1、课时训练10等差数列前n项和的性质与应用一、等差数列前n项和性质的应用1.等差数列an的前n项和为Sn,若S2=2,S4=10,则S6等于()A.12B.18C.24D.42答案:C解析:S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即2,8,S6-10成等差数列,S6=24.2.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()A.5B.4C.3D.2答案:C解析:由题意得S偶-S奇=5d=15,d=3.或由解方程组5a1+20d=15,5a1+25d=30求得d=3,故选C.3.等差数列an的前n项和为Sn,a1=-2 015,S2 0152 015-S2 0132
2、013=2,则S2 015=()A.2 015B.-2 015C.0D.1答案:B解析:由等差数列前n项和性质可知,数列Snn是等差数列,设公差为d,则S2 0152 015-S2 0132 013=2d=2,所以d=1.所以S2 0152 015=S11+2 014d=-2 015+2 014=-1,所以S2 015=-2 015.二、等差数列前n项和中的最值问题4.设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和,则下列命题中错误的是()A.若d0,则数列Sn有最大项B.若数列Sn有最大项,则d0D.若对任意nN*,均有Sn0,则数列Sn是递增数列答案:C解析:由等差数列的前n项和公式
3、Sn=na1+12n(n-1)d=d2n2+a1-d2n知,Sn对应的二次函数有最大值时d0.故若d0,则a10,d0,Sn必为递增数列,D正确.而对于C项,令Sn=n2-2n,则数列Sn递增,但S1=-10.C不正确.5.(2015河南南阳高二期中,10)已知数列an为等差数列,若a11a100的n的最大值为()A.21B.20C.19D.18答案:C解析:由a11a10-1,可得a11+a10a100,由它们的前n项和Sn有最大值可得数列的公差d0,a11+a100,a110,a1+a20=a11+a100的n的最大值n=19.故选C.6.设数列an为等差数列,其前n项和为Sn,已知a1+
4、a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意nN*,都有SnSk成立,则k的值为()A.22B.21C.20D.19答案:C解析:对任意nN*,都有SnSk成立,即Sk为Sn的最大值.因为a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,所以a4=33,a5=31,故公差d=-2,an=a4+(n-4)d=41-2n,则n=1时,a1=39,所以Sn=d2n2+a1-d2n=-n2+40n=-(n-20)2+400,即当n=20时Sn取得最大值,从而满足对任意nN*,都有SnSk成立的k的值为20.7.设等差数列an的前n项和为Sn,且S2 0140,S2 0150,则当n=时,Sn最大.
5、答案:1 007解析:由等差数列的性质知,S2 015=2 015a1 0080,所以a1 0080,所以a1 007+a1 0080,而a1 0080.因此当n=1 007时,Sn最大.8.已知数列an,anN*,前n项和Sn=18(an+2)2.(1)求证:an是等差数列;(2)设bn=12an-30,求数列bn的前n项和的最小值.(1)证明:由已知得8Sn=(an+2)2,则8Sn-1=(an-1+2)2(n2),两式相减,得8an=(an+2)2-(an-1+2)2,即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.因为anN*,所以an+an-10,所以an-an-1=4(n2),故数
6、列an是以4为公差的等差数列.(2)解:令n=1,得S1=a1=18(a1+2)2,解得a1=2.由(1)知an=2+(n-1)4=4n-2,所以bn=12an-30=2n-31.由bn=2n-310,得n0.设数列bn的前n项和为Tn,则T15最小,其值为T15=15(-29)+151422=-225.三、与数列|an|前n项和有关的问题9.已知数列an的通项公式an=5-n,则当|a1|+|a2|+|an|=16时,n=.答案:8解析:由an=5-n,可得n0;n=5时,a5=0;n5时,an0,而a1+a2+a5=10,|a1|+|a2|+|an|=(a1+a2+a5)-(a6+a7+a
7、n)=16.20+n2-9n2=16,解得n=8.10.在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且5a3a1=(2a2+2)2.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解:(1)因为5a3a1=(2a2+2)2,所以d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4.故an=-n+11或an=4n+6.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d0,a6+a70,a6a70成立的最大自然数n是()A.11B.12C.13D.14答案:B解析:a6+a7=a1+a12,S12=12(a1+a12)2=6(a6+a7)0.由已知得a60,a70,又S13=13a70成立的最
8、大自然数n为12,故选B.5.已知等差数列an的前n项和为Sn,若Sn=1,S3n-Sn=5,则S4n=()A.4B.6C.10D.15答案:C解析:由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等差数列,设公差为d,则S2n-Sn=Sn+d,S3n-S2n=Sn+2d.S3n-Sn=2Sn+3d=5.又Sn=1,d=1.S4n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)+(S4n-S3n)=1+2+3+4=10.6.等差数列an前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=.答案:10解析:S9=S4,a5+a6+a7+a8+a9=0,a7=0,从而a4+a10=2a7
9、=0,k=10.7.等差数列前12项和为354,在前12项中的偶数项的和与奇数项的和之比为3227,则公差d=.答案:5解析:由已知S奇+S偶=354,S偶S奇=3227,解得S偶=192,S奇=162.又此等差数列共12项,S偶-S奇=6d=30.d=5.8.等差数列an与bn,它们的前n项和分别为An,Bn,若AnBn=2n-2n+3,则a5b5=.答案:43解析:a5b5=9a59b5=A9B9=29-29+3=43.9.在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn有最大值,并求出它的最大值.解:设等差数列an的公差为d,a1=20,S10=S
10、15,10a1+1092d=15a1+15142d.解得d=-53.解法一:由以上得an=20-53(n-1)=-53n+653.由an0得-53n+6530,n13.所以数列前12项或前13项的和最大,其最大值为S12=S13=12a1+12112d=130.解法二:由以上得Sn=20n+n(n-1)2-53=-56n2+56n+20n=-56n2+1256n=-56(n2-25n)=-56n-2522+3 12524.当n=12或13时,Sn最大,最大值为S12=S13=130.10.等差数列an中,a1=-60,a17=-12,求数列|an|的前n项和.解:等差数列an的公差d=a17-a117-1=-12-(-60)16=3,an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)3=3n-63.由an0,得3n-630,即n20时,Sn=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+n(n-1)23-2-6020+201923=32n2-1232n+1 260.数列|an|的前n项和为Sn=-32n2+1232n(n20),32n2-1232n+1 260(n20).