1、【原创精品】2018年高考数学（理）冲刺60天精品模拟卷（1）第1卷 评卷人得分一、选择题1、已知集合,则( )A.B.C.D.2、展开式中的系数为( )A.15B.20C.30D.353、若,且,则下列不等式成立的是()A.B.C.D.4、从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.B.C.D.5、在中,角,的对边分别为, ,若为锐角三角形,且满足,则下列等式成立的是()A.B.C.D.6、已知当时,函数的图象与的图象有且只有一个交点,则正实数的取值范围是()A.B.C.D.7、已知,是虚数单位,若,则()A.或B.或C
2、.D.8、已知,满足约束条件则的最大值是()A.0B.2C.5D.69、为了研究某班学生的脚长 (单位:厘米)和身高(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取名学生,根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系,设其回归直线方程为.已知,.该班某学生的脚长为,据此估计身高为()A.160B.163C.166D.17010、执行两次下图所示的程序框图,若第一次输入的值为,第二次输入的值为,则第一次,第二次输出的的值分别为()A.0,0B.1,1C.0,1D.1,011、记为等差数列的前项和.若,则的公差为( )A.1B.2C.4D.812、已知命题;命题若,则,下列命题为真命题的是( )A.B.C
3、.D.评卷人得分二、填空题13、设抛物线,(为参数,)的焦点为,准线为.过抛物线上一点作的垂线,垂足为.设,与相交于点.若,且的面积为,则的值为_.14、已知向量,的夹角为,则.15、已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于两点。若,则的离心率为.16、若,则的最小值为.评卷人得分三、解答题17、已知曲线:(为参数),曲线:(为参数).1.化、的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;2.若上的点对应的参数为,为上的动点,求的中点到直线(为参数)距离的最小值.18、已知函数,.1.当时,求不等式的解集;2.设,且当时,求的取值范围.19、甲、乙两人组成“星队”
4、参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:1.“星队”至少猜对3个成语的概率;2.“星队”两轮得分之和为的分布列和数学期望.20、已知数列的前项和,是等差数列,且.1.求数列的通项公式;2.令.求数列的前项和.21、在如图所示的圆台中,是下底面圆的直径,是上底面圆的直径,是圆台的一条母线.1.已知分别为的中点,求证:平面;2.已知,.求二面角的
5、余弦值.22、在中,角的对边分别为,已知1.证明:;2.求的最小值.23、设函数,其中.1.求的单调区间;2.若存在极值点,且,其中,求证:;3.设,函数,求证:在区间上的最大值不小于.参考答案 一、选择题1.答案： A解析： ,选A。2.答案： C解析： ,对的项系数为,对的项系数为,的系数为,故选C。3.答案： B解析： 特值法令，可得.4.答案： C解析： 奇偶性不同可能先抽到奇数牌再抽到偶数牌，或者先抽到偶数牌再抽到奇数牌，概率应该为两种情况相加，,所以答案选C.5.答案： A解析： 化简解析式,等式右侧使用合角公式和诱导公式得 等式左侧拆括号,得,化简最后得,因为角为三角形内角,所以
6、不为,所以,根据正弦定理变形得,所以选A.6.答案： B解析： 函数对称轴为,需讨论与的大小关系,当时,即,这时候一定有一个交点;当时,要保证在时的值小于等于的值,即,解得,取并集得.7.答案： A解析： 由,得,所以,故选A.8.答案： C9.答案： C解析： 由已知,选C.10.答案： D解析： 第一次,;第二次,选D.11.答案： C解析： 设公差为,联立,解得,选C.12.答案： B二、填空题13.答案： 解析： 抛物线的普通方程为,又,则,由抛物线的定义得,所以,则,由得,即,所以,所以,.14.答案： 解析： ,.15.答案： 解析： 如图,又,解得,。16.答案： 4解析： ,(
7、前一个等号成立条件是,后一个等号成立的条件是,两个等号可以同时取得,则当且仅当,时取等号).三、解答题17.答案： 1.:,以为圆心,为半径的圆,:,以原点为中心,焦点在轴上,长半轴长为,短半轴长为的椭圆.2.当时,故.曲线为直线,到直线的距离,从而当,时,取得最小值.18.答案： 1.当时,不等式化为设函数则其图像如图所示,从图像可知,当且仅当时,所以原不等式的解集是2.当时,不等式化为所以对都成立故,即从而的取值范围是.19.答案： 1.2.分布列见解析,解析： 1.记事件:“甲第一轮猜对”,记事件:“乙第一轮猜对”,记事件:“甲第二轮猜对”,记事件:“乙第二轮猜对”,记事件:“星队至少猜
8、对3个成语”.由题意,由事件的独立性与互斥性,.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.2.由题意,随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得,.可得随机变量的分布列为012346所以数学期望 .考点:1.独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式;2.随机变量的分布列和数学期望.20.答案： 1.2.解析： 1.由题意当时,当时,;所以;设数列的公差为,由,即,解之得,所以。2.由1知,又,即,所以,以上两式两边相减得.所以21.答案： 1.见解析; 2.解析： 1.证明:设 的中点为,连接,在,因为是的中点,所以又,所以在中,因为是的中点,所以,又,所以平面平面,
9、因为平面,所以平面.2.解法一:连接,则平面,又且是圆的直径,所以以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,由题意得,过点作垂直于点,所以可得故.设是平面的一个法向量.由可得,可得平面的一个法向量,因为平面的一个法向量,所以所以二面角的余弦值为.解法二:连接,过点作于点,则有,又平面,所以平面,可得过点作垂直于点,连接,可得,从而为二面角的平面角.又,是圆的直径,所以,从而,可得.所以二面角的余弦值为.考点:1.平行关系;2. 异面直线所成角的计算.22.答案： 1.由题意知,化简得,即.因为,所以.从而.由正弦定理得.2.由1知,所以当且仅当时,等号成立.故的最小值为.23.答案： 1.由,可得,下面分两种情况讨论:当时,有恒成立,所以的单调增区间为.当时,令,解得或.当变化时,、的变化情况如下表:+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为,单调递增区间为,.2.证明:因为存在极值点,所以由1知且.由题意得,即,进而,又,且,由题意及1知,存在唯一实数满足,且,因此,所以.3.证明:设在区间上的最大值为,表示两数的最大值,下面分三种情况讨论:当时,由1知在区间上单调递减,所以在区间上的取值范围为,因此所以.当时,由1和2知,所以在区间上的取值范围为,因此当时,由和知,所以在区间上的取值范围为,因此,.综上所述,当时,在区间上的最大值不小于.
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