1、第4课时等比数列的综合应用思路方法技巧命题方向等比数列性质的应用例1(1)等比数列an，已知a1=5，a9a10=100，求a18；(2)在等比数列bn中，b4=3，求该数列前七项之积；(3)在等比数列an中，a2=-2，a5=54，求a8.分析由等比数列的性质可知：与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积，与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.解析(1)a1a18=a9a10,a18=20.(2)b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.b24=b1b7=b2b6=b3b5,前七项之积为(32) 33=37=2187.(3)解法一：a8=a5q3=a5=5
2、4=-1458.解法二：a5是a2与a8的等比中项，542=a8(-2).a8=-1458.说明本题的求解，主要应用了等比数列的性质，若m,n,k,lN+且m+n=k+l，则aman=akal.由此可见，在等比数列问题中，合理应用性质，可使解法简捷.变式应用1已知an是等比数列，且a1a10=243,a4+a7=84,求a11.解析a4a7=a1a10,a4a7=243, a4=81 a4=3又a4+a7=84, ，或a7=3 a7=81q=或q=3.a11=3q4=3（）4=或a11=8134=6561.命题方向与前n项和有关的等比数列的性质问题例2各项都是正实数的等比数列an，前n项的和记
3、为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于（）A.150B.-200C.150或-200D.400或-50答案A分析本题思路较为广泛，可以运用等比数列前n项和公式列方程，确定基本量a1,q后求解，也可以应用等比数列前n项和的性质求解.解析解法一：设首项为a1,公比为q，由题意知q1. =10由 ，=70由以上两式相除得q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去)，代入有=-10，S40=-10(-15)=150.解法二：易知q1，由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比为q10的等比数列,则S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S
4、10+q10S10+q20S10，即q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3（舍去），S40=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30)=10(1+2+22+23)=150.解法三：运用性质Sm+n=Sm+qmSn求解，S30=S20+q20S10=S10+q10S10+q20S10从而有q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3(舍去).S40=S30+q30S10=70+810=150.解法四：易知q1,=，q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去).又=，所以S40=150.说明在与等比数列的和有关的问题中，合理应用和的性质
5、，可以简化运算，本题的解法二运用了当q-1时，数列Sm，S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等比数列，公比为qm，解法三运用了等比数列的性质：Sm+n=Sm+qmSn，解法四运用了等比数列的性质：当q1时，=.变式应用2等比数列an的前n项和为Sn,若S5=10,S10=20,则S15等于.答案30解析an为等比数列，S5，S10-S5，S15-S10成等比数列，（S10-S5）2=S5（S15-S10），即100=10（S15-20），解得S15=30.探索延拓创新命题方向错位相减法求数列的和例3求数列1，3a,5a2,7a3,(2n-1)an-1的前n项和（a0）.分析由题设可知数列的通项公
6、式为an=(2n-1)an-1,数列的每一项可分成两个因式，前一个因式可构成等差数列，后一个因式可构成等比数列，故可选用错位相减法求和.解析当a=1时，Sn=1+3+5+(2n-1)= =n2.当a1时，有Sn=1+3a+5a2+7a3+(2n-1)an-1,aSn=a+3a2+5a2+7a4+(2n-1)an ,-得,Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2an-1-(2n-1)an=1+-(2n-1)an,Sn=+.说明一般来说，如果数列an是等差数列，公差为d;数列bn是等比数列，公比为q,则求数列anbn的前n项和就可以运用错位相减法.变式应用3求数列n2n的前n项和Sn.解析Sn=
7、121+222+323+n2n2Sn=122+223+（n-1）2n+n2n+1 -得-Sn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+1,Sn=(n-1)2n+1+2.名师辨误做答例4若数列an的前n项和为Sn=an-1（a0），则数列an是（）A.等比数列B.等差数列C.可能是等比数列，也可能是等差数列D.可能是等比数列，但不可能是等差数列误解A由Sn=an-1，得an=(a-1)an-1，则有=a-1(常数)，故选A.辨析错误的原因在于：当a=1时，an=0，an是等差数列，而不是等比数列，这是没有理解等比数列中an0而造成的.正解C由Sn=an-1,得an=(a-1)an-1.当a=1时，an=0,数列an为等差数列；当a1时，=a-1,(不为零的常数)，则数列an为等比数列，故选C.
