1、第一章推理与证明测评一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1观察下图的规律,在其下面一行的空格内画上合适的图形,应是()A.B.C.D.解析:从图案的颜色和形状分析.答案:B2定义一种运算“*”:对于自然数n满足以下运算性质:1*1=1,(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于()A.nB.n+1C.n-1D.n2解析:由(n+1)*1=n*1+1,得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=1*1+(n-1).又1*1=1,n*1=n.答案:A3用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+12n1324(n2)的过程中,由
2、n=k递推到n=k+1时不等式左边()A.增加了一项12(k+1)B.增加了两项12k+1和12k+2C.增加了选项B中的两项但减少了一项1k+1D.以上均不正确解析:在n=k+1时,用k+1替换n,再与n=k时比较.答案:C4在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,中,第25项为()A.25B.6C.7D.8解析:将数列分组得(1),(2,2),(3,3,3),(4,4,4,4),这样每一组的个数为1,2,3,4,;其和为n(n+1)2,令n=6,则有672=21,所以第25项在第7组,因此第25项是7.答案:C5k棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱有对角面的个数为()A.2f(k)
3、B.k-1+f(k)C.f(k)+kD.f(k)+2解析:新增加的第k+1条棱与其不相邻的k-2条棱构成k-2个对角面,与其相邻的两条棱构成一个对角面,这样共增加k-1个对角面.答案:B6已知f(x)=a(2x+1)-22x+1是奇函数,那么实数a的值等于()A.1B.-1C.0D.1解析:方法一:函数的定义域为R,函数为奇函数,则当x=0时f(0)=0,即2a-22=0,a=1.方法二:根据奇函数的定义,f(-x)=-f(x)恒成立,即a(2-x+1)-22-x+1=-a(2x+1)-22x+1恒成立,即a(1+2x)-21+x2x+1=-a(2x+1)-22x+1恒成立,即2a+a2x+1
4、=2x+1+2,a=1.答案:A7设f(x)=1+x1-x,又记f1(x)=f(x),fk+1(x)=ffk(x),k=1,2,则f2013(x)等于()A.-1xB.xC.x-1x+1D.1+x1-x解析:计算f2(x)=f1+x1-x=1+1+x1-x1-1+x1-x=-1x,f3(x)=f-1x=1-1x1+1x=x-1x+1,f4(x)=1+x-1x+11-x-1x+1=x,f5(x)=f1(x)=1+x1-x,归纳得f4k+1(x)=1+x1-x,kN+,从而f2013(x)=1+x1-x.答案:D8已知a,b为正实数,且ab,下列说法正确的是()A.a5+b5a3b2+a2b3B.
5、a5+b5a3b2+a2b3C.a5+b5a3b2+a2b3D.a5+b50,a+b22+34b20,a+b0.a5+b5-a3b2-a2b30,即有a5+b5a3b2+a2b3.答案:B9已知bn为等比数列,b5=2,则b1b2b3b4b5b9=29.若an为等差数列,a5=2,则对于an的类似结论为()A.a1a2a3a9=29B.a1+a2+a9=29C.a1a2a3a9=29D.a1+a2+a9=29解析:等比数列的特点是b1b9=b2b8=b3b7=b4b6=b52,而等差数列的特点是a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5.答案:D10某人在上楼梯时,一步上一个台阶或
6、两个台阶,设他从平地上到第一级台阶时有f(1)种走法,从平地上到第二级台阶时有f(2)种走法则他从平地上到第n级(n3)台阶时的走法f(n)等于()A.f(n-1)+1B.f(n-2)+2C.f(n-2)+1D.f(n-1)+f(n-2)解析:要到达第n级台阶有两种走法:(1)在第n-2级的基础上到达;(2)在第n-1级的基础上到达.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11若数列an中,a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+15+17+19,则a10=.解析:前10项共使用了1+2+3+4+10=55个奇数,a10为由第46个到第
7、55个奇数的和,即a10=(246-1)+(247-1)+(255-1)=10(91+109)2=1000.答案:100012根据前面的推理,在下表的空白处添加相应的结论.三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于底乘高的12三棱锥的体积等于底面积乘高的13三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的积的12解析:设ABC的内切圆的半径为r,圆心为O,三边长分别为a,b,c,连接OA,OB,OC,将ABC分割为三个小三角形OAB,OAC,OBC,其面积和为SABC=12(a+b+c)r.类似地,设三棱锥SABC的内切球半径为R,球心为O,连接OS,OA,
8、OB,OC,将三棱锥分割为四个小三棱锥OSAB,OSAC,OSBC,OABC,其体积和为三棱锥SABC的体积,则V=13S1R+13S2R+13S3R+13S4R=13(S1+S2+S3+S4)R=13S表R.答案:三棱锥的体积等于三棱锥的表面积与内切球半径的积的1313设f(n)=1+12+13+12n-1(nN+),那么f(n+1)-f(n)=.解析:f(n+1)=1+12+13+12n-1+12n+12n+1,f(n+1)-f(n)=12n+12n+1.答案:12n+12n+114如图,质点在第一象限运动,在第一秒钟它由原点运动到点(0,1),而后接着按图所示的箭头方向在与x轴、y轴平行
9、的方向运动,且每秒移动一个单位长度,那么2000秒后,这个质点所处的位置的坐标是.解析:观察可知,质点到达点(n,n)(nN+)时,它走过的长度单位应为2+4+6+2n=n(n+1).因为2000=4445+20,故此质点在到达(44,44)后继续前进了20个单位,再观察其规律,应是向左前进了20个单位,即知其位置为点(24,44).答案:(24,44)15设f(n)=1+12+13+14+12n-1-12n,则f(k+1)=f(k)+.解析:f(k)=1+12+13+14+12k-1-12k,f(k+1)=1+12+13+14+12k-1+12k+12k+1-12k+2,f(k+1)=f(k
10、)+12k+12k+1-12k+2+12k=f(k)+1k+12k+1-12k+2.答案:1k+12k+1-12k+2三、解答题(本大题共2小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(10分)已知x+y=u+v且x2+y2=u2+v2,求证:xn+yn=un+vn.证明:x+y=u+v且x2+y2=u2+v2,(x+y)2-(x2+y2)=(u+v)2-(u2+v2),即xy=uv.由x+y=u+v且xy=uv可知,x,y是一元二次方程z2-(u+v)z+uv=0的两个根,x=u,y=v或x=v,y=u.xn+yn=un+vn.17(15分)已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.证明:假设a,b,c,d都是非负实数,因为a+b=c+d=1,所以a,b,c,d0,1,所以acaca+c2,bdbdb+d2.所以ac+bda+c2+b+d2=1,这与已知ac+bd1相矛盾,所以原假设不成立,即证得a,b,c,d中至少有一个是负数.
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