1、52三角函数的概念52.1三角函数的概念新课程标准解读核心素养1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值，并会判断给定角的三角函数值的符号数学抽象、数学运算2.掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题逻辑推理、数学运算 初中我们就学习了锐角三角函数，如图，为锐角，sin ，cos ，tan ，三角函数值为两个边长的比值问题如图所示，以单位圆的圆心O为原点，建立直角坐标系，设点P(xP，yP)，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角的正弦函数的定义吗？知识点一任意角的三角函数的定义条件如图，设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)定义正弦点P的纵坐标y叫做的正弦函
2、数，记作sin ，即ysin_余弦点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作cos ，即xcos_正切点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作tan ，即tan_(x0)三角函数 正弦函数ysin x，xR；余弦函数ycos x，xR；正切函数ytan x，xk，kZ三角函数的定义(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数；(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)sin 表示sin与的乘积()(2)如图所示，sin y.()(3)终边落在y轴上的角的正切
3、函数值为0.()答案：(1)(2)(3)2已知角的终边经过点，则sin _，cos _，tan _答案：知识点二三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若是三角形的内角，则必有sin 0.()(2)若sin 0，则是第一或第二象限角()答案：(1)(2)2若sin 0且cos 0，则角为第_象限角答案：三知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式：sin(k2)sin，cos(k2)cos，tan(k2)ta
4、n，其中kZ.根据三角函数的诱导公式一，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？提示：终边相同的角的同一三角函数值相等诱导公式一的结构特点(1)其结构特点是函数名相同，左边角为2k，右边角为；(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现；(3)此公式也可以记为：sin(k360)sin ，cos(k360)cos ，tan(k360)tan .其中kZ. 三角函数的定义及应用例1(链接教科书第179页例2)(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角，的终边分别与单位圆交于点和，那么sin cos ()ABC. D.(2)设
5、a0，角的终边与单位圆的交点为P(3a，4a)，那么sin 2cos 的值等于()A. BC. D解析(1)角，的终边与单位圆分别交于点和，故由定义知sin ，cos ，sin cos .(2)点P在单位圆上，则|OP|1.即 1，解得a.a0，解得m .答案：2已知角的终边落在射线y2x(x0)上，求sin ，cos 的值解：设射线y2x(x0)与单位圆的交点为P(x，y)，则解得即P，所以sin y，cos x.三角函数值符号的判定例2(链接教科书第180页例3、第181页例4)(1)已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2
6、)sin 285cos(105)_0(填“”或“”)解析(1)依题意得由tan 0知，是第二、四象限角当是第二象限角时，cos 0，符合题意；当是第四象限角时，cos 0，不符合题意故选B.(2)因为285是第四象限角，所以sin 2850.因为105是第三象限角，所以cos(105)0.答案(1)B(2)正弦、余弦函数值的正负规律 跟踪训练1(多选)给出下列各三角函数值：sin(100)；cos(220)；tan(10)；cos .其中符号为负的是()A BC D解析：选ABCD因为100角是第三象限角，所以sin(100)0；因为220角是第二象限角，所以cos(220)0；因为10，所以
7、角10是第二象限角，所以tan(10)0；cos 10.故选A、B、C、D.2当为第二象限角时，的值是()A1 B0C2 D2解析：选C为第二象限角，sin 0，cos 0.2.诱导公式一的应用例3(链接教科书第181页例5)求下列各式的值(1)costan；(2)sin 420cos 750sin(690)cos(660)解(1)因为coscoscos，tantantan1，所以costan1.(2)因为sin 420sin(36060)sin 60，cos 750cos(236030)cos 30，sin(690)sin(236030)sin 30，cos(660)cos(236060)c
8、os 60，所以sin 420cos 750sin(690)cos(660)1.利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤 跟踪训练计算：(1)sin(1 380)cos 1 110cos(1 020)sin 750；(2)costan.解：(1)原式sin(436060)cos(336030)cos(336060)sin(236030)sin 60cos 30cos 60sin 301.(2)原式costancostan1.三角函数在单位圆中的几何表示及应用设角的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点N，则点P的坐标
9、为(cos ，sin )，其中cos OM，sin ON，即角的余弦和正弦分别等于角的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标以A为原点建立y轴与y轴同向，y轴与的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T)，如图，则tan AT(或AT)我们把有向线段OM，ON和AT(或AT)分别叫做的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示问题探究1设角x rad，且0x ，于是x，sin x，tan x都是实数，请你给x一个具体的值，比较三个实数的大小提示： 我们先给x一个具体的值来进行比较：取x，则sin x，tan x.因为，所以sin，所以tan .从而可得sin tan
10、.即当x时，sin xxtan x.2你在第1问中得到的大小关系是否对区间上的任意x都成立？提示：设角的顶点与圆心O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，如图所示过点P作PMx轴于点M，过x轴正半轴与以坐标原点为圆心的单位圆的交点A作该单位圆的切线AT，交的终边于点T，连接AP，则MPsin x，ATtan x，SOAPS扇形AOP SOAT.因为SOAPOAMPsin x，S扇形AOPx12x，SOATOAATtan x，所以sin xxtan x，即sin xxtan x.因此当x时，sin xxtan x这在后面的学习中会经常用到迁移应用在单位圆中画出适合下列条件的角的
11、终边的范围，并由此写出角的集合(1)sin ；(2)cos .解：(1)如图所示，作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(阴影部分)即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为.(2)如图所示，作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(阴影部分)即为角的终边的范围故满足条件的角的集合为.1若，则的终边与单位圆的交点P的坐标是()A.B.C. D.解析：选B设P(x，y)，角在第二象限，xcos ，ysin，P.2sin 1 140的值为()AB.CD.解析：选Bsin 1 140sin(336060)sin 60.3(多选)若角的终边过点(3，2)，则下列结论正确的是()Asin tan 0 Bcos tan 0Csin cos 0 Dsin cos 0解析：选AC角的终边过点(3，2)，sin 0，cos 0，tan 0，sin tan 0，cos tan 0，sin cos 0，故选A、C.4若角420的终边上有一点(4，a)，则a的值是_解析：由题意，得tan 420，即tan 60，解得a4.答案：45sin 810tan 765tan 1 125cos 360_解析：原式sin(236090)tan(236045)tan(336045)cos(0360)sin 90tan 45tan 45cos 04.答案：4
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