1、第四章第七节一、选择题1(2014济南模拟)已知A船在灯塔C北偏东80处，且A到C距离为2km，B船在灯塔C北偏西40，AB两船距离为3km，则B到C的距离为()A.kmB(1)kmC(1)kmDkm答案B解析由条件知，ACB8040120，设BCxkm，则由余弦定理知9x244xcos120，x0，x1.2(文)海上有A、B两个小岛相距10n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C的距离是()A10n mileBn mileC5n mileD5n mile答案D解析在ABC中由正弦定理得，BC5.(理)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P
2、的南偏西75距塔68n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.n mile/hB34n mile/hC.n mile/hD34n mile/h答案A解析如图，MNP中，MPN7545120，MP68，PNM45，设速度为xn mile/h，由正弦定理得，x，选A.3为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔AB的高度是()A20mB20mC20(1)mD30m答案A解析如图所示，四边形CBMD为正方形，而CB20m，所以BM20m.又在RtAMD中，DM20m，ADM30，AMDMt
3、an30(m)，ABAMMB2020m.4(2013贵阳调研)在ABC中，角A、B均为锐角，且cosAsinB，则ABC的形状是()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形答案C解析cosAsin(A)sinB，A，B都是锐角，则AB，AB5(2013长安一中、高新一中、交大附中、西安中学、师大附中一模)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为()A0.5小时B1小时C1.5小时D2小时答案B解析以B为圆心，30为半径作B与射线AT交于C、D，作BEAT，AB40，TAB45，BE20，
4、BC30，CD2CE20(km)，故选B.6(2014贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1 000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)()A11.4B6.6C6.5D5.6答案B解析AB1 0001 000(m)，BCsin30(m)航线离山顶hsin7511.4(km)山高为1811.46.6(km)二、填空题7(文)(2013郑州模拟)在200m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30，60，则塔高为_答案m解析如图，由已知可得BAC30，CAD30，B
5、CA60，ACD30，ADC120.又AB200m，ACm.在ACD中，由余弦定理得，AC22CD22CD2cos1203CD2，CDAC(m)(理)2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60和30，且座位A、B的距离为10m，则旗杆的高度为_m.答案30解析由题可知BAN105，BNA30，由正弦定理得，解得AN20，在RtAMN中，MN20sin6030.故旗杆的高度为30m.8(文)(2014镇江月考)一船以每小时15km的速度向东航行，船在A
6、处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.答案30解析如图，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在三角形AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km)(理)某观测站C在城A的南偏西20的方向(如图)，由城出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上B处有一人距C为31km，正沿公路向A城走去，走了20km后到达D处，此时CD间的距离为21km，则这个人还要走_km才能到达A城？答案15解析在CDB中，21220231222031cosB，解得cosB，sinACBsin(120B)，设ADx，在ABC中，
7、由正弦定理得，x15.答：这个人还要走15km才能达到A城9(2014潍坊模拟)如图，一艘船上午930在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8n mile.此船的航速是_n mile/h.答案32解析设航速为v n mile/h在ABS中，ABv，BS8，BSA45，由正弦定理得：，v32.三、解答题10(文)某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45、距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9 n mile/h的速度向小
8、岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间分析本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形解析如图所示，根据题意可知AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC中，根据余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos120，所以212t210281t22109t，即36t29t100，解得t或t(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.此时AB14，BC6.在ABC中，根据正弦定理得，所以sinCAB，即CAB21.8或
9、CAB158.2(舍去)即舰艇航行的方位角为4521.866.8.所以舰艇以66.8的方位角航行，需 h才能靠近渔轮(理)在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A为(1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A为2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解析如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD10t，BD10t，在ABC中，AB
10、1，AC2，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos1206，BC，cosCBA，CBA45，即B在C正东CBD9030120，在BCD中，由正弦定理得sinBCD，BCD30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船点评本例关键是首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.一、选择题11(2014四川雅安中学月考)在ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，
11、若asinAbsinBcsinC，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D正三角形答案C解析由正弦定理可把原式化为a2b2c20，由余弦定理可知cosC0，所以C为钝角，因此ABC为钝角三角形12(2014山西长治二中、康杰中学等四校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，B45，SABC2，则b等于()A5B25C.D5答案A解析根据正弦定理知，故bsinA，SABC2，即bcsinA2，c4.根据余弦定理b2a2c22accosB132214cos4525，可得b5.故选A.二、填空题13(2014皖北协作区联考)已知a，b，c分别为ABC三个内角
12、A，B，C的对边，若acosCasinCb0，则A_.答案解析由acosCasinCb0得sinAcosCsinAsinCsinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，即sinAsinCcosAsinC，sinC0，tanA，A.14在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cos，3，则ABC的面积为_答案2解析依题意得cosA2cos21，sinA，ABACcosA3，ABAC5，ABC的面积SABACsinA2.三、解答题15(2013柳州市、贵港市、钦州市、河池市模拟)已知ABC中，a、b、c是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x2cosC4xsinC6
13、0，0)，x0,200的图象，且图象的最高点为S(150,100)，训练道路的后一部分为折线段MNP，为保证训练安全，限定MNP120.(1)求曲线段OSM对应函数的解析式；(2)应如何设计，才能使折线段训练道路MNP最长？最长为多少？解析(1)由题知，图象的最高点为S(150,100)，所以A100，150，由T600，得.所求的解析式是y100sinx(0x200)(2)当x200时，y150，所以MP250，设MNm，NPn(m，n0)，在MNP中，由余弦定理，得MP22502MN2NP22MNNPcos120.即2502(mn)2mn.又mn(mn时取等号)，所以2502(mn)2mn
14、(mn)2，解得0mn.即设计折线段训练道路中MN与NP的长度相等时，折线段训练道路MNP最长最长为m.(理)(2014南京盐城二模)如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解析设AMN，在AMN中，.因为MN2，所以AMsin(120)在APM中，cosAMPcos(60)AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(120)422sin(120)cos(60)sin2(60)sin(60)cos(60)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，(0,120)当且仅当2150270，当60时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.