1、云南省2019-2020学年高中数学春季学业水平考试试题（含解析）一、选择题：本大题共19个小题，每小题3分，共57分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂.1. 已知集合M=，0，1，N =1，3，则MN等于（ ）A. 3B. 1C. 0，1D. -1，0，1，3【答案】B【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合M=，0，1，N =1，3，所以MN等于1，故选：B.2. 函数的定义域为（ ）A. (-，1)B. (-，1C. (1，+)D. 1，+) .【答案】C【解析】【分析】利用对数的性质知即可求定义域.【详解】由函数解
2、析式知：，所以，即，故选：C3. 一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】考虑测度为面积的几何概型.【详解】一块地砖的面积为，所以总面积为，黑色地砖的总面积为，设“最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上”为事件,则.故选:B【点睛】此题考查几何概型，属于基础题.4. 下列函数中，是偶函数的是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的性质直接判断.【详解】因为是奇函数，和是非奇非偶函数，是偶函数，故选：D5. 计算等于（ ）A. 0B. 1C.
3、 2D. 4【答案】C【解析】【分析】直接利用对数的运算法则化简得解.【详解】由题得.故选：C6. 已知角的终边经过点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数的定义求解即可.【详解】因为角的终边经过点，所以，所以，故选：A7. 函数的零点所在区间（ ）A. B. C. D. ，【答案】A【解析】【分析】根据函数零点存在性定理即可得到结论.【详解】函数的定义域为，且函数单调递增，（1），（2），在内函数存在零点，故选：.【点睛】本题主要考查函数零点存在区间的判断，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键.8. 在等差数列的中，若，则等于（ ）
4、A. 25B. 11C. 10D. 9【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的性质直接求解【详解】因为，故选：D9. 在中，已知BC=4，A=45，B=60，则AC等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理有，结合已知即可求AC.【详解】由正弦定理知：，又BC=4，A=45，B=60，故选：A10. 下列函数中，最小正周期为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用周期公式分别求出选项中函数的最小正周期即可得答案.【详解】的最小正周期，A正确；的最小正周期，B不正确；的最小正周期，C不正确；的最小正周期，D不正确，故选：A11. 执行如图
5、所示的程序框图，若输人x的值为1，则输出y的值为（ ）A. 2B. 7C. 8D. 128【答案】C【解析】【分析】读懂程序流程图，根据条件结构有，执行即可知输出值.【详解】输入为，结合图中的条件逻辑，执行，故输出y的值为8.故选：C12. 若直线3x-y+1=0与直线6x-ay-1=0平行，则a的值为（ ）A. -2B. 2C. -18D. 18【答案】B【解析】【分析】解方程即得解.【详解】由题得.故选：B13. 已知等比数列的前n项和为，公比，则等于（ ）A. 32B. 31C. 16D. 15【答案】B【解析】【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出的
6、值.【详解】因为等比数列的前n项和为，公比，所以，又因为，所以.故选：B.14. 已知，则cos2a等于（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式直接计算.【详解】，故选：D15. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 8B. 16C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图还原直观图得到几何体为高为4，底面半径为2圆柱体的一半，即可求出体积.【详解】由三视图知：几何体直观图为下图圆柱体：高为h = 4，底面半径r = 2圆柱体的一半，故选：A16. 已知a b，则下列式子中一定成立的是（ ）A. B. |a| |b|C. D. 【答案】D【
7、解析】【分析】利用特殊值法以及的单调性即可判断选项的正误.【详解】对于A，若则，故错误；对于B，若则，故错误；对于C，若则，故错误；对于D，由上单调增，即，故正确.故选：D17. 若向量与的夹角为60，且 则等于（ ）A. 37B. 13C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积运算，代入可得选项【详解】因为向量与的夹角为60，且 所以所以，故选：C18. 已知变量x和y满足关系，则下列结论中正确的是（ ）A. x与y线性正相关B. x与y线性负相关C. 若x增加1个单位，则y也增加1个单位D. 若x减少1个单位，则y也减少1个单位【答案】B【解析】【分析】由题意根据一次项的系数的
8、正负可判断得选项【详解】因为变量x和y满足关系，一次项系数为，所以x与y线性负相关，故A不正确，B正确；若x增加1个单位，则，y也增加1个单位不正确，故C不正确；若x减少1个单位，则，y也减少1个单位不正确，故D不正确；故选：B19. 要得到函数ycos的图象，只需将函数ycos2的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数的平移变换求解.【详解】因为函数ycos，所以要得到函数ycos的图象，只需将函数ycos2的图象向左平移个单位长度，故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象的平移变
9、换，属于基础题.二、填空题:本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案写在答题卡相应的位置上.20. 某组统计数据的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是_ .【答案】21.【解析】【分析】根据茎叶图写出数据并排序即可知中位数.【详解】由茎叶图知：这组数据为，中位数为21.故答案为：21.21. 已知平面向量，则的坐标为_ .【答案】【解析】【分析】由，结合向量的坐标运算即可求得的坐标.【详解】由，而，故答案为：.22. 已知变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为_.【答案】.【解析】【分析】由已知约束条件得到可行域，结合目标函数过域内的点有最小值，即在轴上的截距最小，即可求其最小值
10、.【详解】由约束条件可得如下可行域，平移过程中与可行域有交点，且保证当时直线在轴上的截距最小即可，即当过点时，有最小值为，故答案为：.23. 若函数的定义域为a，b，值域也为a，b(ab)，则称函数是定义在a，b上的“四维光军”函数.已知是1，b上的“四维光军”函数，则常数b的值为_ .【答案】2【解析】【分析】利用“四维光军”函数的定义，建立定义域和值域之间的关系，即可求解.【详解】因为在 1，b上是增函数，且，所以，即，解得或（不符合区间的定义，舍去）故答案为：2三、解答题:本大题共4个小题，第24题5分，第25题6分，第26题7分，第27题9分，共27分.解答应写出文字说明、证明过程或演
11、算步骤.24. 在中，角所对的边分别为.已知.（1）求的值；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值；（2）利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积详解】（1） ，由余弦定理可得 , ,（2）.【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键25. 如图所示，已知AB平面BCD ，BCCD，M，N分别是AC，AD的中点.（1）求证: MN/平面BCD；（2）求证: CD平面ABC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由中位线定理可得，再由线
12、面平行的判定定理，即可得证；（2）由线面垂直的性质可得，结合，再由线面垂直的判定定理，即可得证【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以又平面且平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以又，且在平面内，所以平面【点睛】证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.26. 某市为了推进全国文明城市的创建工作，随机访问了300名市民对社会主义核心价值观的了解情况，获得了
13、他们的现场测试成绩，将成绩按照50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100分成五个组，绘制成如图所示的频率分布直方图 . 现从测试成绩在80，90)与90，100两个分数段内的市民中，采用分层抽样的方法抽取5人进行座谈.（1）求这5人中测试成绩在80，90)内的人数；（2）若再从这5人中随机抽取2人作经验交流发言，求这2人的测试成绩都在80，90)内的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1 )利用频率分布直方图求得，测试成绩在80, 90)的频率和测试成绩在90, 100的频率为，再求得测试成绩在80, 90)内的人数和测试成绩在90, 100内的人数，采用分
14、层抽样的方法可求得这5人中测试成绩在80, 90)内的人数；(2)由(1 )知,抽取的5人中,测试成绩在80, 90)内的有3人，在90, 100内的有2人，再运用组合知识和古典概率公式可求得这2人的测试成绩都在80, 90)内的概率【详解】(1 )由频率分布直方图可知，测试成绩在80, 90)的频率为，测试成绩在90, 100的频率为，所以测试成绩在80, 90)内的人数为 (人),测试成绩在90, 100内的人数为 (人),所以从测试成绩在80, 90)和90, 100两个分数段内的市民中,采用分层抽样的方法抽取5人，这5人中测试成绩在80, 90)内的人数（人），(2)由(1 )知,抽取
15、的5人中,测试成绩在80, 90)内的有3人，在90, 100内的有2人，从这5人中随机抽取2人共有 (种)抽法，这2人的测试成绩都在80, 90)内的抽法有(种)，所以这2人的测试成绩都在80, 90)内的概率27. 已知圆C的方程为 .（1）写出圆C的圆心坐标和半径；（2）若圆C与直线交于A，B两点，当OAOB时(其中O为坐标原点)，求三角形OAB的面积.【答案】（1）圆心坐标是，半径是；（2）.【解析】【分析】（1）根据圆的标准方程的特征，直接写出圆心坐标和半径即可（2）设出点，坐标，联立直线与圆的方程，消去，确定关于的一元二次方程，由已知的垂直关系，确定，利用韦达定理求得，利用圆的弦长公式求出，再利用点到直线距离公式求出三角形的高，从而可得结论【详解】（1）因为圆的圆心坐标是，半径是，所以圆C 圆心坐标是，半径是；（2）由消去，得，此时判别式设，则有，由于，可得，又，所以由得，解得，满足，故，直线即，圆心到直线的距离，原点到直线的距离为，所以三角形OAB的面积.【点睛】求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.