1、函数、导数与不等式的问题是新课标高考的命题热点之一，出现频率较高的题型是极值、最值、范围问题，单调性的讨论与不等式的证明等综合问题从考查题型来看，往年高考中既有13道小题，又有12道解答题如2011年全国新课标、2011辽宁卷、2011安徽卷就命制了2道解答题，其它省市各命制1道解答题，且绝大多数试题处在把关题，压轴题的位置涉及的内容大多是函数与不等式、导数知识交汇，主要考查求函数的最值和值域，函数单调性的讨论，解不等式，求参数取值范围及函数零点个数探讨等从考查的知识点来看，函数的单调性是考查重点之一，且单调性和奇偶性有向抽象函数拓展的趋势函数的图象注重考查图象变换(平移变换、伸缩变换、对称变
2、换)及基本初等函数图象的应用对指数函数与对数函数的考查，大多是以函数的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能比较熟练地运用性质进行有关数式的大小比较，方程解的讨论等由于三次函数的导数是二次函数，因此，对于三次函数的问题应特别引起重视不等式重点考查的有四种题型，即解不等式，特别是解含绝对值的不等式，证明不等式，不等式的应用，不等式的综合性问题，突出不等式的知识在解决数学问题和实际问题中的应用价值不等式证明常与函数、数列、导数综合在一起，证明过程中的构造函数法、数学归纳法、放缩法是高考命题的一个热点，其中放缩的“度”的把握更能显出解题的真功夫此外关于连续函数在闭区间上的最值定理及有高等数学背景的函
3、数的凸性问题也值得关注第20讲 基本初等函数的图象、性质及应用1考题展望基本初等函数的图象和性质是高考考查的重点，多以小题形式出现，有时也在实际应用问题或与导数、方程、不等式、数列等知识综合出现在解答题中进行考查，侧重考查函数单调性及综合应用2高考真题考题1(2012 江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的 函 数，在 区 间 1，1 上，f(x)ax1，1x0，bx2x1，0 x1，其中 a，bR.若 f(12)f(32)，则 a3b 的值为_【解析】10.f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，f(1)f(1)，即a1b22 又f(32)f(12)12a1，f(12)b4
4、3，f(12)f(32)，12a1b43 联立，解得，a2，b4.a3b10.【命题立意】本小题主要考查分段函数与周期函数等知识及运算求解能力考题2(2012 山东)函数 y cos6x2x2x的图象大致为()【解析】选 D.函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，令 y0 得 cos6x0，所以 6x2 k，x12k6，函数零点有无穷多个，排除 C，且 y 轴右侧第一个零点为(12，0)，又函数 y2x2x 为增函数，当 0 x12时，y2x2x0，cos6x0，所以函数 y cos6x2x2x0，排除 B，故选 D.【命题立意】本小题主要考查函数的图象与性质及识图能力y2x2x0，co
5、s6x0，所以函数 y cos6x2x2x0，排除 B，故选 D.【命题立意】本小题主要考查函数的图象与性质及识图能力考题3(2012 湖南)已知两条直线 l1：ym 和l2:y82m1(m0)，l1 与函数 y|log2x|的图象从左至右相交于点 A，B，l2 与函数 y|log2x|的图象从左至右相交于点 C，D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a，b，当 m 变化时，ba的最小值为()A16 2B8 2C83 4D43 4【解析】选 B.在同一坐标系中作出 ym，y82m1(m0)，ylog2x 图象如下图，由log2x m，得 x12m，x22m，log2x 82
6、m1，得 x3282m1，x4282m1.依照题意得 a2m282m1，b2m282m1，m82m1m124m1212412312，(ba)min8 2.【命题立意】本小题主要考查对数函数的图象、图象变换和均值不等式等知识，考查运算求解能力和转化化归思想m82m1m124m1212412312，(ba)min8 2.【命题立意】本小题主要考查对数函数的图象、图象变换和均值不等式等知识，考查运算求解能力和转化化归思想1函数的有关概念，函数的三要素2函数的图象、图象变换及应用三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换(1)平移变换函数yf(xa)(a0)的图象可以通过把函数yf(x)的图象向左(a
7、0)或向右(a0)平移|a|个单位而得到；函数yf(x)b(b0)的图象可以通过把函数yf(x)的图象向上(b0)或向下(b0)平移|b|个单位而得到(2)伸缩变换函数yAf(x)(A0，A1)的图象可以通过把函数yf(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)成原来的A倍，横坐标不变而得到函数yf(x)(0，1)的图象可以通过把函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长(01)成原来的，纵坐标不变而得到(3)对称变换函数yf(x)的图象可以通过作函数yf(x)的图象关于x轴对称的图形而得到函数yf(x)的图象可以通过作函数yf(x)的图象关于y轴对称的图形而得到函数yf(x)的图象可以
8、通过作函数yf(x)的图象关于原点对称的图形而得到函数yf(|x|)的图象可以通过作函数yf(x)在y轴右方的图象及其与y轴对称的图形而得到函数y|f(x)|的图象可以通过作函数yf(x)的图象，然后把在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到(3)幂函数的图象及性质对于幂函数yx(R)，当1时，yx的图象是直线；当0时，yx01(x0)的图象是直线(不包括点(0，1)其他一般情况的图象如下表：幂函数的性质()当0时，幂函数yx有下列性质：图象都通过点(0，0)、(1，1)在第一象限内，函数值随x的增大而增大在第一象限内，1时，图象是向下凸的；01时，图象是向上凸的(
9、)当0时，幂函数yx有下列性质：图象都通过点(1，1)；在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向下凸的；在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；4函数的周期性的定义及常用结论一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个x的值：若f(xT)f(x)(T0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期若 f(xa)f(xb)(ab)，则 f(x)是周期函数，|ba|是它的一个周期；若 f(xa)f(x)(a0)，则 f(x)是周期函数，2a 是它的一个周期若 f(xa)1f（x）(a0，且 f(x)0)，则 f(x)是周期函数，2a 是它的一个周期若 f(xa)1f
10、（x）1f（x）(a0 且 f(x)1)，则 f(x)是周期函数，4a 是它的一个周期5函数对称性的几个重要结论一般地，对于函数 f(x)，如果对于定义域内的任意一个 x 的值：若 f(xa)f(bx)，则函数 f(x)的图象关于直线 xab2 对称特别地，若 f(ax)f(ax)，则函数 f(x)的图象关于直线 xa 对称；若 f(ax)f(bx)，则函数 f(x)的图象关于点(ab2，0)中心对称特别地，若 f(ax)f(ax)，则函数 f(x)的图象关于点(a，0)中心对称6对称性与周期性之间的关系周期性与对称性是相互联系、紧密相关的一般地，若f(x)的图象有两条对称轴xa和xb(ab)
11、，则f(x)必为周期函数，且2|ba|是它的一个周期；若f(x)的图象有两个对称中心(a，0)和(b，0)(ab)，则f(x)必为周期函数，且2|ba|为它的一个周期；若f(x)的图象有一对称轴xa和一个对称中心(b，0)(ab)，则f(x)为周期函数，且4|ba|是它的一个周期1函数的概念及表示例1(1)若函数 f(x)（14）x，x（1，0）4x，x0，1，则 f(log43)的值为()A.13B3C.14 D4【解析】log430，1，f(log43)4log433.故选 B.B1函数的概念及表示例1(1)若函数 f(x)（14）x，x（1，0）4x，x0，1，则 f(log43)的值为
12、()A.13B3C.14 D4【解析】log430，1，f(log43)4log433.故选 B.(2)已知函数 f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx.若对任意实数 x，f(x)与 g(x)的值至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是()A(0，2)B(0，8)C(2，8)D(，0)B【解析】当 m0 时，显然不合题设；当 m0 时，f(0)10，又函数 f(x)的对称轴为 x4m2m 若4m2m 0，即 0m4，结论成立 若4m2m 0，即 m4 时，当 4(4m)28m0 时，即可，此时 4m8 综上可得 0m8.故选 B.(3)定义新运算“”如下：当 ab 时，aba，当 ab
13、 时，abb2.设函数 f(x)(1x)x(2x)，x2，2，则函数 f(x)的值域为【解析】由题设 f(x)x2，x2，1x32，x（1，2 当 x2，1时，f(x)4，1，当 x(1，2时，f(x)(1，6，故 f(x)的值域为4，64，6(3)定义新运算“”如下：当 ab 时，aba，当 ab 时，abb2.设函数 f(x)(1x)x(2x)，x2，2，则函数 f(x)的值域为【解析】由题设 f(x)x2，x2，1x32，x（1，2 当 x2，1时，f(x)4，1，当 x(1，2时，f(x)(1，6，故 f(x)的值域为4，6【点评】函数的概念涉及的基本问题一般是定义域、值域、解析式等，
14、命题形式有两种，一种是以基本初等函数为载体构造试题，另一种是以某新定义构建函数2函数的性质及应用例2(1)已知函数 f(x)，g(x)都是 R 上的奇函数，且 F(x)3f(x)5g(x)2.若 F(a)b，则 F(a)【解析】由题设 F(a)3f(a)5g(a)2b.3f(a)5g(a)b2.又 F(a)3f(a)5g(a)23f(a)5g(a)2(b2)24b.4b2函数的性质及应用例2(1)已知函数 f(x)，g(x)都是 R 上的奇函数，且 F(x)3f(x)5g(x)2.若 F(a)b，则 F(a)【解析】由题设 F(a)3f(a)5g(a)2b.3f(a)5g(a)b2.又 F(a
15、)3f(a)5g(a)23f(a)5g(a)2(b2)24b.(2)已知函数 f(x1)是偶函数，若任意 x1、x21，)都有f(x2)f(x1)(x2x1)0 恒成立，设 af(12)，bf(2)，cf(3)，则 a、b、c的大小关系是()Abac BcbaCbca DabcA【解析】由 f(x1)是偶函数可知 yf(x1)的图象关于 y 轴对称，从而 yf(x)关于直线 x1对称 又当 x1、x21，)时，f(x2)f(x1)(x2x1)0，可知 f(x)在1，)上为增函数，又 af(12)f(52)从而 f(2)f(52)f(3)所以 bac，故选 A.(3)若定义在2 012，2 01
16、2上的函数 f(x)满足：对任意 x1，x22 012，2 012有 f(x1x2)f(x1)f(x2)2 011，且 x0 时，f(x)2 011，记f(x)在2 012，2 012上的最大值和最小值为 M、N，则 MN 的值为()A2 011 B2 012 C4 022 D4 024C【解析】令 x1x20 得 f(0)2 011.设2 012x1x22 012，且 x2x1h(h0)，则 f(h)2 011.所以 f(x2)f(x1h)f(x1)f(h)2 011f(x1)可知 f(x)在2 012，2 012上是增函数 故 MNf(2 012)f(2 012)f(2 0122 012)
17、2 011f(0)2 0114 022.【点评】函数的性质指奇偶性，单调性和周期性；函数的奇偶性可以进行函数在其定义域内图象，函数值、解析式和单调性的转化，函数单调性可以比较大小，求函数最值，解不等式；周期性考纲要求是了解，应用时关键是利用周期性转化函数的解析式、图象和性质，同时应注意函数性质的“逆用”3函数的图象及应用例3(1)已知函数 f(x)3x，x1log13x，x1，则函数 yf(1x)的图象大致是()C【解析】由于 yf(x)与 yf(x)的图象关于 y 轴对称 又 yf(x)的图象向右平移 1 个单位得到 yf(x1)即 yf(1x)的图象，而 yf(x)的图象如图 从而可知 y
18、f(1x)的图象应为 C.故选 C.(2)如图，当直线 l：yxt 从虚线位置开始，沿图中箭头方向平行匀速移动时，正方形 ABCD 位于直线 l 下方(图中阴影部分)的面积记为 S，则 S 关于 t 的函数图象大致是()A【解析】设正方形的边长为 a(a0)，依题设可得 S12（at）2，at0a212（at）2，0taa2，ta，可知 S 关于 t 的函数图象应为 A.(3)已知函数 f(x)|lnx|，0 xe（xe1）3，xe，若a、b、c 是互不相等的实数，且满足 f(a)f(b)f(c)，则 abc 的取值范围是(e，e1)【解析】画出函数 f(x)的图象如右 不妨设 abc，由 f
19、(a)f(b)f(c)可知 0a1bece1 又 f(a)lnaf(b)lnb.得 ab1，故 abcc(e，e1)，即 abc 的取值范围是(e，e1)【点评】关于函数图象问题一般有两类，第一类是作图和识图如本例(1)(2)；本例(1)其求解方法可以通过求得解析式后作图，也可利用基本初等函数的图象通过图象变换而求解，还可以利用特殊点和函数图象的增减性与对称性，应用淘汰法求解本例(2)的求解方法有先求解析式后判定和根据函数的定义域和值域的取值范围，并观察函数的增减进行分析推理；第二类是用图，如本例(3)，即利用函数的图象分析研究函数的相关问题4创新问题例4已知 a、b 是实数，函数 f(x)x
20、3ax，g(x)x2 bx 的 导 函 数 分 别 为 f(x)，g(x)，若f(x)g(x)0 在区间 I 上恒成立，则称函数 f(x)和g(x)在区间 I 上单调性一致(1)设 a0，若 f(x)和 g(x)在区间1，)上单调性一致，求 b 的取值范围；(2)设 a0，且 ab，若函数 f(x)和 g(x)在以 a、b 为端点的开区间上单调性一致，求|ab|的最大值【解析】由题设可得 f(x)3x2a，g(x)2xb.(1)由题设知 f(x)g(x)0 在1，)上恒成立 因为 a0，则 3x2a0 恒成立，从而 2xb0.即 b2x 在1，)恒成立，所以 b2，即 b 的取值范围为2，)(
21、2)令 f(x)0 得 xa3 若 b0，由 a0 得 0(a，b)，又因为 f(0)g(0)ab0.所以函数 f(x)和 g(x)在区间(a，b)上不是单调一致的，因此设 b0.当 x(，0)时，g(x)0；当 x(，a3)时，f(x)0.因此 x(，a3)时，f(x)g(x)0.由题设 aa3且 ba3，从而13a0，于是13b0.因此|ab|13，当且仅当 a13，b0 时等号成立 又当 a13，b0 时，f(x)g(x)6x(x219)当 x(13，0)时 f(x)g(x)0，则函数在(13，0)上单调性一致 故|ab|的最大值为13.【点评】本例系新定义创新问题，题设中定义两函数单调
22、性一致的概念，问题求解的策略是将单调性一致转化为恒成立问题，然后推理探究而解决问题备选题例4已知 f1(x)|3x1|，f2(x)|a3x9|，(其 中a为 正 常 数)，xR，且f(x)f1（x），f2（x），f1（x）f2（x）f1（x）f2（x）.(1)当 a1 时，求 f(1)；(2)当 2a9 时，设 f(x)f2(x)所对应的自变量取值区间的长度为 l(注：闭区间m，n的长度定义为nm)，试求 l 的最大值；(3)是否存在这样的 a，使得当 x2，)时，f(x)f2(x)？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】(1)当 a1 时，f2(x)|3x9|.因为当 x
23、(0，log35)时，f1(x)3x1，f2(x)93x，且 f1(x)f2(x)23x1023log3510 25100，所以当 x(0，log35)时，f(x)3x1，且 1(0，log35)，f(1)2.(2)因为 2a9，所以 00，所以由 f2(x)f1(x)(a3x9)(3x1)(a1)3x80，解得 xlog38a1，从而当 log39axlog38a1时，f(x)f2(x)当 0 xlog39a时，因为 a3x90，3x10，所以由 f2(x)f1(x)(9a3x)(3x1)10(a1)3x0，解得 xlog310a1，从而当 log310a1xlog39a时，f(x)f2(x
24、)当 x0，从而 f(x)f2(x)一定不成立 综上得，当且仅当 xlog310a1，log38a1时，f(x)f2(x)，故 llog38a1log310a1log345(1 2a1)从而当 a2 时，l 取得最大值为 log3125.(3)“当 x2，)时，f(x)f2(x)”等 价 于“f2(x)f1(x)对 x2，)恒成立”，即“|a3x9|3x1|3x1(*)对 x2，)恒成立”当 a1 时，log39a2，则当 x2 时，a3x9a3log39a90，则(*)可化为 a3x93x1，即 a1 83x，而当 x2 时，1 83x1，所以 a1，从而 a1 适合题意 当 0a2.(i)
25、当 xlog39a时，(*)可化为 a3x93x1，即 a1 83x，而 1 83x1，所以 a1，此时要求 0a1.(ii)当 xlog39a时，(*)可化为 03x19a1，所以 a(0，9，此时只要求 0a1.(iii)当 2xlog39a时，(*)可化为 9a3x3x1，即 a103x1，而103x119，所以 a19，此时要求19a1.由(i)(ii)(iii)，得19a1 符合题意要求 综合知，满足题意的 a 存在，且 a 的取值范围是19a1.1深刻理解函数的概念的内涵，不仅包括准确理解函数的概念，而且包含了函数的灵活应用2函数图象是函数的直观反映，是数形结合的基础，因此必须熟练
26、掌握函数图象的作法，并能灵活运用图象来分析解决问题常用的作图方法有描点法和变换法解决函数图象问题常用的方法有：函数模型法、定量分析法和定性分析法3讨论函数的性质必须坚持定义域优先原则，对于函数实际问题，注意挖掘隐含实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响4对称性与周期性结论要分清，即“内同表示周期性，内反表示对称性”；中心对称与轴对称的结论不要混淆，“内反外同轴对称，内外都反中心对称”5若函数图象同时具备两种对称性，两条对称轴，或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数一定是周期函数6运用函数性质解题时，应注意：数形结合，扬长避短；等价转化，迅速破解；含参变量，分类讨论，全面考虑1下
27、图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()BAyx13，yx2，yx12，yx1Byx3，yx2，yx12，yx1Cyx2，yx3，yx12，yx1Dyx13，yx12，yx2，yx12设 alog132，blog23，c(12)0.3，则()AabcBacbCbcaDba0，ba(1，0)，|ba|(0，1)，从而函数 ylog|ba|x 为减函数符合题意，而经验证 A，B，C 均不符合，故选 D.4已知函数 f(x)满足：定义域为 R；xR，有 f(x2)2f(x)；当 x1，1时，f(x)|x|1.则方程 f(x)log4|x|在区间10，10内的解的个数是()A20 B12C
28、11 D10【解析】(数形结合)在同一直角坐标系内作出函数f(x)和 ylog4|x|的图象如下图，由图易知，yf(x)与 ylog4|x|的图象在10，0有两个交点，在(0，10内有 9 个交点，故方程 f(x)log4|x|在区间10，10内共有 11 个解4已知函数 f(x)满足：定义域为 R；xR，有 f(x2)2f(x)；当 x1，1时，f(x)|x|1.则方程 f(x)log4|x|在区间10，10内的解的个数是(C)A20B12C11D10【解析】(数形结合)在同一直角坐标系内作出函数f(x)和 ylog4|x|的图象如下图，由图易知，yf(x)与 ylog4|x|的图象在10，
29、0有两个交点，在(0，10内有 9 个交点，故方程 f(x)log4|x|在区间10，10内共有 11 个解C5已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，满足 f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)D【解析】f(x4)f(x)，f(x8)f(x4)4 f(x4)f(x)f(x)，f(x)是以 8 为周期的周期函数 f(80)f(810)f(0)，f(11)f(38)f(3)f(34)f(1)f(1)f(1)，f(25)f8(3)1f(1)f(1)f(x)在区
30、间0，2上递增，f(0)0，f(1)0，f(1)f(0)f(1)，即 f(25)f(80)0)不妨令 h(x)x2lnx，则 h(x)2x1x，令 h(x)0解得 x 22.因当 x(0，22)时，h(x)0，所以当 x 22 时，|MN|达到最小，即 t 22.8设函数 f(x)x2axa3，g(x)ax2a，若x0R，使得 f(x0)0 与 g(x0)0 同时成立，则实数 a 的取值范围是(7，)【解析】由题设知，a24(a3)0，即 a6，且 g(x)ax2a，恒过定点(2，0)当 a0 时，f(x)x23 恒大于 0，显然不成立；当 a0 时，如左图，则a0f（2）7；当 a0 时，如
31、右图，x 对a20，从图形可看出不存在满足要求的 a，显然不成立综上知，a的取值范围为(7，)9已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)x1x2的图象关于点 A(0，1)对称(1)求 f(x)的解析式；(2)若 g(x)f(x)xax，且 g(x)在区间0，2上为减函数，求实数 a 的取值范围【解析】(1)f(x)的图象与 h(x)的图象关于A(0，1)对称，设 f(x)图象上任意一点坐标为 B(x，y)，其关于 A(0，1)的对称点为 B(x，y)，则xx20yy21，xxy2y.B(x，y)在 h(x)上，yx 1x2，2yx1x2，yx1x，即 f(x)x1x.(2)g(x)x2ax1，g(x)在0，2上为减函数，a22，即 a4，a 的取值范围为(，4