1、高考解答题专项六概率与统计综合问题1.(2021广东揭阳质量检测)某工厂响应“节能减排”的号召,决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响,假设每天的日照情况和日均气温相互独立,该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示:日照情况日均气温不低于15 日均气温低于15 日照充足耗电0千瓦时耗电5千瓦时日照不足耗电5千瓦时耗电10千瓦时日照严重不足耗电15千瓦时耗电20千瓦时根据调查,当地每天日照充足的概率为25,日照不足的概率为25,日照严重不足的概率为15.2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示,区间分组为5,
2、10),10,15),15,20),20,25),25,30),30,35.(1)求图中a的值,并求一年中日均气温不低于15 的频率;(2)用频率估计概率,已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时,试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电?(一年以365天计算)2.(2021河北邯郸一模)某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份,对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测,并按照国家土壤重金属污染评价级标准(清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染)进行分级,绘制了如图所示的条形图.(1)从轻度污染以上(包括轻度污染)的行政村中按分层抽样的方法抽取6个,
3、求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数;(2)规定:轻度污染记污染度为1,中度污染记污染度为2,重度污染记污染度为3.从(1)中抽取的6个行政村中任选3个,污染度的得分之和记为X,求X的数学期望.3.(2021山东日照二模)为保证玉米销售市场稳定,相关部门某年9月份开始采取宏观调控措施.该部门调查研究发现,这一年某地各月份玉米的销售均价(单位:元/斤)走势如图所示.(1)该部门发现,3月到7月,各月玉米销售均价y(单位:元/斤)与月份x之间具有较强的线性相关关系,试建立y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01),若不调控,依据相关关系预测12月份玉米的销售均价;(2)该部门在这一年
4、的12个月份中,随机抽取3个月份的数据作样本分析,若关注所抽三个月份的所属季度,记不同季度的个数为X,求X的分布列和数学期望.参考数据:i=37xi=25,i=37yi=5.36,i=37(xi-x)(yi-y)=0.64,b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=y-bx.4.(2021福建厦门一中模拟)某县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表:土地使用面积x/亩12345管理时间y/月911142620并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如表所示
5、:性别愿意参与管理不愿意参与管理男性村民14060女性村民40(1)求相关系数r的大小(精确到0.01),并判断管理时间y与土地使用面积x的线性相关程度.(2)依据小概率值=0.001的独立性检验,分析村民的性别与参与管理的意愿是否相关?(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况,则从该县中任取3人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X,求X的分布列及数学期望.参考公式:r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2,2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.0.10.050.010.001x
6、2.7063.8416.63510.828参考数据:48522.02.5.(2021湖北华中师大一附中月考)某市消防部门对辖区企业员工进行了一次消防安全知识问卷调查,通过随机抽样,得到参加问卷调查的500人(其中300人为女性)的得分(满分100)数据,统计结果如表所示:得分40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100男性人数206040403010女性人数107060755035(1)把员工分为对消防知识“比较熟悉”(不低于70分的)和“不太熟悉”(低于70分的)两类,请完成如下22列联表,并依据小概率值=0.01的独立性检验,分析该企业员工对消防知识的熟悉程度与
7、性别是否有关联?性别不太熟悉比较熟悉合计男性女性合计(2)为增加员工消防安全知识及自救、自防能力,现将企业员工分成两人一组开展“消防安全技能趣味知识”竞赛.在每轮比赛中,小组两位成员各答两道题目,若他们答对题目个数和不少于3个,则小组积1分,否则积0分.已知A与B在同一小组,A答对每道题的概率为p1,B答对每道题的概率为p2,且p1+p2=1,理论上至少要进行多少轮比赛才能使A,B所在的小组的积分的期望值不少于5分?附:0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.8282=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+
8、d.6.某市举办了一次“诗词大赛”,分预赛和复赛两个环节,已知共有20 000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本,得到如下的统计数据.得分(百分制)0,20)20,40)40,60)60,80)80,100人数1020302515(1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,求恰有1人预赛成绩优良的概率.(2)由样本数据分析可知,该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(,2),其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且2=361.利用该正态分布,估计该
9、市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于72分的人数.(3)预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛,复赛规则如下:参加复赛的学生的初始分都设置为100分;参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量n,每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格(即用分数来买答题资格),规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k=1,2,n);每答对一题得2分,答错得0分;答完n道题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为0.75,且每道题答对与否都相互独立,则当他的答题数量n为多少时,他的复赛成绩的期望值最大?参考数据:若ZN(,2),则P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954
10、5,P(-3Z+3)0.997 3.高考解答题专项六概率与统计综合问题1.解(1)依题意得a=15(1-0.025-0.035-0.035-0.045-0.035)=0.05.一年中日均气温不低于15 的频率为0.035+0.045+0.055+0.035=0.75=34.(2)由(1)知,这一年中日均气温不低于15 的概率的估计值为34,即一年中日均气温低于15 的概率的估计值为14.设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为X,X的所有可能取值为0,5,10,15,20,则P(X=0)=2534=620=310,P(X=5)=2534+2514=820=25,P(X=10)=2514=220=1
11、10,P(X=15)=1534=320,P(X=20)=1514=120.所以X的分布列为X05101520P31025110320120所以X的数学期望E(X)=0310+525+10110+15320+20120=254=6.25.所以使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为20-6.25=13.75(千瓦时),所以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为13.75365=5 018.75(千瓦时).2.解(1)轻度污染以上(包括轻度污染)的行政村共9+6+3=18个,所以从轻度污染的行政村中抽取的个数为6189=3,从中度污染的行政村中抽取的个数为6186=2,从重度污染的行政村中抽取的个数
12、为6183=1.(2)X的所有可能取值为3,4,5,6,7.P(X=3)=C33C63=120,P(X=4)=C32C21C63=310,P(X=5)=C32+C31C22C63=310,P(X=6)=C31C21C63=310,P(X=7)=C22C63=120.所以X的分布列为X34567P120310310310120所以E(X)=3120+4310+5310+6310+7120=5.3.解(1)由题意月份x34567均价y/(元/斤)0.950.981.111.121.20x=5,y=1.072,i=37(xi-x)2=10,b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=
13、0.0640.06,a=y-bx=0.7520.75.从3月到7月,y关于x的经验回归方程为y=0.06x+0.75.当x=12时,代入回归方程得y=1.47,即可预测第12月份玉米销售均价为1.47元/斤.(2)X的取值为1,2,3,P(X=1)=C41C123=155,P(X=3)=C43C31C31C31C123=2755,P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=2755,X的分布列为X123P15527552755E(X)=1155+22755+32755=13655.4.解(1)由题意可得x=1+2+3+4+55=3,y=9+11+14+26+205=16,i=15(xi-x)
14、(yi-y)=(-2)(-7)+(-1)(-5)+0(-2)+110+24=37,i=15(xi-x)2i=15(yi-y)2=(-2)2+(-1)2+0+1+22(-7)2+(-5)2+(-2)2+102+42=1 940,r=371 9400.84,管理时间y与土地使用面积x具有较强的正相关性.(2)由题意可知,性别愿意参与管理不愿意参与管理合计男性村民14060200女性村民4060100合计180120300零假设为H0:村民的性别与参与管理的意愿无关,根据列联表中的数据,得2=300(14060-4060)2200100180120=2510.828=x0.001,根据小概率值=0.
15、001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性.(3)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3,XB3,15,P(X=0)=453=64125;P(X=1)=C3145215=48125;P(X=2)=C3245152=12125;P(X=3)=153=1125.X的分布列为X0123P6412548125121251125E(X)=064125+148125+212125+31125=35.5.解(1)性别不太熟悉比较熟悉合计男性12080200女性140160300合计260240500零假设为H0:该企业员工对消防知识的熟悉程度与性别无关联.根据列联表中
16、的数据,计算可得2=500(120160-14080)22602402003008.5476.635=x0.01.根据小概率值=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关联.(2)A,B在一轮比赛中积1分的概率为P=C21p1(1-p1)C22(p2)2+C22(p1)2C21p2(1-p2)+C22(p1)2C22(p2)2=2p1p2(p1+p2)-3(p1p2)2,又p1+p2=1,0p21,则p1p2=(1-p2)p20,14.P=2p1p2-3(p1p2)2=-3p1p2-132+13,且0p1p214,当p1p2=14时,Pmax=51
17、6.设A,B所在的小组在n轮比赛中的积分为,则Bn,516,E()=516n5,解得n16,故理论上至少要进行16轮比赛.6.解(1)由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有40人,其中成绩优良的人数为15人,记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,恰有1人预赛成绩优良”为事件A,则P(A)=C251C151C402=2552.(2)由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为x=100.1+300.2+500.3+700.25+900.15=53,则=53,由2=361,得=19,所以P(Z72)=P(Z+)=12(1-P(-Z+)0.158 65,所以,估计该市参加预赛的
18、全体学生中,成绩高于72分的人数为20 0000.158 65=3 173,即全市参赛学生中预赛成绩高于72分的人数为3 173.(3)以随机变量表示甲答对的题数,则B(n,0.75),且E()=0.75n,记甲答完n题所加的分数为随机变量X,则X=2,所以E(X)=2E()=1.5n,依题意为了获取答n道题的资格,甲需要“花”掉的分数为0.2(1+2+3+n)=0.1(n2+n),设甲答完n题后的复赛成绩的期望值为f(n),则f(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9,由于nN*,所以当n=7时,f(n)取最大值104.9.即当他的答题数量n=7时,他的复赛成绩的期望值最大.
