1、第一课 不等式和绝对值不等式【网络体系】【核心速填】1.不等式的基本性质(1)对称性:ab_.(2)传递性:ab,bc_.(3)加(减):ab_.(4)乘(除):ab,c0_;ab,c0_.bc a+cb+c acbc acb0_,nN*,且n2.(6)开方:ab0_,nN*,且n2.anbn n a n b2.基本不等式(1)定理1:如果a,bR,那么a2+b2_(当且仅当a=b 时,等号成立).(2)定理2:如果a,b0,那么 _(当且仅当a=b 时,等号成立).abab22ab(3)引理:如果a,b,cR+,那么a3+b3+c3_(当且 仅当a=b=c时,等号成立).(4)定理3:如果a
2、,b,cR+,那么 _(当且 仅当a=b=c时,等号成立).(5)推论:如果a1,a2anR+,那么 _(当且仅当a1=a2=an时,等号成立).abc3 3 abc12naaann12na aa3abc 3.绝对值三角不等式(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的_,|a-b|的几何意义表示数轴上两点间的_.(2)|a+b|_(a,bR,ab0时等号成立).(3)_|a-b|+|b-c|(a,b,cR,(a-b)(b-c)0 时等号成立).距离 距离|a|+|b|a-c|(4)|a|-|b|a+b|_(a,bR,左边“=”成立的条件是ab0,右边“=”成立的条件是ab0).(5)_|a-
3、b|a|+|b|(a,bR,左边“=”成立的条件是ab0,右边“=”成立的条件是ab0).|a|+|b|a|-|b|【易错警示】1.关注不等式性质的条件(1)要注意不等式的等价性.(2)应用不等式时,要注意不等式成立的条件.2.基本不等式求最值时的关注点 要注意考虑所给式子是否满足“一正,二定,三相等”的要求.3.解绝对值不等式的关注点 由绝对值不等式转化为不含绝对值不等式时,要注意转化的等价性,特别是平方时,两边应均为非负数.类型一 不等式的基本性质的应用【典例1】已知:ab0,cb0,c0,ab0,所以 0,所以 cc.abc b accababc baabcccc0.abab ，即【方法
4、技巧】不等式的基本性质应用的注意点(1)注意不等式成立的条件,若弱化或强化了条件都可能得出错误的结论.(2)注意明确各步推理的依据,以防出现解题失误.【变式训练】1.若a,b是任意实数,且ab,则()A.a2b2 B.0 D.【解析】选D.因为y=是减函数,所以ab abab11()()22x1()2ab11()().222.“x0”是“x+2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1x【解析】选C.当x0时,=2,因为x,同号,所以当x+2时,则x0,0,所以x0.11x2 xxx1x1x1x3.已知:xy0,mn0求证:【证明】因为mn0,所
5、以 0,因为xy0,所以 0,所以 xy.nm11nmxynmxy.nm类型二 基本不等式的应用【典例2】(1)x,y,zR+,x-2y+3z=0,求 的最小值.(2)若a,b,cR+,且a+b+c=1,求证:2yxz1119.abbcc a2【解析】(1)由x-2y+3z=0,得y=,则 当且仅当x=3z时,等号成立.x3z2222yx9z6xz6xz6xz3xz4xz4xz，(2)因为a,b,cR+且a+b+c=1,所以2=(a+b)+(b+c)+(c+a)所以(a+b)+(b+c)+(c+a)所以 111()abbcca331113ab bc ca39.ab bc ca1119.abbc
6、c a2【方法技巧】利用基本不等式求最值问题的类型(1)和为定值时,积有最大值.(2)积为定值时,和有最小值.在具体应用基本不等式解题时,一定要注意适用的范围和条件:“一正、二定、三相等”.【变式训练】1.已知xR+,则函数y=x2(1-x)的 最大值为_.【解析】y=x2(1-x)=xx(1-x)=xx(2-2x)1231 xx2 2x184().2322727 当且仅当x=2-2x,即x=时取等号.此时,ymax=.答案:234274272.求函数y=的最小值.【解析】y=+2+2tan2=3+2tan23+2 =3+2 .当且仅当2tan2=即tan=时,等号成立.所以ymin=3+2
7、.2212sincos2221211sincostan 21tan 2212tantan221tan 4 122类型三 绝对值不等式的解法【典例3】解关于x的不等式|2x-1|x|+1.【解析】当x0时,原不等式可化为-2x+10,又x0,故x不存在.当0 x 时,原不等式可化为 1210 x22x 1x 1 ，得 所以0 x 当x 时,原不等式可化为 得 x2.综上,原不等式的解集为x|0 xg(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x).(2)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x)f(x)2g(x)2.(4)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型:零点分
8、段讨论法;利用|x-a|的几何意义法;在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象.【变式训练】1.解不等式|x+1|x-3|.【解析】方法一:由|x+1|x-3|两边平方得(x+1)2(x-3)2,所以8x8,所以x1,所以原不等式的解集为x|x1.方法二:当x-1时,有-x-1-x+3,此时x无解;当-1-x+3,即x1,所以此时13时,有x+1x-3成立,所以x3.所以原不等式解集为x|x1.2.已知函数f(x)=|2x+1|-|x|-2.(1)解不等式f(x)0.(2)若存在实数x,使得f(x)|x|+a,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)=|2x+1|-|x|-2
9、1x3,x,213x 1,x0,2x 1,x0 ，当x-时,由-x-30,可得x-3,当-x0),g(x)=x+2.(1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集.(2)若f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)g(x),即|2x-1|+|2x+1|x+2,1x,24xx2111x,x,2222x24xx2 等价于或 或解求得x无解,解求得0 x 解求得 综上,不等式的解集为 1,212x,232x|0 x.3(2)由题意可得|2x-a|+|2x+1|x+2恒成立,转化为|2x-a|+|2x+1|-x-20恒成立,令h(x)=|2x-a|+|2x+
10、1|-x-2=15xa3,x,21axa 1,x,22a3xa 1,x,2 易得h(x)的最小值为 -1,令 -10,解得a2.a2a2【方法技巧】对于恒成立不等式求参数范围问题的常见类型及其解法(1)分离参数法:运用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可解决恒成立中的参数范围问题.(2)更换主元法:不少含参数的不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.(3)数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直观地解决问题.【变式训练】1.
11、若不等式|x-a|+|x-2|1对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.【解析】设y=|x-a|+|x-2|,则ymin=|a-2|因为不等式|x-a|+|x-2|1对任意x恒成立,所以|a-2|1,解得a3或a1.2.(2016南昌高二检测)已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.(1)当a=0时,解不等式f(x)g(x).(2)若存在xR,使得f(x)g(x)成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=0时,由f(x)g(x)得|2x+1|x|,两边平方整理得3x2+4x+10,解得x-1或x-,所以原不等式的解集为(-,-1 131,).3(2)由f(x)g(x)得a|2x+1|-|x|,令h(x)=|2x+1|-|x|,即h(x)=故h(x)min=,故可得到实数a的范围为 1x 1,x,213x 1,x0,2x 1,x0 ，11h()22 1).2，