1、第十章第六节一、选择题1(2013哈尔滨模拟)如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有()A9种 B11种C13种D15种答案C解析有一个点脱落时有2种，有两个点脱落时有C6种，有三个点脱落时有C4种，四个点都脱落时有1种，共有264113种2一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这颗骰子连续投掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次成等比数列的概率为()ABCD答案D解析连续抛掷三次骰子可得结果为63216种，其中依次构成等比数列的情况有(1)公比为1，共6种(2)公比
2、为2，只有1种，即1,2,4，.(3)公比为，只有1种，即4,2,1.共有8种，P.3(2014广东理)设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A60B90C120D130答案D解析易知|x1|x2|x3|x4|x5|1或2或3，下面分三种情况讨论其一：|x1|x2|x3|x4|x5|1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或1，其余等于0，于是有CC10种情况；其二：|x1|x2|x3|x4|x5|2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于
3、1或都等于1或一个等于1、另一个等于1，其余等于0，于是有2CCC40种情况；其三：|x1|x2|x3|x4|x5|3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于1或两个等于1、另一个等于1或两个等于1、另一个等于1，其余等于0，于是有2CCCCC80种情况由于104080130，故答案为D4(2014安徽理)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有()A24对B30对C48对D60对答案C解析解法1：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60角的对数，然后根据正方体六个面的特征计算总对数如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与面对角
4、线AC成60角的面对角线有B1C，BC1，C1D，CD1，A1D，AD1，A1B，AB1共8条，同理与BD成60角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线，共组成16对，又正方体共有6个面，所有共有16696对因为每对都被计算了两次(例如计算与AC成60角时，有AD1，计算与AD1成60角时有AC，故AD1与AC这一对被计算了2次)，因此共有9648对解法2：间接法正方体的面对角线共有12条，从中任取2条有C种取法，其中相互平行的有6对，相互垂直的有12对，共有C61248对5(2014云南统一检测)在一次学习方法成果交流会上，需要交流示范学校的5篇论文和非示范学校的3篇
5、论文，交流顺序可以是任意的，则最先和最后交流的论文不能来自同一类学校的概率是()ABCD答案A解析最先和最后交流的论文为示范学校论文的情况有AA种，最先和最后交流的论文为非示范学校论文的情况有AA种，故所求概率P1.6某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为()A16B18C24D32答案C解析若将7个车位从左向右按17进行编号，则该3辆车有4种不同的停放方法：(1)停放在13号车位；(2)停放在57号车位；(3)停放在1、2、7号车位；(4)停放在1、6、7号车位每一种停放方法均有A6种，故共有24种不同的停放方法二、填
6、空题7由1、2、3、4、5、6组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是_(以具体数字作答)答案72解析首位数字是奇数时有AA种排法，首位数字是偶数时也有AA种排法，所以一共可以组成2AA72个奇偶数字相间且无重复数字的六位数8.某广场中心建造一个花圃，花圃分成5个部分(如图)现有4种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种1种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有_种答案72解析依题意，按花圃的5个部分实际栽种花的颜色种数进行分类计数：第一类，花圃的5个部分实际栽种花的颜色种数是3时，满足题意的方法数共有A24种；第二类，花圃的5个部分实际栽种花的颜色种数是4时，满
7、足题意的方法数共有A248种因此，满足题意的方法数共有244872种9某农科院在3行3列9块试验田中选出3块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为_答案解析如图，由于每行每列都有一块试验田种植水稻，当1处种植水稻时，只能是(1,5,9)或(1,6,8)，依此可列出所有可能种植方法为：(1,5,9)，(1,6,8)，(2,6,7)，(2,4,9)，(3,5,7)，(3,4,8)，共6种，又从9块试验田中选3块的选法为C，123456789所求概率为P.10(2014浙江嘉兴月考)已知a，b1,2,3,4,5,6,7,8,9，ulogab，则u的不同取值个数为_答案54解
8、析解法1：枚举法要保证u的取值不同，则有a2时，b可取1,2,3,4,5,6,7,8,9共9种情况；a3时，b可取2,4,5,6,7,8共6种情况；a4时，b可取2,3,5,6,7,8共6种情况；a5时，b可取2,3,4,6,7,8,9共7种情况；a6时，b可取2,3,4,5,7,8,9共7种情况；a7时，b可取2,3,4,5,6,8,9共7种情况；a8时，b可取2,3,4,5,6,7,9共7种情况a9时，b可取2,5,6,7,8共5种情况所以u的不同取值个数为9667777554.解法2：a可取29的数字，有8种取法，b可取19的数字，有9种取法，共有8972种不同取法其中b1时，logab
9、0，这样的取法有8种ab时，logab1，这样的取法有8种，又log24log392，log42log93，log23log49，log32log94，logab的不同取值共有7277454种一、选择题11(2013杭州模拟)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A60B48C36D24答案B解析长方体中，含有四个顶点的平面有两类第一类侧面、底面，对其中每一个面(如底面ABCD)，与其平行的直线有6条，共有6636个“平行线面组”；第二类对角面，对其中每一个面与其平行的直线有2
10、条，共有6212个“平行线面组”共有361248个，选B12(2014黑龙江大庆专项训练)设集合A0,1,2,3,4,5,6,7，如果方程x2mxn0(m，nA)至少有一个根x0A，就称方程为合格方程，则合格方程的个数为()A13B15C17D19答案C解析当m0时，取n0,1,4，方程为合格方程；当m1时，取n0,2,6，方程为合格方程；当m2时，取n0,3，方程为合格方程；当m3时，取n0,4，方程为合格方程；当m4时，取n0,5，方程为合格方程；当m5时，n0,6，方程为合格方程；当m6时，取n0,7，方程为合格方程；当m7时，取n0，方程为合格方程综上可得，合格方程的个数为17，故选C
11、13(2014四川德阳中学诊断)设集合S1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合Aa1，a2，a3，AS，a1，a2，a3满足a1a2a3且a3a26，那么满足条件的集合A的个数为()A76B78C83D84答案C解析在集合S中任取三个数共有C84种情况，这三个数大小关系确定，其中不满足a3a26的只有1,2,9，其他均满足题意，所以满足条件的集合A的个数为C183，故选C14(2014四川成都石室中学一诊)设三位数n100a10bc，若以a，b，c1,2,3,4为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有()A12个B24个C28个D36个答案C解析若为等边三角形，则有4
12、种若为等腰非等边三角形，以底边为准分类：若底边为1，则有3个等腰三角形；若底边为2，则有2个等腰三角形；若底边为3，则有2个等腰三角形；若底边为4，则有1个等腰三角形一个等腰非等边三角形对应有3个三位数，所以共有4(3221)328个15(2014洛阳统考)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有()A30种B60种C90种D150种答案D解析5名教师分成三组有：2,2,1；3,1,1两种分法，所以不同的分配方案有CCCCA150种二、填空题16在空间直角坐标系Oxyz中有8个点：P1(1,1,1)、P2(1，1,1)、P7(1，1，1)、P8(1，1，1)(
13、每个点的横、纵、竖坐标都是1或1)，以其中4个点为顶点的三棱锥一共有_个(用数字作答)答案58解析这8个点构成正方体的8个顶点，此题即转化成以正方体的8个顶点中的4个点为顶点的三棱锥一共有多少个从正方体的8个顶点中任取4个，有不同取法C种，其中这四点共面的(6个对角面、6个表面)共12个，这样的三棱锥有C1258个17(2014合肥质量检测)某办公室共有6人，乘旅行车外出旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙2人的关系较为密切，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有_种答案144解析当甲、乙在第三排且相邻时有4A96种排法，当甲、乙在第二排且相邻时有AA48种排法，所以不同的安排方法总数
14、为144.18(2013潍坊五校联考)数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行这个数为N1，N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1N2N3的所有排列的个数是_答案240解析由题意知6必在第三行，安排6有C种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C种方法，剩下的两个数字有A种排法，按分步计数原理，所有排列的个数是CACA240.点评排列、组合问题的类型及解答策略排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解法灵活实践证明，备考有效的方法是将题型与解
15、法归类，识别模式、熟练运用下面介绍常见排列组合问题的解答策略(1)相邻元素捆绑法在解决某几个元素必须相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列有七名同学站成一排照相，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有_种答案192分析甲站正中间，左边、右边各3人，乙、丙相邻排列后作为一个“整体元素”，按这个整体元素的站位考虑有4种情况，其他位置可任意排列解析依题意得，满足题意的不同站法共有4AA192种(2)相离问题插空法相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法
16、”(2013郑州第一次质量预测)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A12种B18种C24种D48种答案C解析将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有AA种方法而后将丙、丁进行插空，有3个空，有A种排法，故共有AAA24种方法(3)定序问题属组合排列时，如果限定某些元素或所有元素保持一定顺序称为定序问题，定序的元素属组合问题6个人排一队参观某项目，其中甲、乙、丙三人进入展厅的次序必须是先乙，再甲，最后丙，则不同的列队方式有_种答案120解析解法1：由于甲、乙、丙三
17、人的次序已定，故只需从6个位置中选取3个排上其余3人，有A种排法，剩下的三个位置排甲、乙、丙三人，只有一种排法，共有A120种解法2：先选取3个位置排甲、乙、丙三人有C种方法，剩下3个位置站其余3人，有A种方法，共有CA120种(4)定元、定位优先排在有限制条件的排列、组合问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑(2012太原部分重点中学联考)6位同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为()A12 B9C
18、6D5答案B解析当乙、丙中有一人在A社区时有CCC6种安排方法；当乙、丙两人都在B社区时有CC3种安排方法，所以共有9种不同的安排方法(5)至多、至少间接法含“至多”、“至少”的排列组合问题，是需要分类问题可用间接法，即排除法，但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()A36种B30种C42种D60种答案A解析解法1(直接法)：选出的3名志愿者中含1名女生有CC种选法，含2名女生有CC种选法，共有CCCC36种选法解法2(间接法)：若选出的3名全是男生，则有C种选法，至少有一名女生的选法数为CC36种(6)选排问题先选后排法对于
19、排列组合的混合应用题，一般解法是先选(组合)后排(排列)四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_种(用数字作答)答案144解析先从四个小球中取两个放在一起，有C种不同的取法，再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有A种不同的放法，据分步计数原理，共有CA144种不同的放法(7)部分符合条件淘汰法在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有()A18对B24对C30对D36对答案D解析三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C312个不同四面体，而每
20、个四面体有三对异面直线则共有12336对(8)数字问题要弄清可否重复及首位不能为0.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A324B328C360D648答案B解析利用分类计数原理，共分两类：(1)0作个位，共A72个偶数；(2)0不作个位，共AAA256个偶数，共计72256328个偶数，故选B2建模思想一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，nN*)，记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则f(m，n)_.答案C解析从原点O出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m，n)需m个0和n个1.
21、这样爬行方法总数f(m，n)是m个0和n个1的不同排列方法数m个0和n个1共占mn个位置，只要从中选取m个放0即可f(m，n)C.点评(1)例如f(3,4)C，其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行(2)抽象建模后就是一个含相同数字的纯粹排列组合问题方程xyz8的非负整数解的个数为_答案45解析把x、y、z分别看作是x个1，y个1和z个1，则共有8个1，问题抽象为8个1和两个十号的一个排列问题由于x、y、z非负，故允许十号相邻，如11111111表示x2，y0，z6，11111111表示x0，y8，z0等等，不同排法总数为从10个位置中选取2个放十号，方程的非负整数解共
22、有C45个一条街道上共有12盏路灯，为节约用电又不影响照明，决定每天晚上十点熄灭其中的4盏，并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏，问不同熄灯方法有多少种解析记熄灭的灯为0，亮灯为1，则问题是4个0和8个1的一个排列，并且要求0不相邻，且不排在两端，故先将1排好，在8个1形成的7个空中，选取4个插入0，共有方法数C35种点评实际解题中，先找出符合题设条件的一种情形，然后选取一种替代方案，注意是否相邻、相间等受限条件，然后确定有无顺序是排列还是组合，再去求解如图，从上往下读(不能跳读)构成句子“构建和谐社会，创美好未来”的不同读法种数是()构建建和和和谐谐谐谐社社社社社会会会会会会创创创创创美美美美好好好未未来A250B240C252D300答案C解析要组成题设中的句子，则每行读一字，不能跳读每一种读法须10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从左上角到右下角方向读的，故共有不同读法C252种3枚举法如果直线a与b异面，则称a与b为一对异面直线，六棱锥的侧棱与底边共12条棱所在的直线中，异面直线共有_对答案24解析六棱锥的侧棱都相交，底面六条边所在直线都共面，故异面直线只可能是侧棱与底面上的边考察PA与底面六条边所在直线可用枚举法列出所有异面直线(PA，BC)，(PA，CD)，(PA，DE)，(PA，EF)共四对同理与其它侧棱异面的底边也各有4条，故共有4624对