1、33 导数在研究函数中的应用33.1 单调性学习目标1.了解函数的单调性与导数的关系2能利用导数研究函数的单调性3会求函数的单调区间 课堂互动讲练 知能优化训练 33.1 课前自主学案 课前自主学案 1函数积的求导公式若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f(x)和g(x)，则f(x)g(x)_特别地，当g(x)k(k为常数)时，有kf(x)_温故夯基f(x)g(x)f(x)g(x)kf(x)2函数商的求导公式若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f(x)和 g(x)，则 fxgx _(g(x)0)特别地 1gxgxg2x.fxgxfxgxgx2一般地，在区间(a，b)内函数的单调性
2、与导数有如下关系：导数 函数的单调性 f(x)0 单调_f(x)0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：不一定成立比如yx3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零也就是说f(x)0是yf(x)在某个区间上是增函数的充分不必要条件问题探究 课堂互动讲练 求函数的单调区间的3种方法：定义法：由x1x2与f(x1)f(x2)的关系求函数f(x)的单调区间图象法：观察图象上升下降，求单调区间导数法：先求原函数的定义域及导函数，再令f(x)0，求单调增区间；f(x)0，在(0,2)上恒成立即可【证明】f(x)1xxlnxx21lnxx2.0 x2，lnxln20.f(x)1lnxx20.根
3、据导数与函数单调性的关系，可得函数f(x)lnxx 在区间(0,2)上是单调递增函数【名师点评】依据导数在某一区间内的符号来确定函数在此区间上的单调性，体现了形象思维的直观性和运动性，解决这类问题，如果仅利用函数单调性的定义来确定函数的单调区间，不仅运算复杂且区间难以找准另外，单调区间不可写成并集的形式互动探究 1 将本例题改为，判断函数 f(x)lnxx 的单调性解：函数的定义域为(0，)，f(x)1xxlnxx21lnxx2.令 f(x)0，即1lnxx20，则 lnx1，解得0 xe，所以当 0 xe 时，f(x)lnxx 单调递增令 f(x)0，即1lnxx21，解得xe，所以当 xe
4、 时，f(x)lnxx 单调递减在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义来确定f(x)的符号，否则会产生错误的判断求含参数的函数的单调区间 已知函数 f(x)2axa21x21(xR)，其中 aR.当 a0 时，求函数 f(x)的单调区间例2【思路点拨】求出f(x)，对a分类讨论【解】f(x)2ax212x2axa21x2122xaax1x212，由于 a0，以下分两种情况讨论(1)当 a0 时，令 f(x)0，得 x11a，x2a.当 f(x)0，即1axa 时，函数 f(x)2axa21x21单调递增；当 f(x)0，即 xa 时，函数 f(x)2axa
5、21x21单调递减所以 f(x)2axa21x21的单调递减区间为，1a 和(a，)，单调递增区间为1a，a.(2)当 a0，即 x1a时，函数 f(x)2axa21x21单调递增；当 f(x)0，即 ax0或f(x)0在该区间上恒成立的问题已知函数的单调性求参数的取值范围(本题满分14分)若函数f(x)x3ax21在0,2内单调递减，求实数a的取值范围【思路点拨】先求出导函数，再利用导数与单调性的关系求解【规范解答】法一：f(x)3x22axx(3x2a)当a0时，f(x)0，故yf(x)在(，)上单调递增，与yf(x)在0,2内单调递减不符，舍去.4分例3当 a0 时，由 f(x)0 得
6、0 x23a，即f(x)的减区间为0，23a.由 yf(x)在0,2内单调递减得23a2 得 a3.综上可知，a 的取值范围是3，).14 分法二：f(x)3x22ax.由 yf(x)在0,2内单调递减知 3x22ax0 在0,2内恒成立.4 分当 x0 时，由 3x22ax0 在0,2内恒成立得 aR；当 x0 时，由 3x22ax0 在0,2内恒成立即 a32x 恒成立，10 分故只需 a32x max，【名师点评】已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；利用不等式的恒成立处理：f(
7、x)在(a，b)上单调，则f(x)0或f(x)0在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立又32x 在0,2上最大值为 2，故 a3.综上可知，a 的取值范围是3，).14 分自我挑战 2 若函数 f(x)13x312ax2(a1)x1 在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数 a的取值范围解：函数f(x)的导数f(x)x2axa1.令f(x)0，解得x1或xa1.当a11，即a2，函数f(x)在(1，)上为增函数，不合题意 当a11，即a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)内为减函数，在(a1，)上为增函数依题意应当x(1,4)时，f(x)0，所以4a16，即5a7，所以a的取值范围是5,71函数的单调性与导数有着直接本质的联系，可以利用导数的正负来确定函数的单调区间2求可导函数f(x)的单调区间的步骤是：(1)求f(x)；(2)解不等式f(x)0或f(x)0；(3)确认并指出递增区间或递减区间3证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的方法是：(1)求f(x)；(2)确认f(x)在(a，b)内的符号；(3)得出结论方法感悟 知能优化训练