1、圆锥曲线专项突破二级结论汇总姓名： 班级： 士心著圆锥曲线的应用二级结论汇总编写者：士心目录上 篇：六脉神剑一认识二级结论：3【二级结论的定义】3【二级结论的意义】3二、圆锥曲线中常见二级结论：3第一讲【蒙日圆定理】少商剑31.代数定义32.代数描述33.方程描述34.证明方法45.证明过程46.例题展示5第二讲【对称点定理】商阳剑61.代数定义62.图形定义63.证明过程64.例题展示7第三讲【极点极线定理】中冲剑81.交比的定义82.调和共轭的定义83.几何定义84.极线方程95.图形定义96.性质定理97.例题展示10第四讲【RSH圆系列定理】关冲剑12（一）圆周角定理在圆锥曲线内的推广
2、12（二）垂径定理在圆锥曲线内的推广13（三）日父点定理：圆锥曲线定点在向量上的推广14第五讲【调和点定理】少冲剑161.代数定义162.证明过程173.例题展示18第六讲【内准圆定理】少泽剑181.代数定义192.图形定义193.性质定理194.证明过程205.例题展示22上 篇一认识二级结论：【二级结论的定义】数学家在研究某一数学问题时，提出的猜想在当时或被后来得到证实，所形成的固有的一成不变的真理。【二级结论的意义】在高考解题过程中，二级结论可以简化运算过程，让学生在短时间内高效拿分，比起传统的正向解题思路（顺藤摸瓜），二级结论的解题思路（带着答案推过程）更适用于考生的拿分。二、圆锥曲线
3、中常见二级结论：第一讲【蒙日圆定理】少商剑：剑路雄劲，颇有石破天惊，风雨大至之势1.代数定义：过圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是一个圆，这个圆被称为蒙日圆，又叫外准圆2.代数描述：蒙日圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方和（差）的算术平方根。3.方程描述：（1）椭圆的蒙日圆方程为： （2）双曲线的蒙日圆方程为： （3）抛物线的蒙日圆方程为：注意：双曲线中只有当时才有蒙日圆，此时满足；抛物线的蒙日圆恰好为其（直线是半径为无穷大的圆）。4. 证明方法：仿射变换5. 证明过程（以椭圆为例）：已知在椭圆中，过椭圆外一点P做两条切线且，试证明：P的轨迹为一个圆
4、，且圆满足.证明： 由仿射变换得：，则椭圆变为设原斜率分别为，变换后为，所以设变换后的坐标系动点,过点的直线为：到原点距离为即由韦达定理得：，化简得：由于原坐标系中所以在原坐标系中轨迹方程为：，证毕6. 例题展示：例题（2021春宣城期末）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点与短轴端点构成的四边形面积为（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆外一点P作两条互相垂直的直线，与椭圆均相切，切点分别为A，B两点（i）求P得轨迹方程（）记原点O到的距离分别为求的最大值解（思路）：（1）由已知条件得；（2） （i）设相关点坐标，直线方程（只设一个一般方程） 联立求判别式（必要过程） 数学构造思想（视作方程的两个根
5、） 由已知条件化简代入求值（先直接用定理先求出解） 斜率不存在时检验（必要过程） 综上所述（答案综述） （）基本不等式考察第二讲【对称点定理】商阳剑：巧妙灵活，难以捉摸1. 代数定义：已知一个焦点在x轴上的椭圆C,一条直线过交椭圆于A、B两个点，交x轴于点F,若P为B关于x轴的对称点，则直线AP过定点2. 图形定义：3. 证明过程：已知一个焦点在x轴上的椭圆C,一条直线过交椭圆于A、B两个点，交x轴于点F,若P为B关于x轴的对称点（P也在椭圆C上）.试证明：直线AP过定点.证明:设则依据韦达定理得：设定点，因为解得：，代入直线方程化简得：将韦达定理代入得：4. 例题展示：例题（2020潍坊模拟
6、）已知椭圆C1：（ab0）的右顶点与抛物线C2：y22px（p0）的焦点重合C1的离心率为12，过C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为42（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点M（3，0）的直线l与椭圆C1交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE过定点解（思路）：（1）由已知条件得；（2）设相关点坐标，直线方程 联立求判别式及韦达定理（必要过程） 由已知条件化简代入求值（先直接用定理先求出解） 斜率不存在时检验（必要过程） 综上所述（答案综述）第三讲【极点极线定理】中冲剑：大开大阖，气势雄迈1.交比的定义：交比亦称非调和比。是分式线性变换的一种不变量。在
7、分式线性变换下任意四点的交比不变，换句话说，交比是线性变换的不变量。设a,b,c,d是任意四个互异的有限复数，则称为这四个数（或点）的交比，记为：2.调和共轭的定义：过不在二次曲线C上的一点P作直线l交二次曲线于M、N两点，则由交比的性质可知，在直线l上有且只有一点Q，使。我们把Q叫做P关于二次曲线C的调和共轭点，或称P、Q关于二次曲线C调和共轭。显然，点P的调和共轭点有无穷多个，且若Q是P关于二次曲线C的调和共轭点，则P也是Q关于C的调和共轭点，即P、Q互为调和共轭点。 3.几何定义：点P关于二次曲线C的调和共轭点Q的轨迹是一条直线，这条直线叫做点P关于二次曲线C的极线，而P叫做这条直线的极
8、点。注意：这个定义中要求P不在曲线C上，若不然，则P与M或N重合。规定当P在曲线C上时，它的极线就是过它的切线。4.极线方程：已知圆锥曲线，则称和直线为圆锥曲线的一对极点和极线.5.图形定义：P为不在圆锥曲线上的一点，过点P引两条割线依次交圆锥曲线与E、F,连结EH,FG交于点N,连结并延长GE,HF交于点M,则直线MN为点P的极线.其中，PM为点N对应的极线，PN为点M对应的极线，三角形MNP称为自极三角形，若连结MN交圆锥曲线于A、B，则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.6.性质定理：定理一： （1）当P在圆锥曲线上时，极线就是曲线在P点处的切线；（2）当P在圆锥曲线外时，极线是曲线从P所
9、引两条切线的切点所确定的直线；（3）当P在圆锥曲线内时，极线是曲线过点P的任意一条割线两端点处的切线交点的轨迹.（4）极点为焦点，则极线为准线（极准重合）定理二（配极原则）：(1)点P关于曲线的极线P过点Q点Q关于曲线的极线过点P(2)直线P关于曲线的极点P在直线q上直线q关于曲线的极点Q在直线p上定理三：设点P关于圆锥曲线的极线为,过点P任意作一条割线交其与A、B两点，交于点Q，则反之，若成立，则称P、Q调和分割线段A、B，或称点P与点Q关于曲线共轭定理四：若直线与圆锥曲线有两个交点，则圆锥曲线关于此直线（极线）的极点在圆锥曲线外，若有一个交点，则在圆锥曲线上，若无交点，则在圆锥曲线内.7.
10、 例题展示：例题（2020秋徐汇区校级期末改编）已知椭圆C：，点P（2，2）为椭圆外一点当过点P的动直线l与椭圆C相交于两个不同点A、B时，线段AB上取点Q，满足|AP|QB|=|AQ|PB|，证明：点Q总在某定直线上证明：（1）设相应坐标及直线方程设，当直线斜率存在时，设（2）联立求韦达定理则依据韦达定理可得：（3）由已知条件推导出Q的横坐标表达式，后将韦达定理带入化简由|AP|QB|=|AQ|PB|得所以代入得（4）化简消去k,只保留x、y关系式又因为，联立消去k得（5）k不存在时检验当斜率不存在时，联立圆锥曲线与直线方程得，也在上（6）综述答案综上所述：Q在直线上，证毕改编：已知椭圆C：
11、，若点M为直线上的一点，且直线MA,MB分别于曲线C相切于A、B,求证：直线AB过定点证明：（1）设相应坐标及直线方程，因为AB在曲线C上（2）求切线方程，视作两个根，化二为一所以则（3）求出一般方程，后结合题目所给条件化简所以直线AB，又因为（4）对比，一一对应找出定点代入得，所以过定点第四讲【RSH圆系列定理】关冲剑：以拙滞古朴取胜（一）圆周角定理在圆锥曲线内的推广：1. 代数定义：若AB为圆锥曲线的直径，点M为曲线上异于A、B的任意一点，则有2. 证明方法：仿射变换3. 证明过程：由仿射变换得：，则椭圆变为设原斜率分别为，变换后为，所以注：双曲线可看做虚椭圆，故证明过程可同理上述4. 例
12、题展示：（2017春红塔区校级期中）已知P，A，B是双曲线(a0，b0)上不同的三点，且A，B关于原点对称，若直线PA，PB的斜率乘积kPAkPB=34，则该双曲线的离心率是（C）A2 B32 C72 D22解：由圆周角定理推广可得：（二） 垂径定理在圆锥曲线内的推广：1.代数定义：若M为圆锥曲线的弦AB中点，其中AB不平行于对称轴且不过曲线中心，则有2.证明方法：仿射变换3.证明过程：由仿射变换得：，则设直线与椭圆C的两个交点为线段AB中点为M则由仿射变换可得：由圆的垂径定理得：将代入化简得注：双曲线可看做虚椭圆，故证明过程可同理上述4.例题展示：（2021秋9月份月考）设直线l与双曲线C：
13、（a0，b0）交于A，B两点，若M是线段AB的中点，直线l与直线OM（O是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则此双曲线C的离心率为（D）A2B3C2D3解：由垂径定理推广可得：（三） 日父点定理：圆锥曲线定点在向量上的推广1. 代数定义：已知椭圆过椭圆焦点直线交椭圆于A、B两点，在平面内存在一定点Q，使得是一个具体的定值，且，此点又被称为日父点2. 证明过程：（1） 设相关坐标及直线方程设，设（2） 联立方程求韦达定理则依据韦达定理可得：（3） 由已知条件推出关于韦达定理的表达式，然后代入化简因为所以（4）依据题干求解方程，化简求定点因为与k无关，所以k的二次方，一次方，及常数项的系数都为0所以整
14、理化简可得：因此3.例题展示：（2021秋虹口区期末改编）已知椭圆：x212+y28=1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点P（0，t）（1）在平面内是否存在定点Q，使得是一个确定的常数？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由解：依据日父点定理可得4.结论推广：（1）在双曲线中，过定点交椭圆于A、B两点，在平面内存在一定点Q，使得是一个具体的定值，且（2）在椭圆中，过定点交椭圆于A、B两点，在平面内存在一定点Q，使得是一个具体的定值，且第五讲【调和点定理】少冲剑：轻灵迅速，如破竹之势1.代数定义：过圆锥曲线顶点（椭圆左右顶点，双曲线左右顶点，抛物线顶
15、点）的两条互相垂直的直线交圆锥曲线分别于M、N两点，则直线MN过定点（1）在椭圆中，若满足上述条件，则过定点，或写成离心率形式：其中表示椭圆自身离心率，表示与椭圆具有相同ab的双曲线（共轭双曲线）的离心率（2）在双曲线中，若满足上述条件，则过定点，或写成离心率形式：其中表示双曲线自身离心率，表示与双曲线具有相同ab的双曲线（共轭椭圆）的离心率（3）在抛物线中（开口左右），若满足上述条件，则过定点注：当在椭圆中，若过上下顶点，则结论定点取倒数，同理，在抛物线中，若开口向上下，则结论定点取倒数2.证明过程：（以双曲线和抛物线举例，椭圆证明过程与双曲线类似）双曲线证明过程：（1）设相关坐标及直线方程
16、设直线MN（2）联立方程求韦达定理则依据韦达定理可得：（3）由已知条件推出关于韦达定理的表达式，然后代入化简据题干代入化简得（4）依据题干求解方程，化简求定点依求根公式得：将其代入直线MN方程并舍去不满足题意根，对保留根进行化简，恒过抛物线证明过程：（1）设相关坐标及直线方程设直线MN（2）联立方程求韦达定理则依据韦达定理可得：（3）由已知条件推出关于韦达定理的表达式，然后代入化简据题干代入化简得（4）依据题干求解方程，化简求定点依求根公式得：将其代入直线MN方程并舍去不满足题意根，对保留根进行化简，恒过3.例题展示：（2013秋中山期末改编）已知直线l：y2x与抛物线C：y=14x2交于A（
17、xA，yA）、O（0，0）两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点B（xB，yB）如图所示（1）过抛物线y=14x2的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由解：根据结论可得，过定点，定点坐标为第六讲【内准圆定理】少泽剑：忽来忽去，变化精微1. 代数定义:A、B为椭圆或双曲线上两点，O为中心，且过点O作AB的垂线，垂足为H ,OH为定值，点H的轨迹为圆,此圆称为内准圆注:双曲线在离心率大于时才有内准圆2. 图形定义： 3.性质定理定理一：平方倒和相加为定值（1）在椭圆中，满足（2）在双曲线
18、中，满足定理二：垂足轨迹为定圆（1）在椭圆中，垂足H轨迹满足（2）在双曲线中，垂足H轨迹满足定理三：弦长AB取值波动区间为定值（1）在椭圆中，弦长AB范围满足（2）在双曲线中，弦长AB范围满足定理四：三角形AOB面积取值波动区间为定值（1）在椭圆中，三角形AOB面积取值满足（2）在双曲线中，三角形AOB面积取值满足4.证明过程：（以椭圆为例）（1）定理一证明：设，OA与x轴夹角为，则，对B进行化简得把A、B代入椭圆化简得，所以，证毕（2）定理二证明：因为，且两边同乘得所以，证毕（3）定理三证明：因为又因为所以所以因此所以当时取最小值，此时在时取最大值，此时所以，证毕（4）定理四证明：设，因为，
19、由均值不等式得即化简得，当且仅当时取等因为A、B在椭圆上，由柯西不等式得所以，证毕5.例题展示：（2022春八校大联考）折纸在我国源远流长某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸步骤1：设圆心是E，在圆内不是圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；此时圆周上与F重合的点标记为A步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；此时AE与折痕交与点P步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕所有焦点P组成的图形便是一个椭圆若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为2，O为EF中点，按上述步骤折纸，把所有交点P组成的椭圆记为C，以EF所在直线为x轴，以O点为原点建立平面直角坐标系（1） 求折痕围成的椭圆C的标准方程（2） 设直线与椭圆交G、Q两点，且OG垂直OQ,试问点O到直线的距离是否为定值，如果是定值，求该定值，如果不是定值，说明理由解：（2）根据内准圆定理二得
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