1、31.2 瞬时变化率导数学习目标1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，会求瞬时速度和函数在某一点的导数2根据图象直观理解导数的几何意义，会求曲线在某点处的切线方程；了解导数的物理意义，理解函数在某一点的导数与导函数的区别与联系 课堂互动讲练 知能优化训练 31.2 课前自主学案 课前自主学案 1已知圆的方程为 x2y2r2，过圆上一点P(x0，y0)的切线方程为_.2.yx_fx1xfx1x，式子中 x、y 的值可正、可负，但 x 的值不能为0，y 的值可以为零当函数 f(x)为常数函数时，y0.温故夯基xx0yy0r2fx2fx1x2x11曲线的割线和曲线上一点处的切线如图，设
2、Q为曲线C上不同于P的一点，这时直线PQ称为曲线的_随着点Q沿曲线C向P点运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的_知新益能割线切线2用割线逼近切线的方法计算曲线上一点处切线的斜率设曲线 C 上一点 P(x，f(x)，过点 P 的一条割线交曲线 C 于另一点 Q(xx，f(xx)，则割线 PQ 的斜率为kPQ_.fxxfxxxxfxxfxx当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近过点P的切线l，从而割线的斜率逼近过点P的切线l的斜率，即当x无限趋近于0时_，无限趋近于点P(x，f(
3、x)处的切线的斜率fxxfxx3瞬时速度与瞬时加速度(1)一般地，我们计算运动物体位移 s(t)的平均变化率st0tst0t，如果当 t 无限趋近于 0 时，st0tst0t无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 tt0 时的_瞬时速度(2)一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率vt0tvt0t，如果当 t 无限趋近于0 时，vt0tvt0t无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 tt0 时的_瞬时加速度4导数(1)设函数 yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若 x 无限趋近于 0 时，比值yxfx0 xfx0 x无限趋近于一个常数 A，则称f(x)在 xx0 处_，
4、并称该常数 A 为 f(x)在 xx0 处的_，记作_，导数_的几何意义就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的_可导导数f(x0)f(x0)斜率(2)由导数定义知，求函数 yf(x)在 x0 处的导数的步骤：求函数的增量 y_；求平均变化率yx_；当 x 无限趋近于 0 时，确定yx无限趋近的常数 A，则_.f(x0 x)f(x0)fx0 xfx0 xf(x0)A(3)若函数f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的_，也简称_，记作_导函数导数f(x)1过曲线yf(x)上的某一点作
5、曲线的切线有且只有一条吗？问题探究 提示：不一定可能不存在，如y|x|，在点(0,0)处无切线也可作多条，如图所示的曲线中，过点A可作两条切线 2f(x0)与f(x)的区别是什么？提示：f(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，x无关；f(x0)表示的是函数f(x)在xx0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与x无关课堂互动讲练 求瞬时速度的步骤：(1)设非匀速直线运动的规律为：ss(t)；(2)时间改变量t，位置改变量ss(t0t)s(t0)；求运动物体在某一时刻的速度 考点突破(3)
6、平均速度 vst.若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s3t22 t3 293t320t3 .求：(1)物体在 t3,5内的平均速度；(2)物体的初速度 v0；(3)物体在 t1 时的瞬时速度例1【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：物体的运动方程已知；求物体在某一时间段的平均速度和物体在某一时刻的瞬时速度 解答本题可先根据要求的问题选好使用的函数解析式，再根据求平均变化率和瞬时变化率的方法求解平均速度和瞬时速度【解】(1)物体在 t3,5内的时间变化量为t532，物体在 t3,5内的位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，物体在 t3,5上的平均速度为st482 24(
7、m/s)(2)求物体的初速度 v0即求物体在 t0 时的瞬时速度物体在 t0 附近的平均变化率为stf0tf0t 2930t32293032t 3t18，物体在 t0 处的瞬时变化率为 t 无限趋近于 0 时，即st3t18.故物体在初速度为18 m/s.(3)物体在 t1 时的瞬时速度即为函数在 t1 处的瞬时变化率物体在 t1 附近的平均变化率为stf1tf1t 2931t32293132t3t12.【名师点评】求物体的初速度，即求物体在t0时刻的速度，很容易误认为v00，有些函数表达式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直线运动出错原因是受思维定势的影响物体在 t1 处的瞬时变化率为 t
8、 无限趋近于 0 时，即st3t12故物体在 t1 时的速度为12 m/s.求函数在xx0处的导数正确理解函数的导数的定义，求函数 yf(x)在 xx0 处的导数，有以下三个步骤计算：求函数改变量 yf(x0 x)f(x0)；求平均变化率yxfx0 xfx0 x；求 x 无限趋近于 0 时，fx0 xfx0 x无限趋近的常数求函数f(x)2x24x在x3处的导数例2【思路点拨】可按函数在某点处的导数的定义，先求 y，再求yx，然后考察当 x0时，yx的变化趋势，即可得 f(x0)【解】yf(3x)f(3)2(3x)24(3x)(23243)2(x)216x，yx2x216xx2x16.当 x0
9、 时，yx2x1616.f(3)16.【名师点评】利用导数的定义求函数的导数是求函数的导数的基本方法，此方法还能加深对导数定义的理解，而求某一点处的导数时，一般是先求出导数，再计算这点的导数值自我挑战 1 根据导数定义求下列函数在 xx0 处的导数：(1)求 yx2 在 x1 处的导数；(2)求 y1x在 x3 处的导数解：(1)y(1x)2122x(x)2，yx2xx2x2x，当 x0 时，yx2x2.f(1)2.(2)y 13x 13 33x33x x33x，yx193x，当 x0 时，yx193x19.f(3)19.导数f(x0)表示函数f(x)在xx0处的瞬时变化率，它反映了函数yf(
10、x)在点x0处变化的快慢程度表现在具体函数中，意义有所不同，在函数曲线中表示在x0处的切线的斜率若yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)在表示运动的函数中导数表示运动物体在xx0处的瞬时速度要注意不同函数类型中对导数几何意义的不同理解求曲线的切线(本题满分14分)求曲线yf(x)x32x1在点P(1,2)处的切线方程例3【思路点拨】验证点1，2在不在曲线上 求fx 求f1 写出直线方程【规范解答】易证得点 P(1,2)在曲线上，由 yx32x1 得y(xx)32(xx)1x32x1(3x22)x3x(x)2(x)3，yx3x
11、223xx(x)2.6 分当 x 无限趋近于 0 时，3x223xx(x)2 无限趋近于 3x22，即 f(x)3x22，所以 f(1)5.故点P处的切线斜率为k5.12分所以点P处的切线方程为y25(x1)，即5xy30.14分【名师点评】根据导数的几何意义，求曲线上某点处的切线方程，首先根据导数的定义求出曲线上此点处切线的斜率，即函数在此点处的导数值，然后利用点斜式写出切线方程在求切线方程的题目中，注意题干中给出的点不一定在曲线上，即使在曲线上的点也不一定作为切点应用互动探究2 将本例中的点P(1,2)改为Q(0,1)，结果会怎样？解：点 Q 不在曲线上，设切点坐标为(x0，y0)由本例知 kf(x0)3x202，切线方程为 yy0(3x202)(xx0)又切线过点 Q(0,1)，1y0(3x202)(0 x0)又由 y0 x302x01 得 x301，即 x01.切线方程为 5xy10.1函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在2在导数的定义中，x趋近于0，x可正、可负，但不为0，而y可能为0.方法感悟 3.yx是函数 yf(x)对自变量 x 在 x 范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线 yf(x)上点(x0，f(x0)及点(x0 x，f(x0 x)的割线斜率4导数是一个局部概念，它只与函数 yf(x)在 x0 及其附近的函数值有关，与 x 无关知能优化训练
