1、第29讲 函数与方程思想、数形结合思想1考题展望函数与方程思想是中学数学的基本数学思想，高考试题中考查函数与方程思想的题目占较大比例，题型涉及选择题、填空题、解答题，难度有难有易，试题中的大部分压轴题与函数方程思想有关，作为中学数学的主要思想，今后将仍然是高考考查的重点内容 数形结合思想在每年的高考中都有所体现，尤其是某些选择题、填空题，数形结合非常有效从近几年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考题中将会有所加强，应引起重视2高考真题考题1(2012 辽宁)设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当 x0，1时，f(x)x3.
2、又函数 g(x)|xcos(x)|，则函数 h(x)g(x)f(x)在12，32上的零点个数为()A5 B6 C7 D8【解析】选 B.原题转化为函数 f(x)与 g(x)的图象在12，32上有几个交点问题可知函数 f(x)为偶函数，故 f(x)f(2x)f(x2)，所以函数 f(x)是周期为 2的函数当 x32，12，0，12时，g(x)0，当 x1 时，g(x)1，且 g(x)是偶函数，值域为非负，由此可画出函数 yg(x)和函数 yf(x)的图象如图所示，由图可知两图象有 6 个交点，所以选 B.【命题立意】本题考查函数的奇偶性、周期性，函数与零点，函数与导数的综合应用，意在考查考生分析
3、问题、解决问题的能力及数形结合思想的应用考题2(2012 安 徽)设 函 数 f(x)aex 1aex b(a0)(1)求 f(x)在0，)上的最小值；(2)设曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y32x，求 a，b 的值【解析】(1)f(x)aex 1aex 当 f(x)0 即 xlna 时，f(x)在(lna，)上递增；当 f(x)0 即 xlna 时，f(x)在(，lna)上递减；当 0a1 时，lna0，f(x)在(0，lna)单调递减，在(lna，)单调递增 从而 f(x)在0，)内的最小值为 f(lna)2b 当 a1 时，lna0，f(x)在0，)单调递增 从而 f(
4、x)在0，)内的最小值 为 f(0)a1ab.(2)f(2)ae2 1ae232解得：ae22 或 ae212(舍去)a2e2，代入原函数可得：212b3，即 b12.故 a2e2，b12.【命题立意】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质的基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力1函数与方程思想(1)函数思想指应用函数的概念和性质去分析和解决问题，具体表现在：通过函数性质解题，应用映射和函数观点去观察和分析问题，有关不等式或讨论方程解的个数，求参数的范围等问题通过构造函数运用函数性质求解(2)方程思想是指应用变量间相等关系，建立方程(
5、或方程组)后解答问题，如：将函数与方程间等价转化，通过等价转化为关于某变量的方程后来达到解决问题的目标2数形结合思想数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间图形结合起来考查的思想方法，即根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究；或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究数与形转换的三条途径：(1)通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解(2)转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化为形的角度来考虑(3)构造，通过对数(式)与形特点的分析，联想相关知识，构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等来分析解决问题1函数与方程思想的简单应用 例1(1)函数 f
6、(x)2xk1k2x(x0)是奇函数，则实数 k 等于()A1 B0 C1 或1 D0 或 1 C【解析】f(x)是奇函数，且 x0，f(x)f(x)，即 2xk1k2x1k2x2xk 2xk1k2x，1k2x2xk 2xk1k2x0，（1k2x）（1k2x）（2xk）（2xk）（2xk）（1k2x）0，化简整理，得（1k2）（22x1）（2xk）（1k2x）0.22x10，1k20，即 k1，故应选 C.【点评】本题由奇函数的定义，将函数问题转化为方程问题分析求解充分运用了函数与方程思想(2)已 知 以T 4为 周 期 的 函 数f(x)m1x2，x（1，1，1|x2|，x（1，3，其中 m
7、0.若方程 3f(x)x 恰有 5 个实数解，则 m 的取值范围为_(153，7)【解析】根据 f(x)的解析式可作出 y3f(x)的图象，如图所示3f(x)x 有 5 个实数解，由图象知：当 x(3，5)时，yx 与 y3f(x)有两个交点，即方程 3m 1（x4）2x 有两个根，10.当 x(7，9)时，yx 与 y3f(x)无交点，即方程 3m 1（x8）2x 无根，20.由得 153 m0，kxsin x2 在 x0，1恒成立时，只需00，b0 时，求证：f(a)f(b)f(ab)(ab)ln2.【解析】(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)lnx1，令 f(x)0，得：x1e，当
8、x(0，)时，f(x)，f(x)变化的情况如下：x(0，1e)1e(1e，)f(x)0f(x)极小值所以，f(x)在(0，)上的最小值是 f(1e)1e.(2)当 x(0，1e)时，f(x)单调递减且 f(x)的取值范围是(1e，0)；当 x(1e，)时，f(x)单调递增且 f(x)的取值范围是(1e，)所以，当 m1e时，原方程无解；当 m1e或 m0 时，原方程有唯一解；当1emx0)则 g(x)xlnx(kx)ln(kx)(0 x0，则 ln xkx0，xkx1，2xkkx 0，解得：k2xk，令 g(x)0，解得：0 xb0.如图，半椭圆x2b2y2a21(y0)内切于矩形 ABCD，
9、且 CD 交 y 轴于点G，点 P 是半圆 x2y2b2(y0)上异于 A、B 的任意一点，当点 P 位于点 M(63，33)时，AGP的面积最大(1)求曲线 C 的方程；(2)连 PC，PD 交 AB 分别于点 E，F，求证：|AE|2|BF|2 为定值【解析】(1)已知点 M(63，33)在半圆 x2y2b2(y0)上，所以(63)2(33)2b2，又 b0，所以 b1，当半圆 x2y2b2(y0)在点 P 处的切线与直线 AG平行时，点 P 到直线 AG 的距离最大，此时AGP的面积取得最大值，故半圆 x2y2b2(y0)在点M 处的切线与直线 AG 平行，所以 OMAG，又 kOMyM
10、0 xM0 22，所以 kAG 2ab，又 b1，所以 a 2，所以曲线 C 的方程为 x2y221(y0)和 x2y21(y0)(2)点 C(1，2)，点 D(1，2)，设 P(x0，y0)，则有直线 PC 的方程为 y 2y0 2x01(x1)，令 y0，得 xE1 2（x01）y0 2，所以|AE|2 2（x01）y0 2；直线 PD 的方程为 y 2y0 2x01(x1)，令 y0，得 xF1 2（x01）y0 2，所以|BF|2 2（x01）y0 2；则|AE|2|BF|2 2 2（x01）y0 22 2 2（x01）y0 224x024（y0 2）2 8 2y0 28，又由 x02
11、y021，得 x021y02，代入上式得|AE|2|BF|284y02（y0 2）2 8 2y0 28 84y028 2（y0 2）（y0 2）2 8 4（y0 2）2（y0 2）284，所以|AE|2|BF|2 为定值【点评】本例涉及解析几何中的轨迹问题和定值问题，着重考查运算求解和推理论证能力；在解题的过程中要恰当的应用数形结合思想，使运算求解和推理论证目标明确、过程简要备选题某营养师要为某儿童预订午餐和晚餐，已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.别外，该儿童这两餐需要
12、的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【解析】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和 y 个单位，所花的费用为 z 元，则 依 题 意，得 z 2.5x 4y，且 x，y 满 足x，yN*12x8y646x6y426x10y54，即x，yN*3x2y16xy73x5y27.作出可行域如下图，则 z 在可行域的四个顶点 A(9，0)，B(4，3)，C(2，5)，D(0，8)处的值分别是zA2.594022.5z
13、B2.544322，zC2.524525，zD2.504832.比较之，zB 最小，因此，应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐，就可满足要求【点评】本题系线性规划应用问题分析求解既要准确转化翻译题设条件，又要应用数形结合思想确定最优解及目标函数的数值1函数与方程的转化常见问题有：(1)函数与其图象可视为二元方程与曲线的关系(2)方程中的参变量必要时可视为其中某个量的函数，从而利用函数性质研究(3)解方程或不等式时可视其结构联想到相关函数图象或性质给予解决(4)数列的相关问题可视为函数问题或转化为方程和不等式解决2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：一是等价性原则，
14、要注意由于所作的草图不能精确刻画数量关系带来的负面效应；二是双向性原则，即进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易失真；三是简单性原则，不要为了“数形结合”而数形结合，而取决于是否有效、简便和更易达到解决问题的目的3数形结合的主要解题方式有：(1)数转化为形，即根据所给出的“数”的特点，构造符合条件的几何图形，用几何方法去解决(2)形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究几何问题(3)数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合，使问题变得简捷、直观、明了1用 mina，b，c表示 a，b，c 三个
15、数中的最小值设 f(x)min2x，x2，10 x(x0)，则 f(x)的最大值为()A4 B5 C6 D7【解析】f(x)min2x，x2，10 x(x0)的图象如图所示，C令 x210 x，解得 x4.当 x4 时，f(x)取得最大值，f(4)426，故选 C.2 函 数 y 11x 的 图 象 与 函 数 y 2sin x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A2 B4C6 D8D【解析】令 1xt，则 x1t.由2x4，知21t4，所以3t3.又 y2sin x2sin(1t)2sin t.在同一坐标系下作出 y1t和 y2sin t 的图象由图可知两函数图象在3，3上共有 8
16、个交点，且这 8 个交点两两关于原点对称因此这 8 个交点的横坐标的和为 0，即 t1t2t80.也就是 1x11x21x80，因此 x1x2x88.3在ABC 中，AB 3，BC2，A2，如果不等式|BA tBC|AC|恒成立，则实数 t 的取值范围是()A1，)B12，1C(，121，)D(，01，)C【解析】由已知：AC1，|BA tBC|AC|32tBA BC 4t21，BA BC 32 32 34t26t20，2t23t10，t1 或 t12.故选 C.4定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x)f(x4)，且 x2 时 f(x)递增，x1x24，(x12)(x22)0，则 f(x
17、1)f(x2)的值是()A恒为正数B恒为负数C等于 0 D正、负都有可能B【解析】由(x12)(x22)0，不妨设 x1x2，则 x12x2，又 x24x1，2x24x1，f(x1)f(x2)f(x1)f(4x1)f(x1)f(x1)0.5在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2y24上有且只有四个点到直线 12x5yc0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是_(13，13)【解析】要使圆上有且仅有 4 个点到 l 的距离为 1，只需原点 O 到直线的距离小于 1，|c|122521，13c0，b0)的最大值为 8，则 ab 的最小值为_4【解析】可行域如右图所示，abxy 最大值为8(a
18、0，b0)，目标函数等值线 l：yabxz 取最大值时的最优解为2xy208xy40，解得 A(1，4)，8ab4，ab4.又ab2 ab；当 ab2 时取等号，ab4.7在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f(x)ex(x0)的图象上的动点，该图象在点 P 处的切线l 交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是_12(e1e)【解析】设点 P(x0，ex0)，则 f(x0)ex0(x00)所以 f(x)ex(x0)在 P 点的切线 l 的方程为yex0ex0(xx0)所以 M(0，ex0 x0ex0)过
19、P 点的 l 的垂线方程为 yex0 1ex0(xx0)，所以 N(0，ex0 x0ex0)所以 2tex0 x0ex0ex0 x0ex02ex0 x0ex0 x0ex0(x00)则(2t)2ex0ex0 x0ex0ex0 x0ex0(1x0)(ex0ex0)因为 ex0ex00，所以当 1x00，即 0 x00，2t 在 x0(0，1)上单调递增；当 1x01 时，(2t)0，即 13k2m20.设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则 x1、x2 是方程(13k2)x26kmx3(m21)0的两根，x1x2 6km13k2，x1x23（m21）13k2.则 PQ 中点 N(x0，y0)的坐标为x0 x1x22 3km13k2，y0kx0mm13k2，即 N(3km13k2，m13k2)又|AP|AQ|，AN PQ，kkAN1，即 km13k213km13k21，m13k22，代入 13k2m20，得 13k2(13k22)20(k0)，k21，k(1，0)(0，1)综合，得 k 的取值范围是(1，1)