1、第28讲 创新型、探索型问题的解法高考命题中的创新型与探索型问题对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高层次的考查，同时考查学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等各方面的能力；学生在经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程是新课标理念的最佳载体，因此在近几年来的高考中经常出现，在2013年高考复习中应倍加注意，并进行针对性训练高考真题考题1(2012 福建)函数 f(x)在a，b上有定义，若对任意 x1，x2a，b，有 f(x1x22)12f(x1)f(x2)，则称 f(x)在a，b上具有性质 P.设 f(x)在1，3上具有性质 P，现给出如下命题：f(x)在1，3上的图
2、象是连续不断的；f(x2)在1，3上具有性质 P；若 f(x)在 x2 处取得最大值 1，则 f(x)1，x1，3；对任意 x1，x2，x3，x41，3，有 f(x1x2x3x44)14f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)其中真命题的序号是()A BCD【解析】选 D.由关系式 f(x1x22)12f(x1)f(x2)无法推出函数是否连续，不正确；特殊函数法，f(x)x 在1，3上具有性质 P，而 f(x2)x2 显然不具备性质 P，不正确；在1，3中任取一个数 x(1x3)，另一个数 4x 同样也落在1，3内，f(2)1fmax(x)又 f(x4x2)12f(x)f(4x)即 f(x)f
3、(4x)2f(x)1，f(4x)1f(x)1，f(4x)1 正确；f(x1x2x3x44)f(x1x22x3x422)12f(x1x22)f(x3x42)14f(x1)f(x2)14f(x3)f(x4)14f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)正确【命题立意】本题以高等数学的凹函数为依托融于初等数学知识中，考查学生的逻辑推理能力和处理新问题的应变能力考题2(2012 江西)若函数 h(x)满足：h(0)1，h(1)0；对任意 a0，1，有 h(h(a)a；在(0，1)上单调递减则称 h(x)为补函数已知函数 h(x)(1xp1xp)1p(1，p0)(1)判断函数 h(x)是否为补函数，并证明
4、你的结论；(2)若存在 m0，1，使得 h(m)m，称 m 是函数h(x)的中介元，记 p1n(nN)时 h(x)的中介元为xn，且 Sni1nxi，若对任意的 nN，都有 Sn1，p0，所以当 x(0，1)时，g(x)1 且 0 时，由(*)得 x1n111(0，1)或 x1n11 10，1；得中介元 xn(111)n.综合：对任意的 1，中介元为 xn(111)n(nN)，于是，当 1 时，有Sn i1n(111)i 11(1(111)n)11，当 n 无限增大时，(111)n 无限接近于 0，Sn无限接近于11，故对任意的 nN，Sn12成立等价于1112，即 3，)(3)当 0 时，h
5、(x)(1xp)1p，中介元为 xp(12)1p，当 01 时，依题意只需(1xp)1p1x 在 x(0，1)时恒成立，即 xp(1x)p1 在 x(0，1)时恒成立，设(x)xp(1x)p，x0，1，则(x)pxp1(1x)p1，则由(x)0 得 x12，且当 x(0，12)时，(x)0.又因为(0)(1)1，所以当 x(0，1)时，(x)b，设 f(x)(2x1)*(x1)，且关于x 的方程 f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3，则 x1x2x3 的取值范围是_(1 316，0)【解析】当 x0 时，2x1x1，则 f(x)(2x1)*(x1)(2x1)2(2x1)
6、(x1)2x2x，当 x0 时，2x1x1，则 f(x)(2x1)*(x1)(x1)2(2x1)(x1)x2x，画图，可知当 m(0，14)时，f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3(x1x2x3)，其中，x2，x3 是方程x2xm0 的根，x1 是方程 2x2xm0 的根，则 x2x3m，x11 18m4，所以 x1x2x3m（18m1）4，显然，该式随 m 的增大而减小，因此当 m0 时，(x1x2x3)max0；当 m14时，(x1x2x3)min1 316.【点评】本题主要考查分段函数、二次函数、新定义函数等内容，考查函数与方程之间的关系，不等式的有关知识，同时考
7、查了函数与方程思想以及学生的运算能力2新情境，新背景下的创新问题例2给出函数封闭的定义：若对于定义域 D 内的任一个自变量 x0，都有函数值 f(x0)D，则称函数 yf(x)在 D 上封闭(1)若定义域 D1(0，1)，判断下列函数中哪些在D1 上封闭，并给出推理过程：f1(x)2x1；f2(x)12x212x1；f3(x)2x1；f4(x)cosx.(2)若定义域 D2(1，2)，是否存在实数 a 使函数f(x)5xax2 在 D2 上封闭？若存在，求出 a 的值，并给出证明；若不存在，说明理由【解析】(1)f1(12)0(0，1)f1(x)在 D1上不封闭 f2(x)12(x12)298
8、在(0，1)是减函数 0f2(1)f2(x)f2(0)1 f2(x)(0，1)f2(x)在 D1上封闭 f3(x)2x1 在(0，1)上是增函数，0f3(0)f3(x)f3(1)1.f3(x)(0，1)f3(x)在 D1上封闭 f4(x)cosx 在(0，1)上是减函数 cos1f4(1)f4(x)f4(0)1 f4(x)(cos1，1)(0，1)f4(x)在 D1上封闭(2)f(x)可变形为，f(x)5a10 x2 假设 f(x)在 D2上封闭，对 a10 讨论如下：若 a100，则 f(x)在(1，2)上为增函数 故应有f（1）1，f（2）2，解得a2a2 a2 若 a100，则 f(x)
9、5，与 f(x)(1，2)不合，故舍去 若 a100，则 f(x)在(1，2)上为减函数 故应有f（1）2，f（2）1，解得a1a6无解(a10)综上可得，a2 时，f(x)在 D2上封闭 3类比、归纳型问题 例3(1)观察下列等式：cos2 2cos2 1；cos4 8cos4 8cos2 1；cos6 32cos6 48cos4 18cos2 1；cos8 128cos8 256cos6 160cos4 32cos2 1；cos10 mcos10 1 280cos8 1 120cos6ncos4 pcos2 1.根据分析各式特点，则可求得 mnp 的值为_ 962【解析】观察各式容易得 m
10、29512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为 1，故有 m1 2801 120np11，将 m512 代入得 np3500.对于等式，令 60，则有 cos600512 12101 2801281 120126 116n14p1，化简整理得 n4p2000，联立方程组np3500n4p2000，得n400p50.mnp962.(2)若三角形的内切圆半径为 r，三边的长分别为 a，b，c，则三角形的面积 S12r(abc)，根据类比思想，若四面体的内切球半径为 R，四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，则 此 四 面 体 的 体 积V _ 1/3R(S1S2S3S4)【解析】设四面体的
11、内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥面积的和【点评】归纳推理是由特殊到一般，类比推理是由特殊到特殊，求解时关键是观察分析问题的本质属性备选题例4对于数列un，若存在常数 M0，对任意的nN*，恒有|un1un|unun1|u2u1|M，则称数列un为 B数列(1)首项为 1，公比为 q(|q|1)的等比数列是否为B数列？请说明理由；(2)设 Sn是数列xn的前 n 项和给出下列两组论断：A 组：数列xn是 B数列，数列xn不是 B数列；B 组：数列Sn是 B数列，数列Sn不是 B数列 请以其中一组中的一个论断为条件，另一
12、组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；【解析】(1)设满足题设的等比数列为an，则 anqn1，于是|anan 1|qn 1qn 2|qn 2(q1)|，n2.因此|an1an|anan1|a2a1|q1|(1|q|q|2|q|n1)因为|q|1，所以1|q|q|2|q|n11|q|n1|q|11|q|，即|an1an|anan1|a2a1|q1|1|q|.故首项为 1，公比为 q(|q|1)的等比数列是 B数列(2)命题 1：若数列xn是 B数列，则数列Sn是 B数列此命题为假命题 事实上，设 xn1，nN*，易知数列xn是 B数列，但 Snn，|Sn1Sn|S
13、nSn1|S2S1|n.由 n 的任意性知，数列Sn不是 B数列 命题 2：若数列Sn是 B数列，则数列xn是 B数列 此命题为真命题 事实上，因为数列Sn是 B数列，所以存在正数M，对任意的 nN*，有|Sn1Sn|SnSn1|S2S1|M.即|xn1|xn|x2|M，于是|xn1xn|xnxn1|x2x1|xn1|2|xn|2|xn1|2|x2|x1|2M|x1|，所以数列xn是 B数列【点评】本大题主要考查放缩法及等差、等比数列综合知识，考查学生理解新定义并运用新定义的能力本大题的第(2)问具有较大的思维空间，是一个开放性且综合性较高的创新性问题高考考查考生的创新意识，不仅仅要求学生能理
14、解一些概念、定义，掌握一些定理、公式，更重要的是要求学生能够应用这些知识和方法解决数学和现实生活中比较新颖的问题要解决这种问题要求学生：(1)能从题目的条件中提取有用的信息，从题目的求解(或求证)中考虑所需要的信息；(2)能从记忆系统储存的数学信息中提取有关的信息作为解题的依据，推动信息的延伸；(3)将上述过程中获得的信息联系起来，通过分析与综合，从已知到未知和从未知到已知两方面入手寻找正反两个方向的知识“衔接点”，建立一个固有的或确定的数学关系；(4)整理上述思维过程，形成一个从条件到结论的行动序列，完成题目提出的问题1对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)(c，d)，
15、当且仅当 ac，bd 时成立，定义运算“”为：(a，b)(c，d)(acbd，bcad)，运算“”为：(a，b)(c，d)(ac，bd)设 p，qR，若(1，2)(p，q)(5，0)，则(1，2)(p，q)等于()A(2，0)B(4，0)C(0，2)D(0，4)A【解析】由新定义可得：p2q52pq0，解得p1q2，所以(1，2)(p，q)(1，2)(1，2)(2，0)，故选 A.2若 xR，nN*，定义 Mxnx(x1)(x2)(xn1)，例如M53(5)(4)(3)60，则函数 f(x)Mx3 7cos2 0122 013x ()A是偶函数不是奇函数 B是奇函数不是偶函数 C既是奇函数又是
16、偶函数 D既不是奇函数又不是偶函数 B【解析】由新定义有 f(x)(x3)(x2)(x1)x(x1)(x2)(x3)cos2 0122 013xx(x21)(x24)(x29)cos2 0122 013x，有 f(x)f(x)，所以 f(x)是奇函数，故选 B.3对各数互不相等的正数数组(a1，a2，an)(nN*，n2)，如果当 paq，则称 ap与 aq 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数，称为该数组的“逆序数”例如，数组(2，4，3，1)中共有 4 个逆序，即“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”是4.若各数互不相等的正数数组(a1，a2，a3，a
17、4，a5)的“逆序数”是 3，则数组(a5，a4，a3，a2，a1)的逆序数是()A5 B6 C7 D8 C【解析】从a1，a2，a3，a4，a5中任意选取2个数按原来相对顺序排列共有10个数对由已知，其中3个数对是“逆序”，则剩余7个数对不是“逆序”，则数组(a5，a4，a3，a2，a1)的逆序数是7，故选C.4对于具有相同定义域 D 的函数 f(x)和 g(x)，若存在函数 h(x)kxb(k，b 为常数)，对任给的正数 m，存在相应的 x0D，使得当 xD 且 xx0时，总有0f（x）h（x）m0h（x）g（x）1的四组函数如下：f(x)x2，g(x)x；f(x)10 x2，g(x)2x
18、3x；f(x)x21x，g(x)xlnx1lnx；f(x)2x2x1，g(x)2(x1ex)其中，曲线 yf(x)与 yg(x)存在“分渐近线”的是()A B C D C 5对于实数 x，记x表示不超过 x 的最大整数，如0.320，5.685，若 n 为正整数，ann4，Sn为an前 n 项和，则 S4n_ 2n2n6.用 n 个不同的实数 a1，a2，an可得到 n！个不同的排列，每个排列为一行写成一个 n！行的数阵对第 i 行 ai1，ai2，ain，记 bi ai12ai23ai3(1)nnain，i1，2，3，n.例如，用 1，2，3 可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是 1
19、2，所以，b1b2 b61221231224，那么，在用 1，2，3，4，5 形成的数阵中，b1b2b120_ 1 2 31 3 22 1 32 3 13 2 13 1 21 080 7 设 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn，称 Tn S1S2Snn为数列 a1，a2，an的“和均数”，那么(1)数列 1，2，6，10 的“和均数”T4是_；(2)若数列 a1，a2，a100的“和均数”是 2 020，则数列 10，a1，a2，a100的“和均数”是_ 82 010【解析】(1)对于数列 1，2，6，10 有 S11，S23，S39，S419，所以 T41391948.(2)若数列
20、a1，a2，a100的“和均数”是 2 020，则S1S2S1001002 020，即 S1S2S1002 020100，所以数列 10，a1，a2，a100的“和均数”是 T10110（10S1）（10S2）（10S100）101 101012 020100101 102 0002 010.8函数 f(x)的定义域为 A，若 x1，x2A 且 f(x1)f(x2)时总有 x1x2，则称 f(x)为单函数例如，函数 f(x)2x1(xR)是单函数下列命题：函数 f(x)x2(xR)是单函数；若 f(x)为单函数，x1，x2A 且 x1x2，则f(x1)f(x2)；若 f：AB 为单函数，则对于
21、任意 bB，它至多有一个原象；函数 f(x)在某区间上具有单调性，则 f(x)一定是单函数 其中的真命题是_(写出所有真命题的编号)【解析】当 f(x)x2时，不妨设 f(x1)f(x2)4，有 x12，x22，此时 x1x2，故不正确；由 f(x1)f(x2)时总有 x1x2可知，当 x1x2时，f(x1)f(x2)，故正确；若 bB，b 有两个原象时，不妨设为 a1，a2，可知 a1a2，但 f(a1)f(a2)，与题中条件矛盾，故正确；函数 f(x)在某区间上具有单调性时在整个定义域上不一定单调，因而 f(x)不一定是单函数，故不正确 故答案为.【点评】本题是一个新概念题，主要考查学生应
22、用新知识分析问题、解决问题的能力及逻辑思维能力，难度较大9设动点 P 到定直线 x4 的距离为 d，已知 F(2，0)，且 d|PF|2.(1)求动点 P 的轨迹方程；(2)过圆锥曲线的焦点 F，任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB，若点 M 在 x 轴上，且使得 MF 为AMB的一条内角平分线，则称点 M 为该圆锥曲线的“特征点”问该曲线是否存在特征点 M？若存在，求出点 M 的坐标，并观察点 M 是怎样的点，同时将你的结论推广；若不存在，请说明理由(不用证明推广后的结论)【解析】(1)动点 P 的轨迹方程为 y28x.(2)抛物线上存在特征点 M，其坐标为 M(2，0)，该点是抛物线的准线
23、与 x 轴的交点 推广：设抛物线的准线与其对称轴交于点 M，过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，则 FM 平分AMB.10已知长沙某公司 20082012 年的产品抽检情况如下表：由于受到欧债危机的影响，2013 年计划生产 8 500件该产品，若生产一件合格产品赢利 0.5 万元，生产一件次品亏损 0.3 万元 年份项目 2008 2009 2010 2011 2012 抽查量 1000 1000 1000 1000 1000 合格数 798 801 803 798 800 合格率 (1)完成题中表格，并指出该工厂生产的该产品的合格率最接近于哪个数值 P(精确到 0.1)；(2)以(1)中的数值 P 作为该产品的合格率，请你帮该工厂作出经营利润方面的预测【解析】(1)合格率分别为 0.798，0.801，0.803，0.798，0.800.该产品的合格率最接近于数值 0.8，即 P0.8.(2)设 8 500 件产品中合格产品的数量为 ，则 为随机变量，且 B(8 500，45)，故 E()8 500456 800(件)，即预测 2012 年该产品的合格产品数量为 6 800 件，从而利润为 6 8000.5(8 5006 800)0.33 4005102 890(万元)
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