1、31函数的概念及其表示31.1函数的概念新课程标准解读核心素养1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，会判断两个函数是否为同一函数数学抽象2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用数学抽象、数学建模3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，值域数学抽象、数学运算第一课时函数的概念(一)某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为sgt2，其中g取9.8 m/s2.问题(1)时间t和物体下落的距离s有何限制？(2)时间t(0t3)确定后，下落的距离s
2、确定吗？(3)下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？知识点函数的概念概念设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系yf(x)，xA定义域的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合f(x)|xA对函数概念的再理解(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应这三性只要有一个不满足，便不能构成函数；(2)yf(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积
3、”，f(x)也不一定就是解析式除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数 1在函数的概念中，如果函数yf(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？提示：确定2对应关系f必须是一个解析式的形式吗？提示：不一定1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系()(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数()(3)定义域中的每一个x可以对应着不同的y.()(4)“yf(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”()答案：(1)(2)(3)(4)2下图中能表示函数关系的是_(填序号)解析：由于中的2与1和3同时对应，故不是函数答案
4、：3函数f(x)的定义域是_解析：由4x0，解得x4，所以原函数的定义域为x|x4答案：x|x44已知f(x)x21，则f(1)_解析：f(x)x21，f(1)(1)212.答案：2函数关系的判断例1(1)设Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A0B1C2 D3(2)(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有()AA1，0，1，B1，0，1，f：A中的数的平方BA0，1，B1，0，1，f：A中的数的开方CAZ，BQ，f：A中的数的倒数DA1，2，3，4，B2，4，6，8，f：A中的数的2倍解析(1)中，因为在集合M中当1x2时
5、，在N中无元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是，故选B.(2)A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系，故选A、D.答案(1)B(2)AD1判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集；(2)A中的任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应2根据图形判断是否为函数的方法(1)任取一
6、条垂直于x轴的直线l；(2)在定义域内平行移动直线l；(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数注意对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系 跟踪训练1下列对应或关系式中是A到B的函数的是()AAR，BR，x2y21BA1，2，3，4，B0，1，对应关系如图：CAR，BR，f：xyDAZ，BZ，f：xy解析：选BA错误，x2y21可化为y，显然对任意xA，y值不唯一；B正确，符合函数的定义；C错误，2A，但在B中找不到与之相对应的数；D错误，1A，在B中也找不到与之相对应的数2下列各题中的对应关系是不是实数
7、集R上的函数？为什么？(1)f：把x对应到3x1；(2)g：把x对应到|x|1；(3)h：把x对应到；(4)r：把x对应到.解：(1)是，它的对应关系f是把x乘3再加1，对于任意的xR，3x1是唯一确定(2)是，理由同上(3)不是，当x0时，无意义(4)不是，当x1，且x1，函数的定义域为x|x1，且x1求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；(5)若f(x)是实际问题的解析
8、式，则应符合实际问题，使实际问题有意义 跟踪训练1已知函数f(x)的定义域为x|2x2，函数g(x)，则函数g(x)的定义域为()A. Bx|x1C. D.解析：选A由题可得解得x3，即函数g(x)的定义域为.故选A.2求下列函数的定义域：(1)y；(2)y.解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x1，且x1，即函数定义域为x|x1，且x1(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x5，且x3，即函数定义域为x|x5，且x3求函数值例3已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR)，则f(2)_，f(g(2)_解析f(x)，f(2).又g(x)x22，g(2)2226
9、，f(g(2)f(6).答案求函数值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(a)的值应遵循由里向外的原则 跟踪训练1设函数f(x)，则当f(x)2时，x的取值为()A4 B4C10 D10解析：选C令2，则x10，故选C.2已知函数f(x)1，且f(a)3，则a_解析：因为f(x)1，所以f(a)1.又因为f(a)3，所以13，a16.答案：161(多选)下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是()Ayx1 ByCy24x Dy2x2解析：选CD选项C中，当x1时，y2，不符合函数的定义；选项D中，当x1时，y1，不符合函数的定义故选C、D.2函数y的定义域为()Ax|x1 Bx|x0Cx|x1或x0 Dx|0x1解析：选D由题意可知解得0x1.3已知函数f(x)x2mxn，且f(1)1，f(n)m，求f(x)及ff(1)解：由题意知解得所以f(x)x2x1，故f(1)1.f(f(1)f(1)1.
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