新教材2021-2022学年湘教版数学必修第一册学案：5-2-2　同角三角函数的基本关系 WORD版含答案.doc

1、52.2同角三角函数的基本关系新课程标准解读核心素养1.理解同角三角函数基本关系式：sin2xcos2x1，tan x逻辑推理、数学运算2.会根据同角三角函数的基本关系式解决已知一个角的某个三角函数值求其余两个三角函数值(简称“知一求二”)及简单的三角恒等式的证明问题、化简问题逻辑推理、数学运算因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系如图，设点P(x，y)是角的终边与单位圆的交点问题你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？知识点同角三角函数的基本关系关系式文字表述平方关系sin2co

2、s21同一个角的正弦、余弦的平方和等于商数关系tan_同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切基本关系式的变形公式sin2cos21tan 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)对xR，sin24xcos24x1.()(2)对xR，tan x.()(3)若cos 0，则sin 1.()答案：(1)(2)(3)2化简 的结果是()AcosBcosCsinDsin答案：A3已知cos ，则tan _答案：4化简：(1tan2)cos2等于_答案：1利用同角基本关系式求值角度一已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值例1(链接教科书第164页例5、例6)(1)已知sin ，求cos ，

3、tan 的值；(2)已知，tan 2，求cos 的值解(1)sin 0，是第一或第二象限角当为第一象限角时，cos ，tan ；当为第二象限角时，cos ，tan .(2)由已知得由得sin 2cos 代入得4cos2cos21，cos2，又 ，cos 0，cos .求三角函数值的方法(1)已知sin (或cos )求tan 常用以下方法求解：(2)已知tan 求sin (或cos )常用以下方法求解：注意当角的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角分区间(象限)讨论 角度二已知tan 的值，求关于sin ，cos 齐次式的值例2已知tan 2.(1)求的值；(2)求2sin2

4、sin cos cos2的值. 解(1)法一(代入法)：tan 2，2，sin 2cos .法二(弦化切)：tan 2.(2)2sin2sin cos cos2.已知角的正切求关于sin ，cos 的齐次式的方法(1)关于sin ，cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin ，cos 的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos 的n次幂，其式子可化为关于tan 的式子，再代入求值；(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2cos2来代换，将分子、分母同除以cos2，可化为关于tan 的式子，再代入求值 跟踪训练1已知tan ，则sin ()A.BC D解析：选D

5、由tan ，得cos 2sin .又因为sin2cos21，所以sin24sin21，即sin2.因为，所以sin .故选D.2已知，求下列各式的值：(1)；(2)14sin cos 2cos2.解：，解得tan 2.(1)原式1.(2)原式sin24sin cos 3cos2.sin cos 与sin cos 关系的应用例3(链接教科书第164页例8)已知sin cos ，0.(1)求sin cos 的值；(2)求sin cos 的值解(1)由sin cos 得(sin cos )2，sin22sin cos cos2，sin cos .(2)因为0，sin cos 0，所以sin 0，co

6、s 0sin cos 0.(sin cos )212sin cos ，所以sin cos .sin cos ，sin cos ，sin cos 三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin cos )212sin cos .注意求sin cos 或sin cos 的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号 跟踪训练1已知sin cos ，则sin cos 等于()A.BCD.解析：选C由已知得(sin cos )2，即sin2cos22sin cos ，又sin2cos21，12sin cos ，sin cos .故选C.2若0，sin

7、cos ，求sin cos .解：0，sin cos 0，cos 0.sin cos .利用同角三角函数的关系化简与证明角度一三角函数式的化简例4化简.解2tan2.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的 角度二三角恒等式的证明例5(链接教科书第164页例7)求证：.证明法一：左边右边所以等式成立法二：右边左边所以等式成立证明三角恒等式常

8、用的方法(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；(4)变更命题法，如要证明，可证adbc，或证等；(5)比较法，即设法证明“左边右边0”或“1” 跟踪训练1化简：(1tan2)cos2.解：原式cos2cos2112.2求证：.证明：右边左边，原等式成立1已知sin ，则tan ()A2BCD解析：选Dsin ，cos ，tan .2若sin cos ，则sin cos ()A B C. D2解析：选B因为sin cos ，所以(sin cos )2，即sin2cos22sin cos ，即12sin cos ，所以sin cos .故选B.3化简：_解析：原式 |cos 40sin 40|cos 40sin 40.答案：cos 40sin 404如果tan 2，那么1sin cos _解析：1sin cos .答案：