3 分）13.314.6,1415.116.(1)6(2)16a 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答
11、应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)解：由已知，0a 所以22|8120Ax xaxa|(2)(6)0 xxa xa|26x xaxa或|(1)(2)0Bxxx=-|12xx=2 分(1)当1a 时|26Ax xx或4 分|12Bxx所以|12ABxx5 分(2)|26Ax xaxa或，6 分|12Bxx由已知，p 是 q 的必要不充分条件，可知 BA，7 分所以 2216aa或所以116aa或9 分所以1016aa或10 分18(本小题满分 10 分)解设等比数列 nb的公比为 q（0q），则18bq，38bq，于是 83 84qq ，即2620qq，解得12q，2
12、3q （舍去）.2 分若选：则142ab，414 34202Sad，解得2d 4 分所以2(1)222nn nSnnn，6 分第 2 页 共 6 页1111(1)1nSn nnn，于是12111111111+(1)()()122311kkTSSSkkk 8 分令13114k，解得3k，9 分因为 k 为正整数，所以 k 的最小值为 4.10 分若选：则142ab，113 232(2)2adad，解得12ad.4 分下同.若选：则142ab，113(2)(3)8adad，解得43d.4 分于是2(1)42422333nn nSnnn，6 分1313 11()2(2)42nSn nnn，于是311
13、11111(1)()()()4324112kTkkkk3111(1)4212kk9311()8412kk，8 分令34kT，得111122kk，得240kk所以1172k或1172k9 分又 k 为正整数，解得3k，所以 k 的最小值为3.10 分19(本小题满分 12 分)解：（1）()xaf xxb，1b 所以()1xaf xx所以22(2)02 11xaxaf xxx等价于(1)(2)0 xxa1 分当12a时，即1a 时，不等式的解集为|21xax3 分当12a时，即1a 时，不等式的解集为 4 分第 3 页 共 6 页当12a时，即1a 时，不等式的解集为|12xxa6 分（2）因为
14、2a,21()()f xxb，所以221()(2)1()xxb xxbxb 7 分显然 xb ；由1,2x 时不等式恒成立，可知 2,1b；8 分当 12x 时，2212xxbx9 分令21,4tx，11()()2220p ttttt 10 分（当且仅当1tt即1t 时取等号）所以0b，11 分又因为 2,1b 综上所述，1b .12 分20（本小题满分 12 分）解（1）在1*1232,nnnSanN中令1n，得212232,Sa即2127aa，又212629aa则由解得11a.2 分（2）当2n 时，由111232232nnnnnnSaSa，得到1233,nnnaa则112(2)333nn
15、nnaan 4 分又29a，则21212333aa满足前式5 分3nna数列是以 13为首项，23为公差的等差数列，6 分1221(1)3333nnann所以，即1(21)3nnan.7 分（3）由（2）得nbn当1260nnbnn b恒成立时，即211 260nn（*nN）恒成立8 分设 211 26f nnn（*nN），当1 时，60f nn 恒成立，则1 满足条件；9 分第 4 页 共 6 页当1 时，由二次函数性质知不恒成立；10 分当1 时，由于对称轴 x 1202(1)，则 f n 在1,上单调递减，1340f nf 恒成立，则1 满足条件，11 分综上所述，实数的取值范围是1,.
16、12 分（或分参，酌情给分）21（本小题满分 12 分）解（1）当040 x时，22()9 100105002500104002500L xxxxxx ；2 分当40 x时，1000010000()9 100901430025001800L xxxxxx；4 分所以2104002500,040()100001800,40 xxxL xxxx 5 分（2）当040 x时，2()10(20)1500L xx，当20 x=时，max()1500L x；7 分当40 x时，1000010000()180018002L xxxxx18002001600.9 分（当且仅当10000 xx即100 x 时，
17、“”成立）10 分因为16001500所以，当100 x 时，即 2020 年生产 100 百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为 1600万元.11 分答：（1）2020 年的利润()L x（万元）关于年产量 x（百辆）的函数关系式为2104002500,040()100001800,40 xxxL xxxx（2）当100 x 时，即 2020 年生产 100 百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为 1600万元.12 分第 5 页 共 6 页22（本小题满分 14 分）解（1）33321212()(*)nnaaaaaa3332121121()(2)nnaaaaaan所以32212121
18、()()nnnaaaaaaa(2)nnnaSa2 分又0na 所以22(2)nnnaSa n，又因为由(*)式可得11a 满足前式3 分所以2*2()nnnaSa nN4 分（2）由（1）得21112(2)nnnaSan，所以11()(1)0nnnnaaaa又0na，所以10nnaa，所以11nnaa 所以 na是以 1 位首项，1 为公差的等差数列.所以1(1)1nann 6 分所以122nncn123135122222222nnTn2311331222222222nnnTnn7 分 得：23111 22222nnnTn 23112222212nnn12 121213223122nnnnn.2323nnTn8 分（3）2323222122nnnnnnTbn 9 分由题意得12111111121npbbbn 对*2,nnN 恒成立，10 分记 12111111121nF nbbbn 第 6 页 共 6 页则 12112111111111123111111121nnnbbbbF nnF nbbbn 222248448132123nnnnnnn 0F n，1F nF n，即 F n 是随 n 的增大而增大12 分 F n 的最小值为 82515F，所以8515p，13 分又 pZ，所以max1p.14 分
