1、第二章变化率与导数测评一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知函数y=x2+1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1+x,2+y),则yx等于()A.2B.2xC.2+xD.2+(x)2解析:yx=(1+x)2+1-(12+1)x=2x+x2x=x+2.答案:C2若f(x0)=-3,则limh0f(x0+h)-f(x0-3h)h等于()A.-3B.-6C.-9D.-12解析:limh0f(x0+h)-f(x0-3h)h=4limh0f(x0+h)-f(x0-3h)4h=4f(x0)=-12.答案:D3已知函数f(x)=13-8
2、x+2x2,且f(x0)=4,则x0的值为()A.0B.3C.32D.62解析:f(x0)=limx0yx=limx013-8(x0+x)+2(x0+x)2-(13-8x0+2x02)x=limx0-8x+22x0x+2(x)2x=limx0(-8+22x0+2x)=-8+22x0=4x0=32.答案:C4曲线y=x3在点P处切线的斜率为k,当k=3时,P点坐标为()A.(-2,-8)B.(-1,-1)或(1,1)C.(2,8)D.-12,-18解析:设P(x0,y0),则f(x0)=3x02,由3x02=3,得x0=1或x0=-1,所以坐标为P(1,1)或P(-1,-1).答案:B5曲线y=
3、2x2+1在点P(-1,3)处的切线方程为()A.y=-4x-1B.y=-4x-7C.y=4x-1D.y=4x+7解析:y=4x,x=-1时,y=-4,即k=-4,切线方程为y=-4x-1.答案:A6曲线y=xx+2在点(-1,-1)处的切线方程为()A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-2解析:y=x+2-x(x+2)2=2(x+2)2,曲线在点(-1,-1)处的切线的斜率为2(-1+2)2=2.切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.答案:A7下列图像中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(aR,a0)的导函数f(x)的图像,则f
4、(-1)等于()A.-13B.13C.73D.-13或73解析:f(x)=x2+2ax+a2-1=(x+a)2-1,由a0知f(x)的图像为第(3)个.因此f(0)=0,故a=-1,f(-1)=-13.答案:A8若函数y=exx在x=x0处的导数值与函数值互为相反数,则x0的值()A.等于0B.等于1C.等于12D.不存在解析:y=(ex)x-ex(x)x2=ex(x-1)x2,当x=x0时,y=ex0(x0-1)x02,y=ex0x0.由题意,知y+y=0,即ex0(x0-1)+ex0x0=0,所以x0=12.答案:C9已知函数f(x)=x2+2xf(0),则f(0)等于()A.0B.1C.
5、2D.4解析:f(0)=limx0yx=limx0f(0+x)-f(0)x=limx0x2+2xf(0)x=limx0x+2f(0)=2f(0)故f(0)=0.答案:A10若f(x)=log3(2x-1),则f(3)等于()A.23B.2ln3C.23ln3D.25ln3解析:f(x)=2(2x-1)ln3,f(3)=25ln3.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11函数f(x)=x3-mx+3,若f(1)=0,则m=.解析:f(x)=3x2-m,f(1)=3-m=0,m=3.答案:312物体运动的方程是s=-13t3+2t2-5,则物体在t=3
6、时的瞬时速度为.解析:s=-t2+4t,当t=3时,s=3.答案:313已知f(x)=13x3+2x+1,则f(-1)的值是.解析:f(-1)=limx0f(-1+x)-f(-1)x=limx013(-1+x)3+2(-1+x)+1-13(-1)3-2+1x=3.答案:314已知0x14,f(x)=x2,g(x)=x,则f(x)与g(x)的大小关系是.解析:由题意,得f(x)=2x,g(x)=12x.由0x14,知0f(x)1,故f(x)g(x).答案:f(x)g(x)15已知函数f(x)=x3-3ax(aR),若直线x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围为.解
7、析:由题意,得f(x)=3x2-3a=-1无解,即3x2-3a+1=0无解.故0,解得a13.答案:a|aR,且a13三、解答题(本大题共2小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(10分)设质点做直线运动,已知路程s是时间t的函数,s=3t2+2t+1.(1)求从t=2到t=2+t的平均速度,并求当t=1,t=0.1与t=0.01时的平均速度;(2)求当t=2时的瞬时速度.分析:用函数的平均变化率和瞬时变化率来求.解:(1)因为s=3(2+t)2+2(2+t)+1-(322+22+1)=14t+3t2,所以从t=2到t=2+t的平均速度为v=st=14+3t.当t=1时
8、,v=17;当t=0.1时,v=14.3;当t=0.01时,v=14.03.(2)当t=2时的瞬时速度为v=limt0st=limt0(14+3t)=14.17(15分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=2x2.(1)求x0时,f(x)的表达式.(2)令g(x)=ln x,问是否存在x0,使得f(x),g(x)在x=x0处的切线互相平行?若存在,请求出x0的值;若不存在,请说明理由.解:(1)当x0,f(x)=-f(-x)=-2(-x)2=-2x2.(2)若f(x),g(x)在x0处的切线互相平行,则f(x0)=g(x0),且x00,故f(x0)=4x0=g(x0)=1x0,解得x0=12.x00,x0=12.