1、 9.5双曲线A组20142015年模拟基础题组限时:25分钟1.(2014河北邯郸摸底)若圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在双曲线上,且A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为()A.x29-y272=1B.y29-x272=1C.x216-y281=1D.y281-x216=12.(2014甘肃兰州、张掖两市联考,8)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为()A.x216-y29=1B.x23-y24=1C.x29-y216=1D.x24-
2、y23=13.(2014东北三校第一次联考,11)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(c,0),以原点为圆心,c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A,若此圆在A点处的切线的斜率为33,则双曲线C的离心率为()A.3+1B.6C.23D.24.(2015山东烟台月考)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率为.5.(2014浙江镇海中学期中,13)在平面直角坐标系xOy中,已知A、B分别是双曲线x2-y23=1的左、右焦点,ABC的顶点C在双曲线的右支上,则sinA-sinBsinC的值是.6.(2014云南质检,1
3、6)已知圆M经过双曲线S:x29-y216=1的一个顶点和一个焦点,圆心M在双曲线S上,则圆心M到双曲线S的中心的距离为.B组20142015年模拟提升题组限时:30分钟1.(2015沈阳二中期中)设F1、F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a且PF1F2的最小内角为30,则C的离心率为() A.2B.22C.3D.4332.(2014河南三市第二次调研考试,7)若双曲线x2a-y2b=1(a0,b0)和椭圆x2m+y2n=1(mn0)有共同的焦点F1、F2,P是两条曲线的一个交点,则|PF1|PF2|=() A.m2-a
4、2 B.m-aC.12(m-a) D.m-a3.(2014湖南怀化统一检测,7)过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F作与x轴垂直的直线,分别与双曲线及其渐近线交于点M,N(均在第一象限内),若|FM|=4|MN|,则双曲线的离心率为()A.53 B.65 C.54 D.854.(2014辽宁五校协作体期中,9)已知F1、F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过左焦点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点.若|AB|BF2|AF2|=345,则双曲线的离心率为()A.13 B.15 C.2 D.35.(2014云南两市联考,11)过双曲
5、线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F作圆x2+y2=14a2的切线,切点为E,直线EF交双曲线的右支于点P,若OE=12(OF+OP),则双曲线的离心率为()A.10 B.22 C.2 D.1026.(2015山东实验中学月考)已知点F(c,0)是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,若双曲线C的渐近线与圆F:(x-c)2+y2=12c2相切,则双曲线C的离心率为.7.(2014河南洛阳统考,14)设e1,e2分别是具有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率,P是两曲线的一个公共点,O是F1F2的中点,且满足|PO|=|OF2|,则e1e2e12+e22=.A组
6、20142015年模拟基础题组1.B圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交点A,B都在双曲线上,A,B是双曲线的顶点.令x=0,则y=-3或y=3,令A(0,-3),B(0,3),则a=3.A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分,2c=32a=18,c=9,b2=81-9=72,因此双曲线的标准方程是y29-x272=1.故选B.2.C由题意可知,圆的半径为5,又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y=bax上,因此a2+b2=25,4=3ba,解得a=3,b=4,所以此双曲线的方程为x29-y216=1,故选C.3.A设双曲线的左焦点为F1,依题意知kOA=-3,AOF=23,又|AO|=
7、|OF|=c,|AF|=c2+c2-2c2cos23=3c,又AOF1=3,AF1O为等边三角形,|AF1|=|OF1|=c,由双曲线的定义知|AF|-|AF1|=(3-1)c=2a,e=ca=23-1=3+1,故选A.4.答案53解析由题意知2a+2c=4ba+c=2b=2c2-a2,即a2+2ac+c2=4c2-4a2,得5a2+2ac-3c2=0,(5a-3c)(a+c)=0,则5a=3c,所以e=ca=53.5.答案-12解析由正弦定理知sinA-sinBsinC=|BC|-|AC|AB|,因为A、B分别是双曲线x2- y23=1的左、右焦点,ABC的顶点C在双曲线的右支上,所以|AB
8、|=4,|BC|-|AC|=-2a=-2,所以sinA-sinBsinC=-24=-12.6.答案163解析设圆心M的坐标为(x0,y0),若圆M经过双曲线中心同一侧的焦点和顶点,以右焦点F和右顶点A为例,由|MA|=|MF|知,x0=3+52=4,代入x29-y216=1可得y0=473,故M到双曲线S的中心的距离|MO|=x02+y02=163,若圆M经过双曲线中心异侧的焦点和顶点,此时圆心M不在双曲线上,故不满足题意,所以答案为163.B组20142015年模拟提升题组1.CP点在C上,不妨设在右支上,则|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,因此|PF1|=4a,
9、|PF2|=2a,又|F1F2|=2c2a,所以PF2是最小边,由余弦定理得cos 30=(4a)2+(2c)2-(2a)224a2c=32,整理得c2-23ac+3a2=0,两边同除以a2得e2-23e+3=0,解得e=3,选C.2.D不妨设点P是第一象限内的两曲线的交点,由椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=2m,由双曲线的定义可知,|PF1|-|PF2|=2a,求得|PF1|=m+a,|PF2|=m-a,所以|PF1|PF2|=(m+a)(m-a)=m-a,故选D.3.A由直线FM与x轴垂直可知点M,N与点F横坐标相同,将M(c,|FM|),N(c,|FN|)分别代入到双曲线方程x2
10、a2-y2b2=1(a0,b0)和渐近线方程y=bax中,可求得|FM|=b2a,|FN|=bca,因为|FM|=4|MN|,所以b2a=4bca-b2a,即c=54b,又c2=a2+b2,所以a=34b,所以e=ca=53.4.A|AB|BF2|AF2|=345,ABF2=90.设|AB|=3x,|BF2|=4x,|AF2|=5x(x0),由双曲线的定义知5x-|AF1|=2a,3x+|AF1|-4x=2a,|AF1|=3x,|BF1|=6x,|F1F2|=|BF1|2+|BF2|2=(6x)2+(4x)2=213x,c=13x,而2a=|BF1|-|BF2|=2x,a=x,e=ca=13.
11、5.D设双曲线的右焦点为F1,连结PF1.由OE=12(OF+OP)知,E是FP的中点.又O是FF1的中点,OEPF1,且|OE|=12|PF1|,易知OEFP,PF1FP,|PF|2+|PF1|2=|FF1|2,又|PF1|=a,|PF|=2a+|PF1|=3a,9a2+a2=(2c)2,c2=52a2,e=ca=102,选D.6.答案2解析依题意得,圆心F(c,0)到双曲线C的渐近线的距离等于22c,即有b=22c,c2=2b2=2(c2-a2),c2=2a2,ca=2,即双曲线C的离心率为2.7.答案22解析设P是两曲线在第一象限的公共点,由|PO|=|OF2|=|OF1|可知,PF1F2为直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2,又知|PF1|+|PF2|=2a椭,|PF1|-|PF2|=2a双,即(|PF1|+|PF2|)2=4a椭2,(|PF1|-|PF2|)2=4a双2,化简得4c2+2|PF1|PF2|=4a椭2,4c2-2|PF1|PF2|=4a双2,由+得a椭2+a双2=2c2,又知e1=ca椭,e2=ca双,所以e1e2e12+e22=c2a椭a双c2a椭2+c2a双2=ca双2+a椭2=c2c=22.