1、小题狂练（41）一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知集合，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合后可得它们的交集.【详解】，故.故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算以及一元一次不等式、一元二次不等式的解，考虑集合运算时，要认清集合中元素的含义，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图象.2. 已知复数满足（为虚数单位），则=（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法计算可得，再利用复数的模的计算公式可得.【详解】因为，故，故，故选：C.【点睛】本题考查复数的乘法和除法以
2、及复数的模，注意复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数，本题属于基础题.3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性和指数函数的单调性可得三者之间的大小关系.【详解】因为为增函数，且，故，又为增函数，且，故，又为增函数，且，故，故.故选：D【点睛】本题考查指数幂、对数式的大小关系，此类问题的关键是根据底数的形式构建合理的单调函数，必要时还需利用中间数来传递大小关系.4. 若圆P的半径为1，且圆心为坐标原点，过圆P上一点作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，由
3、勾股定理分析可得，当最小时，最小，由点与圆的位置关系分析的最小值，计算可得答案【详解】由题意可知，点在圆上，圆的圆心，半径过点作圆的切线，切点为，则当最小时，最小又由点在圆上，则的最小值为则的最小值为；故选：B【点睛】本题主要考查了直线与圆位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于中档题5. 九章算术是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少
4、的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设每人分到的钱数构成的等差数列为，公差，由题意可得，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解【详解】解：设每人分到的钱数构成的等差数列为，公差，由题意可得，故，解可得，故任意两人所得的最大差值故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题6. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用，结合选项运用排除法得解【详解】解：，可排除选项；故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特征值的
5、符号是否与选项对应是解决本题的关键7. 窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，轴，现用如下方法等可能地确定点：点满足（其中且，），则点（异于点）落在坐标轴上的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】写出所有可能结果，结合条件找到满足点（异于点）落在坐标轴上的结果，根据古典概率进行求解.【详解】由题意可知所有可能结果有：，共有28种；点（异于点）落在坐标轴上的结果有：，共有8种；所以点（异于点）落
6、在坐标轴上的概率为.故选：D.【点睛】本题主要考查古典概率的求解，求出所有基本事件及符合题意的基本事件是解题关键，侧重考查数学建模的核心素养.8. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上的值域为，则范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，余弦函数的单调性，得出结论【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象；再将各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象若在上的值域为，此时，求得，故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题二、多选题：本题共4小题，每小题5分，
7、共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. 下列命题中，是真命题的是（ ）A. 已知非零向量，若则B. 若则C. 在中，“”是“”的充要条件D. 若定义在R上的函数是奇函数，则也是奇函数【答案】ABD【解析】【分析】对A，对等式两边平方；对B，全称命题的否定是特称命题；对C，两边平方可推得或；对D，由奇函数的定义可得也为奇函数.【详解】对A，所以，故A正确；对B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B正确；对C，所以或，显然不是充要条件，故C错误；对D，设函数，其定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数
8、，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C选项中得到的是的两种情况.10. 已知是定义域为R的函数，满足，当时，则下列说法正确的是（ ）A. 函数是偶函数B. 函数的最小正周期为4C. 当时，函数的最小值为D. 方程有10个根【答案】ABD【解析】【分析】利用偶函数的定义判断A；利用函数周期的定义判断B；根据对称性以及二次函数的性质可判断C；利用数形结合的判断D.【详解】是定义域为R的函数，由，则，即，又，所以，即，所以， 所以函数是偶函数，故A正确；由，根据周期的
9、定义可知函数的最小正周期为4，故B正确；当时，函数的最小值为，由，所以为对称轴，所以当时，函数的最小值为，故C不正确；作出时与的图像，由图像可知时，函数有个交点，又与为偶函数，由对称性可知方程有10个根，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查了函数的性质、求方程的根的个数，考查了数形结合的思想，属于中档题.11. 已知向量，则（ ）A. 若与垂直，则B. 若，则的值为C. 若，则D. 若，则与的夹角为【答案】BC【解析】【分析】利用向量数量积、向量垂直、平行、模、夹角的坐标表示分析每一个选项即可.详解】对于选项A：由，可得，解得，故A错误，对于选项B：由，可得，解得，故B正确；对于选项C：若，
10、则，则，故C正确：若，对于选项D：设与的夹角为，则，故D错误故选:BC【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算及其性质，属于基础题12. ，分别为内角，对边.已知，且，则（ ）A. B. C. 的周长为D. 的面积为【答案】ABD【解析】【分析】根据，利用正弦定理化简得到.然后利用余弦定理化简得到，再结合逐项判断.【详解】，.由余弦定理得，整理得，又，.周长为.故的面积为.故选：ABD【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数在区间内不单调，则k的取值范围是_【答案】【解析】【分析】
11、求解出，采用分类讨论的方法分析的单调性，从而求解出满足题意要求的的取值范围.【详解】因为，且，当时，恒成立，所以在上单调递增，不符合；当时，恒成立，所以在上单调递减，不符合；当时，若，则，若，则，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意，综上可知：.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，其中涉及到根据单调性求解参数范围，难度一般.本例中的“不单调”问题也可以先转化为“单调”问题，求出结果后再取其补集也能得到对应结果.14. 在数列中，且，则_.【答案】676【解析】【分析】对分奇偶讨论，由此得到奇数项和偶数项的规律，按规律即可求解出的值.【详解】当为偶数时，所以偶数项成首项为，
12、公差为等差数列，所以；当为奇数时，所以奇数项为常数列，所以，所以；所以，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列前项和的计算，其中涉及到递推公式中分奇偶项讨论的问题，难度一般.对需要分奇偶项讨论的数列进行求和时，可以先分别求解出奇偶性对应的通项公式，然后使用对应求和方法进行求和.15. _.【答案】【解析】【分析】根据切化弦，由两角差的正弦公式，即可化简出结果.【详解】原式.故答案：.【点睛】本题主要考查根据三角恒等变换化简所求式子，涉及二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，属于常考题型.16. 某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、，从点测得，从点测得，从点测得，并测得，（单位：千米），测得、两点的距离为_千米.【答案】【解析】【分析】在中，分析边角关系可得，在中，由正弦定理可求得的值，然后在中，利用余弦定理可求得的长.【详解】在中，则，在中，则，由正弦定理得，可得，在中，由余弦定理得，因此，（千米）.故答案为：.【点睛】本题考查距离的测量问题，考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
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