1、2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1已知A，B，则2A+B 2若an是等差数列，且a13，a3+a518，则a7 3设等差数列an的前n项为Sn，若a53a3，则 4行列式中元素3的代数余子式的值为 5已知A，B，则AB 6在无穷等比数列an中，若，则a1的取值范围是 7若数列an满足，a12，则数列an前2022项的积等于 8已知数列log2（an1）（nN*）为等差数列，且a13，a25，则 9已知数列an的通项公式是，若nN时，恒有成立，则正整数N的最小值为 10已知函数，在7行7列的矩阵中，则这个矩阵中所有数之和为 11等比数列a
2、n的公比q（0，1），且a152a26，则使a1+a2+an成立的正整数n的取值范围为 12已知数列an满足：a11，an+1ana1，a2，an（nN*），记数列an的前n项和为Sn，若对所有满足条件的an，S10的最大值为M，最小值为m，则M+m 二、选择题13已知an为等比数列，q为公比，则“q1”是“an为递增数列”的（）A既不充分也不必要条件B必要不充分条件C充要条件D充分不必要条件14算法统宗中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，问第二天走了（）A192里B96里C48里D24里15用数学归纳法证明不等式：
3、，从k到k+1，不等式左边需要（）A增加一项B增加两项、C增加，且减少一项D增加、，且减少一项16已知集合M0，2，无穷数列an满足anM，且，则实数t一定不属于（）A0，1）B（0，1CD三、解答题17已知关于x、y的二元一次方程组（aR）（1）写出系数矩阵和增广矩阵；（2）讨论解的情况18如图，P1是一块直径为2的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得到图形P3，P4，Pn，记纸板Pn的面积和周长分别为Sn、Ln，求：（1）；（2）19我们要计算由抛物线yx2、x轴以及直线x1所围成的曲边区域的面积S，可
4、用x轴上的分点0、1将区间0，1分成n个小区间，从第二个小区间起，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线yx2上，这么矩形的高分别为、，矩形的底边长都是，设所有这些矩形面积的总和为Sn，就有（1）求Sn的表达式，并求出面积S；（可以利用公式）（2）利用上述方法，探求由函数yex、x轴、y轴以及直线x1和所围成的区域的面积T（可以利用公式：）20在数列an中，a10，且对任意的mN*，a2m1、a2m、a2m+1构成以2m为公差的等差数列（1）求证：a4、a5、a6成等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）设Sn+，试问Sn2n是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在
5、，请说明理由21给正有理数、（ij，i，jN*，且mimj和ninj不同时成立），按以下规则排列：若mi+nimj+nj，则排在前面；若mi+nimj+nj，且ninj，则排在的前面，按此规则排列得到数列an（例如，）（1）依次写出数列an的前8项；（2）对数列an中小于1的各项，按以下规则排在前面：各项不做约分运算；分母小的项排在前面；分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列bn，求数列bn的前10项的和S10，前2021项的和S2021；（3）对数列an中所有整数项，由小到大取前2021个互不相等的整数项构成集合Ac1，c2，c3，c2021，A的子集B满足：对任意的x，yB，有x+y
6、B，求集合B中元素个数的最大值参考答案一、填空题1已知A，B，则2A+B【分析】先计算出2A，再算出2A+B解：2A+BA+，故答案为：2若an是等差数列，且a13，a3+a518，则a715【分析】结合已知及等差数列的通项公式可求d，进而根据通项公式即可求解解：an是等差数列，且a13，a3+a518，2a1+6d18，d2，则a73+2615故答案为：153设等差数列an的前n项为Sn，若a53a3，则【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解解：因为a53a3，所以a1+4d3（a1+2d）即a1d，则故答案为：4行列式中元素3的代数余子式的值为 3【分析】由代数余子式的
7、定义求解即可解：行列式中元素3的代数余子式的值为：（31+10）3故答案为：35已知A，B，则AB【分析】根据矩阵相乘定义，可求出解：AB ，故答案为：6在无穷等比数列an中，若，则a1的取值范围是【分析】利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出a1的取值范围解：在无穷等比数列an中，可知|q|1，1q0或0q1则，a1（1q）（0，）（，）故答案为：（0，）（，）7若数列an满足，a12，则数列an前2022项的积等于 6【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的周期，进一步求出数列的各项的积解：数列an满足，由于a12，当n1时，解得，当n2时，解得，当n3时，解得，当n4时，解得，当n5
8、时，解得，.，故数列an的周期为4；故：a1a2a3a41，故故答案为：68已知数列log2（an1）（nN*）为等差数列，且a13，a25，则1【分析】由题意，可先由数列log2（an1）（nN*）为等差数列，且a13，a25得出数列log2（an1）的首项为1，公差为1，由此解出log2（an1）1+（n1）1n，从而求出an1+2n，再研究an+1an2n+1+12n12n即可得出，结合等比数列的求和公式计算出所求的极限即可解：数列log2（an1）（nN*）为等差数列，且a13，a25数列的公差为log24log221，故log2（an1）1+（n1）1n，即an12n，an1+2n，
9、an+1an2n+1+12n12n故答案为19已知数列an的通项公式是，若nN时，恒有成立，则正整数N的最小值为 99【分析】由已知求得an2，把转化为关于n的分式不等式求解得答案解：，则，由，得，n+1100，得n99又nN时，恒有成立，则正整数N的最小值为99故答案为：9910已知函数，在7行7列的矩阵中，则这个矩阵中所有数之和为 【分析】先找到规律aij+aji1，ij时，共21对；ij时，可得这个矩阵中所有数之和解：aij+aji1，ij时，共21对，ij时，这个矩阵中所有数之和为121+，故答案为：11等比数列an的公比q（0，1），且a152a26，则使a1+a2+an成立的正整数
10、n的取值范围为 1，2，3，4，5，6【分析】等比数列an的公比q（0，1），且a152a26，可得a41，a1，a2，a31n5时，0an1a1，a2，a3，a4；n5时，an进而得出结论解：等比数列an的公比q（0，1），且a152a26，a41，a1，a2，a31n5时，0an1a1，a2，a3，a4；n5时，an则n1，2，3，4时，不等式a1+a2+an成立n5时，a3+a5+q+，因此上述不等式成立同理可得：n6时上述不等式成立n7时，a1+a2+a3+a5+a6+a7+1q2+q+q2+q3+，因此上述不等式不成立n8时，an，因此不等式a1+a2+an成立综上可得：使a1+a2
11、+an成立的正整数n的取值范围为1，2，3，4，5，6故答案为：1，2，3，4，5，612已知数列an满足：a11，an+1ana1，a2，an（nN*），记数列an的前n项和为Sn，若对所有满足条件的an，S10的最大值为M，最小值为m，则M+m1078【分析】根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论解：因为数列an满足：a11，an+1ana1，a2，an（nN*），a2a1a1a2a1a11a22；a3a2a1，a2a3a21或者a3a22a33或者a34；a4a3a1，a2，a3a4a31，a4a32，a4a33，a4a34a4最小为
12、4，a4最大为8；所以，数列S10的最大值为M时是首项为1，公比为2的等比数列的前十项和；M1023；S10取最小值m时，是首项为1，公差为1的等差数列的前十项和；m101+55；M+m1078故答案为：1078二、选择题13已知an为等比数列，q为公比，则“q1”是“an为递增数列”的（）A既不充分也不必要条件B必要不充分条件C充要条件D充分不必要条件【分析】an为递增数列an+1ana10，q1；a10，0q1解：an为递增数列an+1ana10，q1；a10，0q1“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件故选：A14算法统宗中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚
13、痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，问第二天走了（）A192里B96里C48里D24里【分析】由题意得，每天走的路程构成为公比的等比数列，设为an，利用求和公式即可得出a1，进而得出结论解：由题意得，每天走的路程构成为公比的等比数列，设为an则378，解得：a1192，故此人第二天走19296里，故选：B15用数学归纳法证明不等式：，从k到k+1，不等式左边需要（）A增加一项B增加两项、C增加，且减少一项D增加、，且减少一项【分析】观察不等式，左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共n项，当由nk到nk+1时，项数也由k变到k+1时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四
14、个答案，即可求出结论解：nk时，左边，nk+1时，左边，由“nk”变成“nk+1”时，变化了：，故选：D16已知集合M0，2，无穷数列an满足anM，且，则实数t一定不属于（）A0，1）B（0，1CD【分析】用特殊值验证法判定解：当a1a2an0时，t0当a12，a2a3.an0时，t于是可以判定实数t一定不属于）故选：C三、解答题17已知关于x、y的二元一次方程组（aR）（1）写出系数矩阵和增广矩阵；（2）讨论解的情况【分析】（1）根据方程直接写出系数矩阵和增广矩阵，（2）由系数组成的行列式等于0时，无解，不等于0时，可求出解【解答】（1）系数矩阵，增广矩阵；（2）a1，无解；a1，有唯一解
15、，18如图，P1是一块直径为2的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得到图形P3，P4，Pn，记纸板Pn的面积和周长分别为Sn、Ln，求：（1）；（2）【分析】（1）每次剪掉的半圆形面积构成一个以为首项，以为公比的等比数列；（2）每次剪掉的部分增加一个半圆周长减去这个圆的直径解：每次剪掉的半圆形面积构成一个以为首项，以为公比的等比数列Sn，；（2）n2时，（1+.+）+2（1+.+）+22（1）+，所以Ln2（1）+2（10）+0219我们要计算由抛物线yx2、x轴以及直线x1所围成的曲边区域的面积S，可用x
16、轴上的分点0、1将区间0，1分成n个小区间，从第二个小区间起，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线yx2上，这么矩形的高分别为、，矩形的底边长都是，设所有这些矩形面积的总和为Sn，就有（1）求Sn的表达式，并求出面积S；（可以利用公式）（2）利用上述方法，探求由函数yex、x轴、y轴以及直线x1和所围成的区域的面积T（可以利用公式：）【分析】（1）求解数列的和，利用数列的极限的运算法则求解所有项的和即可（2）求解所有矩形的面积，然后求解和，利用数列的极限的运算法则求解即可解：（1）由题意可知，因为，所以，因此S；（2）根据题中方法，探求由函数yex、x轴、y轴以及直线
17、x1和所围成的区域的面积T，可将区间0，1分成n个小区间，每一个小区间对应一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线yex上，这么矩形的高分别为e0、，矩形的底边长都是，则，因此T，因为，所以T20在数列an中，a10，且对任意的mN*，a2m1、a2m、a2m+1构成以2m为公差的等差数列（1）求证：a4、a5、a6成等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）设Sn+，试问Sn2n是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由【分析】（1）直接利用赋值法的应用求出数列为等比数列（2）利用累加法的应用求出数列的通项公式（3）利用数列的关系式求出极限的值【解答】证明：（1）令m1时，a
18、1，a2，a3构成以2为公差的等差数列，所以a22，a34令m2时a3，a4，a5构成以4为公差的等差数列，所以a48，a512令m3时a5，a6，a7构成以6为公差的等差数列，所以a618，a724由，得到a4，a5，a6成等比数列解：（2）由（1）得数列an的前几项为：0，2，4，8，12，18，24所以，所以a2m+1a2m14m由累加法得到2m（m1）当n为奇数时令2m1n，所以m，所以当n为偶数时，2mn，所以m，所以解：（3）当n为奇数时，当n为偶数时，所以当n为奇数时，当n为偶数时，21给正有理数、（ij，i，jN*，且mimj和ninj不同时成立），按以下规则排列：若mi+ni
19、mj+nj，则排在前面；若mi+nimj+nj，且ninj，则排在的前面，按此规则排列得到数列an（例如，）（1）依次写出数列an的前8项；（2）对数列an中小于1的各项，按以下规则排在前面：各项不做约分运算；分母小的项排在前面；分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列bn，求数列bn的前10项的和S10，前2021项的和S2021；（3）对数列an中所有整数项，由小到大取前2021个互不相等的整数项构成集合Ac1，c2，c3，c2021，A的子集B满足：对任意的x，yB，有x+yB，求集合B中元素个数的最大值【分析】（1）根据题意即可以推导出答案；（2）按照新的规则进行排列可得，前10项
20、即可求出，求前2021项的和时，先确定好最后一项分数的值，进行求解（3）由题意可得x+y2021，要使得B中元素个数最多，写出B可得结论【解答】（1）根据题意，数列an的前8项为，；（2）按照新的规则进行排列可得，前10项的和；求前2021项的和，令20211+2+3+4+5+n，即，解得63n64数列分母取遍2到64时，共有项，所以分母为65的还有6项，即：数列bn中对于分母为n的所有数的和为：所以；（3）由题意可得集合A1，2，3，2020，2021，因为A的子集B满足：对任意的x，yB，有x+yB，故x+y2021，要使得B中元素个数最多，可得B1011，1012，1013，2021，共有1011个元素
