1、二 一般形式的柯西不等式【自主预习】1.三维形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)_,当且仅当_或存 在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时等号成立.(a1b1+a2b2+a3b3)2 bi=0(i=1,2,3)2.一般形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)_,当且仅当_ 或存在一个数k,使得ai=_(i=1,2,n)时,等号成立.(a1b1+a2b2+anbn)2 bi=0(i=1,2,n)kbi【即时小测】1.若a
2、12+a22+a32=4,b12+b22+b32=9,则a1b1+a2b2+a3b3的最大值为()A.4 B.6 C.9 D.3【解析】选B.根据柯西不等式,知(a1b1+a2b2+a3b3)2(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)=36，所以-6a1b1+a2b2+a3b36.2.已知x,y,z,aR,且x2+4y2+z2=6,则使不等式 x+2y+3za恒成立的a的最小值为()A.6 B.C.8 D.6688【解析】选B.由x2+4y2+z2=6,利用柯西不等式可得(x+2y+3z)2(x2+4y2+z2)(12+12+32)=66,故有 x+2y+3z ,当且仅当 时,取等
3、号.再根据不等式x+2y+3za恒成立,可得a 66x2yz11366.3.已知a,b,cR,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为_.【解析】因为(a2+4b2+9c2)(1+1+1)(a+2b+3c)2,所以a2+4b2+9c212.答案:12【知识探究】探究点 一般形式的柯西不等式 1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成 可以吗?提示:不可以.因为若出现bi=0(i=1,2,3)的情况,则分 式不成立了,但是,可以利用分式的形式来形象地记忆.11ab3223aabb2.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为ai=kbi(i=1,2,3,n),可以吗?提示:不可以
4、.若bi=0,而ai0,则k不存在.【归纳总结】1.对柯西不等式一般形式的说明 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积的和的平方.在使用时,关键是构造出符合柯西不等式的结构形式.2.等号成立的条件 ai=kbi(i=1,2,n)或bi=0,即:=或b1=b2=bn=0.11ab22abnnab3.柯西不等式的两个变式(1)设aiR,bi0(i=1,2,n),当且仅当bi=ai时等号成立.(2)设ai,bi同号且不为0(i=1,2,n),则 ,当且仅当bi=ai时,等号成立.2nii 1iab
5、n2ii 1nii 1(a)bnii 1iabn2ii 1niii 1(a)a b类型一 利用柯西不等式证明不等式【典例】已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证:【解题探究】本例不等式右边的9如何拆分才能运用 柯西不等式?提示:9=(1+1+1)2.2229.abbcc a【证明】左边=2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)(1+1+1)2=9.当且仅当a=b=c=时,等号成立,所以,原不等式成立.111()abbcca111()abbcca13【方法技巧】利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数.(2)构造符合柯西不等式的形式
6、及条件,可以重新安排各项的次序.(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目的.(4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项.【变式训练】1.已知a,b,cR+,求证:abc bca()()9.bcaabc【证明】由柯西不等式知 所以原不等式成立.22222222abcbca()()()()()()bcaabcabbcca()1 1 19bacbac 左边，2.已知a1,a2,an都是正实数,且a1+a2+an=1,求证:222212n 1n1223n 1nn1aaaa1.aaaaaaaa2【证明】左边=(a1+a2)+(a2+a3)+(an-1+an
7、)+(an+a1)222212n 1n1223n 1nn1aaaaaaaaaaaa【补偿训练】利用柯西不等式证明a2+b2+c2+d2 ab+bc+cd+da.(a,b,c,d是正数)【证明】(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2)(ab+bc+cd+da)2,所以a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.类型二 利用柯西不等式求最值【典例】已知a,b,c均为正数,且a+2b+4c=3.求 的最小值.【解题探究】本例中的题设条件如何转化为与所求式子的分母有关的形式?提示:由a+2b+4c=3可得(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.111a 1b 1c 1【解析】因为a
8、+2b+4c=3,所以(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.因为a,b,c为正数,所以(a+1)+2(b+1)+4(c+1)111a 1b 1c 12122.当且仅当(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2,等式成立.故 的最小值为 .11111 6 2a 1b 1c 110，111a 1b 1c 111 6 210【延伸探究】1.本例 取得最小值时a,b,c的值是 什么?111a 1b 1c 1【解析】由(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2及(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10得2(c+1)+2 (c+1)+4(c+1)=10,所以 28 5 215 2 1723
9、 10 2cba.777，2.若本例条件不变,改为求 的最大值.a 12b 14c 1 【解析】由柯西不等式得 当且仅当a+1=2b+1=4c+1,即a=1,b=,c=时等号 成立,所以 的最大值为3 .a 12b 14c 1 a 1 2b 1 4c 1 1 1 13 2 ，a 1 12b 1 14c 1 1 1214a 12b 14c 1 2【方法技巧】利用柯西不等式求最值的方法技巧 利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题,其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果,同时要注意等号成立的条件.【变式训练】1.设
10、a,b,c为正数,a+2b+3c=13,则 的最大值为()3a2bc1691313 3A.B.C.D.13333【解析】选C.根据柯西不等式,221(a2b 3c)(3 1)(3a2bc)(3a2bc)31316913,3313 33a2bc.3 所以2.(2015福建高考)已知a0,b0,c0,函数 f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值.(2)求 a2+b2+c2的最小值.【解题指南】利用绝对值三角不等式和柯西不等式求解.1419【解析】(1)因为f(x)=|x+a|+|xb|+c|(x+a)(xb)|+c=|a+b|+c,当且仅当-axb时,等号成立.又
11、a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c,又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得 (4+9+1)=(a+b+c)2=16,即 a2+b2+c2 ,22211(abc)492ab(23 c 1)23 141987当且仅当 ,即 时等号成立,故 a2+b2+c2的最小值为 .11bac322318182abc777，141987自我纠错 求代数式的值【典例】设x,y,zR,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,则x+y+z=_.14【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是弄错了柯西不等式等号成立 的条件,实际上本题中柯西不等式等号成立的条件是 正确解答过程如下:yzx.23【解析】由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2(x2+y2+z2)(12+22+32),当且仅当 时取等号,此时y=2x,z=3x,x+2y+3z=14x=,xyz12314所以x=,y=,z=,所以x+y+z=.答案:14142 14143 14146 14143 1473 147