1、第九章第五节一、选择题1(文)已知一个平面，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面内一定存在一条直线b，使得a与b()A平行B相交 C异面 D垂直答案D解析当a与相交时，平面内不存在直线与a平行；当a时，平面内不存在直线与a相交；当a平面时，平面内不存在直线与a异面；无论a在何位置，a在平面内总有射影a，当b，ba时，有ba，故选D.(理)(2013深圳模拟)已知直线m、n和平面、，若，m，n，要使n，则应增加的条件是()AmnBnm Cn Dn答案B解析两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，故选B.2(文)(2014温州十校联考)关于直线a，b，l及平面，下列命题中
2、正确的是()A若a，b，则abB若a，ba，则bC若a，b，且la，lb，则lD若a，a，则答案D解析平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定，故A错；a，ba时，经过b与a垂直的平面内任一条直线l都与a垂直，但l与的位置关系不确定，每一条直线l都可取作直线b，故B错；对于C，当a与b相交时，结论成立，当a与b不相交时，结论错误，故C错；a，设经过a的平面与相交于c，则ac，a，c，故D正确(理)(2014浙江温州第一次适应性测试)m是一条直线，是两个不同的平面，以下命题正确的是()A若m，则mB若m，m，则C若m，则mD若m，m，则答案D解析若m，则m或m，A错误；若m，m，则或l，且ml，
3、B错误；若m，则m或m或m，C错误；m，存在直线n，使mn，m，n，又n，故选D.3(文)(2014运城模拟)已知两条不同的直线a，b和两个不同的平面，且a，b，那么是ab的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案Cab；.(理)设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案A解析m，b，bm，b，又a，ba.当a，am时，bm，ba，而此时平面与平面不一定垂直，故选A.4(文)(2015绍兴一中期中)如图，PA垂直于正方形ABCD所在平面，则以下关
4、系错误的是()A平面PCD平面PADB平面PCD平面PBCC平面PAB平面PBCD平面PAB平面PAD答案B解析PA平面ABCD，ABCD为正方形，CD平面PAD，BC平面PAB，AB平面PAD，A、C、D正确，选B.(理)(2014望江期中)在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC答案C解析D、F分别为AB、CA中点，DFBC.BC平面PDF，故A正确又PABC为正四面体，P在底面ABC内的射影O在AE上PO面ABC.PODF.又E为BC中点，AEBC，AEDF.又P
5、OAEO，DF平面PAE，故B正确又PO平面PAE，PO平面ABC，平面PAE平面ABC，故D正确四个结论中不成立的是C.5(2015浙江桐乡四校期中联考)设a，b，c是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A当c时，若c，则B当b时，若b，则C当b，且c是a在内的射影时，若bc，则abD当b，且c时，若c，则bc答案B解析A的逆命题是“当c时，若，则c”，A的逆命题正确；B的逆命题是“当b时，若，则b”，只有当b垂直于与的交线时，才是正确的，故选B.另外由线面平行的判定定理知D的逆命题正确；由三垂线定理及其逆定理知，C及其逆命题正确6.(2014皖南八校联考)正四面
6、体ABCD的棱长为1，G是ABC的中心，M在线段DG上，且AMB90，则GM的长为()A.BC.D答案D解析G是正四面体ABCD的面ABC的中心，M在DG上，MAMB，又AMB90，AB1，MAMB，又AG，MG.二、填空题7(文)设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：x、y、z均为直线；x、y是直线，z是平面；z是直线，x、y是平面；x、y、z均为平面，其中使“xz且yzxy”为真命题的序号是_答案解析当x、y为直线，z为平面时，有xz，yzxy；当x、y为平面，z为直线时，有xz，yzxy，故正确点评由正方体交于同一个顶点的三条棱和三个面知均使命题为假命题(理)正四棱柱ABC
7、DA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为_答案解析依题可知B1AB60，平面A1B1C1D1平面ABCD，A1C1平面A1B1C1D1，B1B即为所求距离，在ABB1中得，B1B.8已知四棱锥PABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD底面ABCD，PAD为正三角形，AB2AD4，则球O的表面积为_答案解析过P作PEAB交球面于E，连结BE、CE，则BEAP，CEDP，三棱柱APDBEC为正三棱柱，PAD为正三角形，PAD外接圆的半径为，球O的半径R，球O的表面积S4R2.9.(2015唐山市海港中学月考)如图，正方体
8、ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1，AB上的点下列说法正确的是_(填上所有正确命题的序号)A1C平面B1EF；在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；当E，F为中点时，平面B1EF截该正方体所得的截面图形是五边形；当E，F为中点时，平面B1EF与棱AD交于点P，则AP.答案解析BC平面ABB1A1，A1C是平面ABB1A1的斜线，A1B是A1C在平面ABB1A1内的射影，显然A1B与B1F不垂直，A1C与B1F不垂直，错；平面B1EF与平面A1B1C1D1相交于过B1的一条直线l，在平面A1B1C1
9、D1内总存在与l平行的直线m，m平面B1EF，正确；B1EF的顶点B1，F在平面BCC1B1内的正投影依次为B1，B，而E点的正投影E落在CC1上，显然BB1E的面积为定值，正确；当E、F为中点时，由平面B1EF与对面ABB1A1和DCC1D1都相交，故交线平行，设M为C1D1中点，G为D1M中点，则EGDMB1F，平面B1EF与平面A1B1C1D1的交线为B1G，从而在AD上取点P，使AP2PD，则FPB1G，连接EP，得平面B1EF截正方体得到的截面图形是五边形GEPFB1，正确；正确三、解答题10(文)如图，已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADDC，ABDC，DCDD12AD2
10、AB2.(1)求证：DB平面B1BCC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E平面A1BD，并说明理由解析(1)证明：ABDC，ADDC，ABAD，在RtABD中，ABAD1，BD，易求BC，又CD2，BDBC.又BDBB1，B1BBCB，BD平面B1BCC1.(2)DC的中点即为E点DEAB，DEAB，四边形ABED是平行四边形AD綊BE.又AD綊A1D1，BE綊A1D1，四边形A1D1EB是平行四边形D1EA1B.D1E平面A1BD，A1B平面A1BD，D1E平面A1BD.(理)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BB1，DD1和CC1的中点(1)
11、求证：C1F平面DEG；(2)求三棱锥D1A1AE的体积；(3)试在棱CD上求一点M，使D1M平面DEG.解析(1)证明：正方体ABCDA1B1C1D1中，F，G分别为棱DD1和CC1的中点，DFGC1，且DFGC1.四边形DGC1F是平行四边形C1FDG.又C1F平面DEG，DG平面DEG，C1F平面DEG.(2)正方体ABCDA1B1C1D1中，有A1D1平面AA1E.A1D1是三棱锥D1A1AE的高，A1D11.VD1A1AESA1AED1A1111.(3)当M为棱CD的中点时，有D1M平面DEG.正方体ABCDA1B1C1D1中，有BC平面CDD1C1，又D1M平面CDD1C1，BCE
12、G，EGD1M.又tanGDCtanMD1D，GDCMD1D，MD1DD1DGGDCD1DG90，D1MDG.又DGEGG，D1M平面DEG.一、解答题11(文)如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，ECCA2BD，M是EA的中点求证：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA.证明(1)如图所示，取EC中点F，连接DF.EC平面ABC，BDEC，BD平面ABC，BDAB，BDEC，BDECFC，ECBC.四边形FCBD是矩形，DFEC.又BABCDF，RtDEFRtADB，DEDA.(2)如图所示，取AC中点N，连接MN、NB，M是EA的中点，MN綊EC.由BD綊EC，且BD
13、平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DMMN.DEDA，M是EA的中点，DMEA.又EAMNM，DM平面ECA，而DM平面BDM，平面ECA平面BDM.(理)(2013合肥第二次质检)如图，在几何体ABDCE中，ABAD2，ABAD，AE平面ABD.M为线段BD的中点，MCAE，AEMC.(1)求证：平面BCD平面CDE；(2)若N为线段DE的中点，求证：平面AMN平面BEC.解析(1)ABAD2，ABAD，M为线段BD的中点，AMBD，AMBD.MC，MCBD，BCCD.AE平面ABD，MCAE，MC平面ABD.平面ABD平面CBD，AM平面CBD.又MC綊AE，四边形AMCE为平行四
14、边形，ECAM，EC平面CBD，BCEC，ECCDC，BC平面CDE，平面BCD平面CDE.(2)M为BD中点，N为ED中点，MNBE且BEECE，由(1)知ECAM且AMMNM，平面AMN平面BEC.12(文)(2014山东威海一模)如图所示，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，ABEF，AB2，ADAF1，BAF60，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面OBF的重心(1)求证：平面ADF平面CBF；(2)求证：PM平面AFC；(3)求多面体CDAFEB的体积V.解析(1)证明：矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CBAB，CB平面ABEF.又AF
15、平面ABEF，CBAF.又AB2，AF1，BAF60，由余弦定理知BF，AF2BF2AB2，得AFBF.又BFCBB，AF平面CFB.AF平面ADF，平面ADF平面CBF.(2)证明：连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，PHCF.又CF平面AFC，PH平面AFC.连接PO，则POAC，AC平面AFC，PO平面AFC，PO平面AFC.又POPHP，平面POH平面AFC，PM平面POH，PM平面AFC.(3)多面体CDAFEB的体积可分成三棱锥CBEF与四棱锥FABCD的体积之和在等腰梯形ABEF中，计算得EF1，两底间的距离EE1，VCBEFSBEFCB11，VFABCD
16、SABCDEE121，VVCBEFVFABCD.(理)(2014山西太原模拟)如图，在三棱锥PABC中，PAPBPCAC4，ABBC2.(1)求证：平面ABC平面APC；(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值解析(1)证明：如图所示，取AC中点O，连接OP，OB.PAPCAC4，OPAC，且PO4sin602.BABC2，BA2BC216AC2，且BOAC，BO2.PB4，OP2OB212416PB2，OPOB.ACOBO，OP平面ABC.OP平面PAC，平面ABC平面APC.(2)设直线PA与平面PBC所成角的大小为，A到平面PBC的距离为d，则sin.PBPC4，BC2，SPBCBC2
17、2.由(1)知，VPABCSABCPO，又VAPBCVPABC，2d，d，sin，直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.点评由第(1)问知OB、OP、AC两两垂直，故可以O为原点，OB、OC、OP为x轴、y轴、z轴建立坐标系，用向量法解答第(2)问13(2014四川绵阳二诊)如图所示，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，ADFE，AFE60，且平面ABCD平面ADEF，AFFEABAD2，点G为AC的中点(1)求证：EG平面ABF；(2)求三棱锥BAEG的体积；(3)试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由解析(1)证明：取AB中点M，连FM，GM.G
18、为对角线AC的中点，GMAD，且GMAD.又FE綊AD，GMFE且GMFE.四边形GMFE为平行四边形，EGFM.又EG平面ABF，FM平面ABF，EG平面ABF.(2)作ENAD，垂足为N，由平面ABCD平面AFED，平面ABCD平面AFEDAD，得EN平面ABCD，即EN为三棱锥EABG的高在AEF中，AFFE，AFE60，AEF是正三角形AEF60，EFAD知EAD60，ENAEsin60.三棱锥BAEG的体积为VSABGEN2.(3)平面BAE平面DCE.证明如下：四边形ABCD为矩形，且平面ABCD平面AFED，CD平面AFED，CDAE.四边形AFED为梯形，FEAD，且AFE60
19、，FAD120.又在AED中，EA2，AD4，EAD60，由余弦定理，得ED2，EA2ED2AD2，EDAE.又EDCDD，AE平面DCE.又AE平面BAE，平面BAE平面DCE.14(文)(2014甘肃张掖月考)如图所示，在底面是正方形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，BD交AC于点E，F是PC的中点，G为AC上一动点(1)求证：BDFG；(2)确定点G在线段AC上的位置，使FG平面PBD，并说明理由；(3)如果PAAB2，求三棱锥BCDF的体积解析(1)证明：PA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，PABD，ACBD.BD平面APC.FG平面PAC，BD
20、FG.(2)当G为EC的中点，即AGAC时，FG平面PBD.理由如下：连接PE.F为PC的中点，G为EC的中点，FGPE.FG平面PBD，PE平面PBD，FG平面PBD.(3)三棱锥BCDF的体积为VBCDFVFBCD221.(理)(2014唐山一中月考) 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，BC侧面AA1C1C，ACBC1，CC12, CAA1，D、E分别为AA1、A1C的中点(1)求证：A1C平面ABC；(2)求平面BDE与平面ABC所成角的余弦值解析(1)证明：BC侧面AA1C1C，A1C在平面AA1C1C内，BCA1C，AA1C中，AC1，AA1C1C2，CAA1，由余弦定理得A1C2AC2AA2ACAA1cosCAA11222212cos3，A1C，AC2A1C2AA，ACA1C，ACBCC，A1C平面ABC.(2)由(1)知CA，CA1，CB两两垂直，如图，以C为空间坐标系的原点，分别以CA，CA1，CB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，B(0,0,1)，A(1,0,0)，A1(0，0)，由此可得D(，0)，E(0，0)，(，1)，(0，1)设平面BDE的法向量为n(x，y，z)，则有，令z1，则x0，y，n(0，1)，A1C平面ABC，(0，0)是平面ABC的一个法向量，cos，平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为.