1、2.6 函数模型及函数的综合应用 考纲解读 考点来源:学科网来源:Z#xx#k.Com来源:Zxxk.Com 内容解读来源:Z,xx,k.Com 要求来源:学*科*网 五年高考统计来源:学科网来源:Z#xx#k.Com来源:Zxxk.Com 常考题型来源:Z|xx|k.Com来源:Z*xx*k.Com 预测热度来源:学科网 ZXXK来源:Zxxk.Com来源:Z_xx_k.Com 2013 2014 2015 2016 2017 函数模型及函数的综合应用 函数模型建模求解以及函数的综合应用 B 17 题 14 分 解答题 分析解读 应用题是江苏高考的必考内容,试题主要考查实际问题建模求解.五年
2、高考 考点 函数模型及函数的综合应用 1.(2015 四川,13,5 分)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:)满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常 数).若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时,在 22 的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 的保鲜时间是 小时.答案 24 2.(2014 辽宁改编,12,5 分)已知定义在0,1上的函数 f(x)满足:f(0)=f(1)=0;对所有 x,y0,1,且 xy,有|f(x)-f(y)|x-y|.若对所有 x,y0,1,|f(x)-f(y)|k 恒成立,则 k 的最小值为 .答案 3
3、.(2013 课标全国理改编,11,5 分)已知函数 f(x)=-若|f(x)|ax,则 a 的取值范围是 .答案-2,0 4.(2015 江苏,17,14 分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为 l1,l2,山区边界曲线为 C,计划修建的公路为 l,如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得点 M到 l1,l2的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l1,l2的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l2,l1所在的直线分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系 xOy,假设曲线
4、C 符合函数 y=(其中 a,b 为常数)模型.(1)求 a,b 的值;(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t.请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t),并写出其定义域;当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.解析(1)由题意知,点 M,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入 y=,得 解得 (2)由(1)知,y=(5x20),则点 P 的坐标为(),设在点 P 处的切线 l 交 x,y 轴分别于 A,B 点,y=-,则 l 的方程为 y-=-(x-t),由此得 A(),B().故 f(t)=()()=,t5,20.设 g(t)=
5、t2+,则 g(t)=2t-.令 g(t)=0,解得 t=10.当 t(5,10)时,g(t)0,g(t)是增函数;从而,当 t=10 时,函数 g(t)有极小值,也是最小值,所以 g(t)min=300,此时 f(t)min=15.答:当 t=10 时,公路 l 的长度最短,最短长度为 15 千米.5.(2013 课标全国,21,12 分)设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线y=4x+2.(1)求 a,b,c,d 的值;(2)若 x-2 时,f(x)kg(x),求 k 的取值范围
6、.解析(1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2,f(0)=4,g(0)=4.而 f(x)=2x+a,g(x)=ex(cx+d+c),故 b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而 a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则 F(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得 F(0)0,即 k1.令 F(x)=0,得 x1=-ln k,x2=-2.(i)若 1ke2,则-2x10.从而当 x(-2,x1)时,F(x)0.即 F(
7、x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+)上单调递增.故 F(x)在-2,+)上的最小值为 F(x1).而 F(x1)=2x1+2-4x1-2=-x1(x1+2)0.故当 x-2 时,F(x)0,即 f(x)kg(x)恒成立.(ii)若 k=e2,则 F(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).从而当 x-2 时,F(x)0,即 F(x)在(-2,+)上单调递增.而 F(-2)=0,故当 x-2 时,F(x)0,即 f(x)kg(x)恒成立.(iii)若 ke2,则 F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)0.从而当 x-2 时,f(x)kg(x)不可能恒成立.综上,k 的取值
8、范围是1,e2.教师用书专用(67)6.(2017 浙江,17,5 分)已知 aR,函数 f(x)=|-|+a 在区间1,4上的最大值是 5,则 a 的取值范围是 .答案(-7.(2013 天津理改编,8,5 分)已知函数 f(x)=x(1+a|x|).设关于 x 的不等式 f(x+a)t(10),所以当内环线投入 10 列列车运行,外环线投入 8 列列车运行时,内、外环线乘客最长候车时间之差最短.2.(2017 江苏扬州期中,18)如图,某市在海岛 A 上建了一水产养殖中心.在海岸线 l 上有相距 70 千米的 B,C 两个小镇,并且 AB=30 千米,AC=80 千米,已知 B 镇在养殖中
9、心工作的员工有 3 百人,C 镇在养殖中心工作的员工有 5 百人.现欲在 B,C 之间建一个码头 D,运送来自两镇的员工 到养殖中心工作,又知水路运输与陆路运输每百人每千米运输成本之比为 12.(1)求 sinABC 的大小;(2)设ADB=,试确定 的大小,使得运输总成本最少.解析(1)在ABC 中,cosABC=-=-=-,所以 sinABC=.(2)在ABD 中,由 =得 =-,所以 AD=,BD=-=-,设水路运输每百人每千米的运输成本为 k 元,陆路运输每百人每千米的运输成本为 2k 元,k0,则运输总成本 y=(5CD+3BD)2k+8kAD=2k5(70-BD)+3BD+4AD=
10、20k -(-),=20k(-),令 H()=-,(),则 H()=-,令 H()=0,解得 cos=,=.当 0 时,H()0,H()单调递减;当 0,H()单调递增,当=时,H()取得最小值,k0,当=时,y 取得 最小值.此时 BD=-=,满足 0BD70,所以点 D 落在 B,C 之间,符合题意.所以=时,运输总成本最少.答:当=时,运输总成本最少.3.(2017 江苏镇江期末,17)如图,某公园的三条观光大道 AB,BC,AC 围成直角三角形,其中直角边 BC=200 m,斜边 AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 AB,BC,AC 大道上嬉戏,所在位置分别记为点 D,E
11、,F.(1)若甲、乙都以每分钟 100 m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端时即停,乙比甲迟 2 分钟出发,当乙出发 1 分钟后,求此时甲、乙两人之间的距离;(2)设CEF=,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离 的 2 倍,且DEF=,请将甲、乙之间的距离 y 表示为 的函数,并求甲、乙之间的最小距离.解析(1)依题意得 BD=300,BE=100,在 RtABC 中,cos B=,B=,在BDE 中,由余弦定理得:DE2=BD2+BE2-2BDBEcos B=3002+1002-2300100 =70 000,DE=100.答:甲、乙两人之间的距离为 100 m.(2)由
12、题意得 EF=2DE=2y,BDE=CEF=,在直角三角形 CEF 中,CE=EFcosCEF=2ycos,在BDE 中,由正弦定理得 =,即 -=,y=(),0 ,当=时,y 取得最小值 50.答:y=(),0 ,且甲、乙之间的最小距离为 50 m.B 组 20162018 年模拟提升题组(满分:30 分 时间:15 分钟)解答题(共 30 分)1.(2017 江苏南京、盐城一模)如图所示,某街道居委会拟在 EF 地段的居民楼正南方向的空白地段 AE 上建一个活动中心,其中AE=30 米.活动中心东西走向,与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形 ABCD,上部分是以 DC
13、为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长 GE 不超过 2.5 米,其中该太阳光线与水平线的夹角 满足 tan=.(1)若设计 AB=18 米,AD=6 米,问能否保证上述采光要求?(2)在保证上述采光要求的前提下,如何设计 AB 与 AD 的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中 取 3)解析 如图所示,以点 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系.(1)因为 AB=18,AD=6,所以半圆的圆心为 H(9,6),半径 r=9.设太阳光线所在直线的方程为 y=-x+b,即 3x+4y-4b=0,则由 -
14、=9,解得 b=24 或 b=(舍).故太阳光线所在直线的方程为 y=-x+24,令 x=30,得 EG=1.5,因为 1.5OB.现设计师在支架 OB 上装点普通珠宝,普通珠宝的价值为 M,且 M 与 OB 的长成正比,比例系数为k(k 为正常数);在AOC 区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝,名贵珠宝的价值为 N,且 N 与AOC 的面积成正比,比例系数为 4 k.设OA=x,OB=y.(1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写 出 x 的取值范围;(2)求 N-M 的最大值及相应的 x 的值.解析(1)由题意得,AB=y+1,在ABC 中,由余弦定理得,x2+y2-2xycos 120=(y
15、+1)2,解得 y=-.由 x0,y0,xy,得 1x ,所以 x 的取值范围是().(2)M=kOB=ky,N=4 kSAOC=3kx,且 N-M=k(3x-y)=k(-),设 2-x=t,则 t(-),且 N-M=k -=k -()k(-)=(10-4)k.当且仅当 4t=,即 t=时取等号,此时 t(-),x=2-,所以当 x=2-时,N-M 取最大值(10-4)k.C 组 20162018 年模拟方法题组 方法 函数的实际应用题 1.(2018 江苏常熟高三期中)如图所示为自动通风设施.该设施的下部 ABCD 是等腰梯形,其中 AB 为 2 米,梯形的高为 1 米,CD 为 3米,上部
16、 CFD 是个半圆,固定点 E 为 CD 的中点.MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆,且滑动过程中始终保持和 CD 平行.当MN 位于 CD 下方或上方时,通风窗的形状均为矩形 MNGH(阴影部分均不通风).(1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x(且 )米,试将通风窗的通风面积 S(平方米)表示成关于 x 的函数 y=S(x);(2)当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积 S 取得最大值?解析(1)当 0 x1 时,过 A 作 AKCD 于 K(如图).则 AK=1,DK=-=,HM=1-x,由 =2,得 DH=-,HG=3-2DH=2+x,S(x)=HMHG=(
17、1-x)(2+x)=-x2-x+2.当 1x 时,过 E 作 ETMN 于 T,连结 EN(如图).则 ET=x-1,TN=()-=-,MN=2 -,S(x)=MNET=2 -(x-1),综上,S(x)=-(2)当 0 x1 时,S(x)=-x2-x+2=-()+,S(x)在0,1)上递减,S(x)max=S(0)=2.当 1x2,S(x)的最大值为 .故当 MN 与 AB 之间的距离为()米时,通风窗的通风面积 S 取得最大值.2.一个圆柱形圆木的底面半径为 1 m,长为 10 m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形 ABCD
18、(如图所示,其中 O 为圆心,C,D 在半圆上),设BOC=,木梁的体积为 V(单位:m3),表面积为 S(单位:m2).(1)求 V 关于 的函数表达式;(2)当体积 V 最大时,求 的值;(3)当木梁的体积V 最大时,其表面积 S 是否也最大?请说明理由.解析(1)S 梯形 ABCD=sin=sin cos+sin,(),体积 V()=10(sin cos+sin),().(2)V()=10(2cos2+cos-1)=10(2cos-1)(cos+1).令 V()=0,得 cos=,或 cos=-1(舍).(),=.当(时,cos 1,V()0,V()为增函数;当()时,0cos ,V()0,V()为减函数,当=时,体积 V 最大.(3)是.理由如下:木梁的侧面积 S 侧=(AB+2BC+CD)10=20 cos+2sin +1,().S=2S 梯形 ABCD+S 侧=2(sin cos+sin)+20(),().设 g()=cos+2sin +1,().g()=-2sin2 +2sin +2,当 sin =,即=时,g()最大.又由(2)知=时,sin cos+sin 取得最大值,所以=时,木梁的表面积 S 最大.综上,当木梁的体积 V 最大时,其表面积 S 也最大.