1、 类型1直线的倾斜角与斜率【例1】(1)已知直线l的倾斜角为，并且0120，直线l的斜率k的范围是()Ak0BkCk0或kDk0或k(2)已知某直线l的倾斜角45，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值(1)C通过画图(图略)可知k或k0故选C(2)解由45，故直线l的斜率ktan 451，又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2kP2P3kl，即1，解得x27，y10求直线的倾斜角与斜率的注意点(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围(2)当直线的倾斜角0，90)时，随着的
2、增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角(90，180)时，随着的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大跟进训练1已知直线axy20及两点P(2，1)，Q(3，2)，若直线与线段PQ相交，则实数a的取值范围是()Aa或aBa或aCaDaA因为直线axy20过定点A(0，2)，根据题意画出几何图形如图所示直线axy20可化为yax2，因为P(2，1)，Q(3，2)，则kAP，kAQ若直线yax2与线段PQ相交，即a或a，所以a或a 类型2求直线的方程【例2】已知ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在的直线方程为x2y50求：(1)AC
3、所在的直线的方程；(2)点B的坐标思路探究(1)直线AC过A点且与BH垂直，可求直线方程(2)B点在直线BH上，线段AB的中点在中线CM上，列方程组求得B点坐标解(1)因为ACBH，所以设AC所在的直线的方程为2xyt0把A(5，1)代入直线方程2xyt0中，解得t11所以AC所在的直线的方程为2xy110(2)设B(x0，y0)，则AB的中点为联立得方程组化简得解得故B(1，3)求直线方程的方法求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况跟进训练2已知在ABC中，A(1，3)，
4、AB，AC边上中线所在直线方程分别为x2y10和y10，求ABC各边所在的直线方程 解设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E为中点， 点B在中线y10上， 设点B的坐标为(xB，1)点D为AB的中点，又点A的坐标为(1，3)，点D的坐标为点D在中线CD：x2y10上，2210，xB5点B的坐标为(5，1)点C在直线x2y10上，设点C的坐标为(2t1，t)AC的中点E的坐标为点E在中线BE：y1上，1，t1点C的坐标为(3，1)，ABC各边所在直线的方程为AB：x2y70，BC：x4y10，AC：xy20 类型3两直线的平行、垂直及距离问题【例3】已知两条直线l1：axby40，l
5、2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的a，b的值(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等思路探究(1)把(3，1)代入l1方程，同时运用垂直条件A1A2B1B20；(2)利用好平行条件及距离公式列方程解(1)l1l2，a(a1)(b)10即a2ab0又点(3，1)在l1上，3ab40由解得a2，b2(2)l1l2且l2的斜率为1a，l1的斜率也存在，1a，即b故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a1)xy0，l2：(a1)xy0原点到l1与l2的距离相等，4，解得a2或a因此或距离公式的运用(1)距离问题包
6、含两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线间的距离(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力跟进训练3已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为2xy5(x2y)0， 即(2)x(12)y50，所以3，即22520，所以或2所以l的方程为x2或4x3y50(2)由解得交点P(2，1)，过P作任一直线l(图略)，设d为点A到l
7、的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)所以dmax|PA| 类型4对称问题【例4】光线通过点A(2， 3)，在直线l：xy10上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程1怎样求点关于点的对称点？提示设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解2怎样求点关于直线的对称点坐标？提示设出所求点坐标(x， y)，利用中点坐标公式建立关于x， y的第一个方程，再利用垂直关系建立x， y的另一个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解解设点A(2，3)关于直线l的对称点为A(x0，y0)，则解之得，A(4，3)由于反射光线经过点A(4，3)和B(1，1)，所以反射光线所在直线的
8、方程为y1(x1)，即4x5y10解方程组得反射点P所以入射光线所在直线的方程为y3(x2)，即5x4y20综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x4y20，4x5y101(变结论)在本例条件不变的情况下，求光线从A经反射后到达B点所经过的路程解由本例解析知，点A(2，3)关于直线l的对称点为A(4，3)所以从A发出光线经l反射后到达B的路程为|AB|即|AB|2(变条件)把本例条件中“直线l：xy10”改为“直线l为x轴”，其他条件不变，试求入射光线和反射光线所在直线的方程解点A(2，3)关于x轴对称点为A(2，3)反射光线方程为，即4xy50又反射光线与x轴交点为入射光线方程为，即
9、4xy50对称问题的求解策略(1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础、最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键(2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：两点连线与已知直线斜率乘积等于1；两点的中点在已知直线上(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的我们往往利用平行直线系去求解(2020全国卷)点(0，1)到直线yk(x1)距离的最大值为()A1BCD2B法一：由点到直线的距离公式知点(0，1)到直线yk(x1)的距离d当k0时，d1；当k0时，d，要使d最大，需k0且k最小，当k1时，dmax，故选B法二：记点A(0，1)，直线yk(x1)恒过点B(1，0)，当AB垂直于直线yk(x1)时，点A(0，1)到直线yk(x1)的距离最大，且最大值为|AB|，故选B
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