1、1.3两条直线的平行与垂直学 习 任 务核 心 素 养1理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件(重点)2能根据已知条件判断两直线的平行与垂直(重点)3能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题(重、难点) 通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养有一天，著名魔术大师拿了一块长、宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米、长21分米的矩形地毯匠对魔术师说：“这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米”魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图(1)的尺寸把地毯分成四块，然
2、后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧”地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米、长21分米魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了而地毯匠还在纳闷哩，这是什么回事呢？(1)(2)为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直知识点1两条直线平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件12901290对应关系l1l2k1k2且b1b2l1l2两直线斜率都不存在图示如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？提示不一定只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等1直线3xya0与3xy0的位置关系是_平行或重合直线3xya0与3xy0的斜率都为3，在y轴上的截距分别为a，
3、0若a0，则两直线重合；若a0，则两直线平行知识点2两条直线垂直的判定图示对应关系l1l2(两直线斜率都存在)k1k21l1的斜率不存在，l2的斜率为0l1l22思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平行的两条直线的斜率一定存在且相等()(2)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行()(3)只有斜率之积为1的两条直线才垂直()(4)若两条直线垂直，则斜率乘积为1()答案(1)(2)(3)(4)3下列直线中，与直线l：y3x1垂直的是()Ay3x1By3x1Cyx1Dyx1D因为直线l：y3x1的斜率为3，则与直线l垂直的直线的斜率为 类型1两直线平行或垂直的判定【例1】判断下列各组中
4、的直线l1与l2是否平行或垂直：(1)l1：3x4y20，l2：6x8y10；(2)l1：3x2y10，l2：6x4y20；(3)l1的斜率为10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；(4)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(10，40)，N(10，40)解(1)因为3(8)(4)60，而31(2)60，所以l1l2(2)因为34260，而3(2)(1)60，所以l1，l2重合(3)直线l1的斜率k110，直线l2的斜率k2，k1k21，故l1l2(4)l1的倾斜角为90，则l1x轴直线l2的斜率k20，则l2x轴故l1l21判断两条直线平行的方法(1)若两条直线l1
5、，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式如：l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则l1l2若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化成l1：xx1，l2：xx2，则x1x2l1l2(2)若直线l1：A1xB1yC10(A1，B1不全为0)，l2：A2xB2yC20(A2，B2不全为0)，由A1B2A2B10得到l1l2或l1，l2重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行2 判断两直线垂直的方法法一：法二：若两条直线的方程均为一般式：l1：A1xB1yC10(A1，B1不全为0)，l2：A2xB2yC20(A2，B2不全为0)，则l1l2A1A2B1B20跟进训练1判断下列各组中的直线
6、l1与l2是否平行或垂直：(1)l1：4x2y10，l2：2xy20(2)l1：2x3y40和l2：3y2x40；(3)l1：2x3y40和l2：4x6y80解(1)因为4(1)220，所以l1，l2相交(2)由题意知，23(3)(2)0，l1与l2不垂直又l2：3y2x40，可变形为2x3y40，2(3)2(3)0，又2(4)4(2)0，所以l1l2(3)由题意知，42(3)60，l1与l2不垂直又26(3)(4)0，而2(8)(4)40，所以l1，l2重合 类型2由平行或垂直关系求直线的方程【例2】(1)求过点(1，3)，且与直线l：3x4y120平行的直线l的方程(2)求与直线4x3y5
7、0垂直，且与两坐标轴围成的AOB周长为10的直线方程思路探究(1)利用两直线的平行关系求出直线l的斜率，利用直线的点斜式求直线的方程(2)利用直线的垂直关系求出直线的斜率，设出直线的方程，根据待定系数法求解解(1)法一：l的方程可化为yx3，l的斜率为l与l平行，l的斜率为又l过点(1，3)，由点斜式知方程为y3(x1)，即3x4y90法二：由l与l平行，可设l的方程为3x4ym0(m12)将点(1，3)代入上式得m9直线l的方程为3x4y90(2)由题意可设所求直线方程为3x4yb0令x0，得y，即可设A；令y0，得x，即B又AOB周长为10，即OAOBAB10，10，解得b10，故所求直线
8、方程为3x4y100或3x4y1001根据平行关系求直线方程的方法(1)若直线l与已知直线ykxb平行，则可设l的方程为ykxm(mb)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程(2)若直线l与已知直线AxByC0(A，B不全为0)平行，则可设l的方程为AxBym0(mC)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程2根据垂直关系求直线的方程的方法(1)若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线ykxb垂直，则可设直线l的方程为yxm(k0)，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程(2)若直线l与已知直线AxByC0(A，B不全为0)垂直，则可设l的方程为BxAym0，然
9、后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程跟进训练2已知点A(2，2)和直线l：3x4y200，求过点A且与直线l垂直的直线l1的方程解法一：因为klkl11，kl，所以kl1，故直线l1的方程为y2(x2)，即4x3y20法二：设所求直线l1的方程为4x3ym0因为l1经过点A(2，2)，所以4232m0，解得m2故l1的方程为4x3y203求与直线5x6y90平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程解法一：直线5x6y90的斜率为，设所求直线方程为yxb，令x0，得yb；令y0，得x由题意，b0，0，b15，b5，故所求直线方程为yx5，即5x6y300法二
10、：与5x6y90平行的直线可设为5x6ym0(m9)，则令x0，得y；令y0，得x由题意得故m0，15，解得m30，故所求直线方程为5x6y300 类型3两直线平行与垂直的综合应用【例3】ABC的顶点A(5，1)，B(1，1)，C(2，m)，若ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，直线AB与AC的斜率之间有什么关系？提示kABkAC1.解因为A为直角，则ACAB，所以kACkAB1，即1，得m71(变条件)本例中，将“C(2，m)”改为“C(2，3)”，你能判断三角形的形状吗？解如图，AB边所在的直线的斜率kAB，BC边所在直线的斜率kBC2由kA
11、BkBC1，得ABBC，即ABC90ABC是以点B为直角顶点的直角三角形2(变条件)本例中若改为“A为锐角”，其他条件不变，如何求解m的值？解由于A为锐角，故B或C为直角若B为直角，则ABBC，所以kABkBC1，则1，得m3若C为直角，则ACBC，所以kACkBC1，即1，得m2综上可知，m3或m23(变条件)若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为“若ABC为直角三角形”，如何求解m的值？解若A为直角，则ACAB，所以kACkAB1，即1，得m7；若B为直角，则ABBC，所以kABkBC1，即1，得m3；若C为直角，则ACBC，所以kACkBC1，即1，得m2综上可知，m7或m3或m2
12、利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤1(多选题)下列命题中，不正确的是()A斜率相等的直线一定平行B若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等C直线l1：x1与直线l2：x2不平行D直线l1：(1)xy2与直线l2：x(1)y3平行ABCA错误，斜率相等的直线还可能重合；B错误，当两条不重合的直线l1，l2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在；C错误，直线l1与l2的斜率都不存在，且12，所以两直线平行；D正确，由于直线l1：(1)xy2与直线l2：x(1)y3的斜率分别为k11，k21，则k1k2，又直线l1与l2不重合，所以l1l22若过点A(2，2)，B(5，0)的直
13、线与过点P(2m，1)，Q(1，m)的直线平行，则m的值为()A1BC2DBkAB，kPQ，解得m(经检验，符合题意)3过点(3，1)与直线6x7y120垂直的直线方程为_7x6y270直线6x7y120的斜率为，则与该直线垂直的直线的斜率为所求直线方程为y1(x3)即7x6y2704直线l1，l2的斜率分别是方程x23x10的两个根，则l1与l2的位置关系是_垂直设l1，l2的斜率分别为k1，k2，由根与系数的关系可得k1k21，所以l1l25直线l1经过点A(m，1)，B(3，4)，直线l2经过点C(1，m)，D(1，m1)，当l1l2或l1l2时，分别求实数m的值解直线l1的方向向量为(
14、3m，3)，直线l2的方向向量为(2，1)当l1l2时，得m3；当l1l2时，2(3m)30得m，故l1l2时m3，l1l2时m回顾本节知识，自我完成以下问题：1两直线l1：A1xB1yC10(A1，B1不全为0)，l2：A2xB2yC20(A2，B2不全为0)平行的充要条件是什么？提示l1l22两直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2垂直的充要条件是什么？提示l1l2(两直线斜率都存在)k1k213与直线AxByC0(A，B不全为0)平行的直线的方程可设为什么？提示与直线AxByC0(A，B不全为0)平行的直线的方程可设为AxByC10(C1C)4与l：AxByC0(A，B不全为0)垂直的直线可设为什么？提示与l：AxByC0(A，B不全为0)垂直的直线可设为BxAyC10
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