1、课时跟踪训练(十六)基础巩固一、选择题1(2016四川卷)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4B2C4D2解析由题意得f(x)3x212，由f(x)0得x2，当x(，2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x(2,2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以a2.答案D2设函数f(x)lnx，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析f(x)lnx，f(x)(x0)，由f(x)0得x2.当x(0,2)时，f(x)0，f(x)为增函数，x2为f(x)的极小值点答案D3若商品的年利润y(万元)与年产量x(百
2、万件)的函数关系式为yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万件B2百万件C3百万件D4百万件解析y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0.故当x3时，该商品的年利润最大答案C4.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f (x)，且函数y(1x)f (x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析由图可知当x0；当2x1时，(1x)f (x)0；当1x0；当x2时，(1
3、x)f (x)0.所以x2时f (x)0；2x1或1x2时f (x)0，所以函数f(x)在(，2)和(2，)上单调递增；在(2,1)和(1,2)上单调递减所以当x2时函数f(x)取得极大值；当x2时函数f(x)取得极小值故D正确答案D5(2017河北三市二联)若函数f(x)x3x22bx在区间3,1上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为()A2bBbC0Db2b3解析f(x)x2(2b)x2b(xb)(x2)，函数f(x)在区间3,1上不是单调函数，3b0，得x2，由f(x)0，得bx2，函数f(x)的极小值为f(2)2b.答案A6若函数f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，则实
4、数a的取值范围是()A(，1)B，1)C2,1)D(2,1)解析由f(x)3x230，得x1，且x1为函数的极大值点，x1为函数的极小值点若函数f(x)在区间(a,6a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足得解得2a1，故选C.答案C二、填空题7f(x)的极小值为_解析f(x).令f(x)0，得x1.令f(x)0，得2x0时，f(x)ex10，x0时，f(x)ex10，得x6；由f(x)0，得2x0，得x2；由f(x)0，得x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)
5、，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aalna，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aalna，无极大值能力提升11(2017浙江金华、丽水、衢州十二校联考)如图，已知直线ykxm与曲线yf(x)相切于两点，则F(x)f(x)kx有()A1个极大值点，2个极小值点B2个极大值点，1个极小值点C3个极大值点，无极小值点D3个极小值点，无极大值点解析F
6、(x)f(x)k，如图所示，从而可知F(x)共有三个零点x1，x2，x3，由图可知，F(x)在(，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，在(x2，x3)上单调递减，在(x3，)上单调递增，x1，x3为极小值点，x2为极大值点，即F(x)有1个极大值点，2个极小值点，故选A.答案A12(2018河北唐山一模)直线ya分别与曲线y2(x1)，yxlnx交于A，B，则|AB|的最小值为()A3B2CD解析当ya时，2(x1)a，x1.设方程xlnxa的根为t，则tlnta，则|AB|.设g(t)1(t0)，则g(t)，令g(t)0，得t1.当t(0,1)，g(t)0，所以g(t)ming(1
7、)，所以|AB|，即|AB|的最小值为.答案D13(2017全国卷)设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围解(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1，x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(1，)单调递减，在(1，1)单调递增(2)f(x)(1x)(1x)ex.当a1时，设函数h(x)(1x)ex，h(x)xex0)，因此h(x)在0，)单调递减，而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.当0a0(x0)，所以g(x)在0，)单调递增，而g(0
8、)0，故exx1.当0x(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，则x0(0,1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)ax01.不合题意当a0时，取x0，则x0(0,1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.不合题意综上，a的取值范围是1，)14(2018山东潍坊模拟)设f(x)xlnxax2(2a1)x，aR.(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围解(1)由f(x)lnx2ax2a，可得g(x)lnx2ax2a，x(0，)则g(x)2a.当a0时，x(0，)时，g(x)0，函数g
9、(x)单调递增当a0时，x时，g(x)0，函数g(x)单调递增；x时，g(x)0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.(2)由(1)知，f(1)0.当a0时，f(x)单调递增，所以，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意当0a1，由(1)知f(x)在内单调递增，可得，当x(0,1)时，f(x)0.所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意当a时，1，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减所以当x(0，)时，f(x)f(1)0，f(x)单调递减，不合题意当a时，00，f(x)单调递增，
10、当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)在x1处取得极大值，符合题意综上可知，实数a的取值范围为.延伸拓展(2017海南华侨中学考前模拟)已知函数f(x)x3ax2bxc在定义域x2,2上表示的曲线过原点，且在x1处的切线斜率均为1.有以下命题 ：f(x)是奇函数；若f(x)在s，t内递减，则|ts|的最大值为4；若f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm0；若对x2,2，kf(x)恒成立，则k的最大值为2.其中正确命题的个数为()A1B2C3D4解析由题意得函数过原点，则c0.又f(x)3x22axb，则解得所以f(x)x34x，f(x)3x240.因为f(x)x34xf(x)，即f(x)是奇函数，正确；由f(x)0得x或x，f(x)在内单调递减若f(x)在s，t内递减，则t，s时，|ts|的最大值为，错误；由奇函数的图象关于原点对称可知，最大值与最小值互为相反数，f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm0，正确；若对x2,2，由于f(x)3x244,8，则kf(x)恒成立，则k4，则k的最大值为4，错误故正确的个数为2，故选B.答案B