1、上海市普陀区2015届高三（上）12月调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，满分56分）1若集合A=x|lgx1，B=y|y=sinx，xR，则AB=（0，1分析：由对数函数、正弦函数的性质求出集合A、B，再由交集的运算求出AB解答：解：由lgx1=lg10得，0x10，则集合A=x|0x10=（0，10），由1sinx1得，集合B=y|1y1=1，1，所以AB=（0，1，故答案为：（0，1点评：本题考查了交集及其运算，以及对数函数、正弦函数的性质，属于基础题2若=1，则常数a=1分析：利用极限的运算性质即可得出解答：解：原式=a=1a=1故答案为：1点评：本题考查了极
2、限的运算性质，属于基础题3当x1时，函数的最小值为3考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：变形利用基本不等式就看得出解答：解：x1，=3，当且仅当x=2时取等号故答案为：3点评：本题查克拉基本不等式的应用，属于基础题4函数y=tan（x）的单调递增区间是（+k，+k），kZ考点：正切函数的图象专题：三角函数的图像与性质分析：根据正切函数的图象与性质，即可求出函数y=tan（x）的单调递增区间解答：解：根据正切函数的图象与性质，令+kx+k，kZ；得：+kx+k，kZ，函数y=tan（x）的单调递增区间是（+k，+k），kZ故答案为：（+k，+k），kZ点评：本题考查了正切函数的图象与性
3、质的应用问题，解题时应利用正切函数的图象与性质，列出不等式，求出解集来5方程lgx+lg（x1）=lg6的解x=3考点：对数的运算性质专题：函数的性质及应用分析：由已知得，由此能求出结果解答：解：lgx+lg（x1）=lg6，解得x=3故答案为：3点评：本题考查对数方程的解法，是基础题，解题时要注意对数性质的合理运用6如图，正三棱柱的底面边长为1，体积为，则异面直线A1A与B1C所成的角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）考点：异面直线及其所成的角专题：空间角分析：根据已知条件容易求得BB1=4，并且判断出BB1C是异面直线A1A与B1C所成的角，而tanBB1C=，所以得到异面直线
4、A1A与B1C所成的角的大小为arctan解答：解：根据已知条件知，；BB1=4；BB1AA1；BB1C是异面直线A1A与B1C所成角；在RtBCB1中，tanBB1C=；故答案为：arctan点评：考查三角形面积公式，三棱柱的体积公式，以及异面直线所成角的概念及求法7若方程+=1表示双曲线，则实数k的取值范围是（2，2）（3，+）考点：双曲线的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由已知得（|k|2）（3k）0，由此能求出实数k的取值范围解答：解：程+=1表示双曲线，（|k|2）（3k）0，解得k3或2k2，实数k的取值范围是（2，2）（3，+）故答案为：（2，2）（3，+）点评：本
5、题考查满足条件的实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用8（4分）函数f（x）=1（x2）的反函数是y=（1x）2+1，x0考点：反函数专题：函数的性质及应用分析：令y=1（x2），易得x=（1y）2+1，求y的范围可得x=（1y）2+1，y0，进而可得反函数为：y=（1x）2+1，x0解答：解：令y=1（x2），则=1y，平方可得x1=（1y）2，x=（1y）2+1，x2，1，1y1，解得y0，x=（1y）2+1，y0，所求反函数为：y=（1x）2+1，x0，故答案为：y=（1x）2+1，x0点评：本题考查反函数的求解，涉及变量范围的确定，属基础题9在二项式
6、（x）5的展开式中，含x5项的系数为1（结果用数值表示）考点：二项式系数的性质专题：二项式定理分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于05，求得r的值，即可求得展开式中含x5项的系数解答：解：二项式（x）5的展开式的通项公式为Tr+1=（1）r，令5=5，求得r=0，可得含x5项的系数为1，故答案为：1点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题10若抛物线y2=（m0）的焦点在圆x2+y2=1外，则实数m的取值范围是（0，1）考点：抛物线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出抛物线y2=（m0）的焦点F坐标为（，0），由
7、F在圆x2+y2=1外，可得：1，进而可得实数m的取值范围解答：解：抛物线y2=（m0）的焦点F坐标为（，0），若F在圆x2+y2=1外，则1，解得m（0，1），故答案为：（0，1）点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，点与圆的位置关系，是抛物线与圆的综合应用，难度不大，属于基础题11（4分）在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，c=2，A=120，SABC=考点：正弦定理专题：解三角形分析：由正弦定理和已知易得C=30，进而可得sinB=，由三角形的面积公式可得解答：解：在ABC中，a=2，c=2，A=120，由正弦定理可得sinC=，C=30，或C=150（A
8、=120，应舍去），sinB=sin（A+C）=sin150=SABC=故答案为：点评：本题考查正弦定理，涉及三角形的面积公式，属基础题12（4分）若无穷等比数列an的各项和等于公比q，则首项a1的取值范围是2a1且a10考点：等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：由题意易得=q，可得a1=（q）2+，由二次函数和等比数列的性质可得解答：解：无穷等比数列an的各项和等于公比q，|q|1，且=q，a1=q（1q）=q2+q=（q）2+，由二次函数可知a1=（q）2+，又等比数列的项和公比均不为0，由二次函数区间的值域可得：首项a1的取值范围为：2a1且a10故答案为：2a1且a10点评
9、：本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题13（4分）设a为大于1的常数，函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）bf（x）=0恰有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是0b1考点：根的存在性及根的个数判断专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：由题意化简f2（x）bf（x）=0为f（x）=0或f（x）=b；作函数f（x）=的图象，利用数形结合求解解答：解：f2（x）bf（x）=0可化为f（x）=0或f（x）=b；作函数f（x）=的图象如下，当f（x）=0可得x=1，故f（x）=b要有两个不同于1的实数解，故由图象可得，0b1；故答案为：0b1点评：本题考查了方程的根与函数的
10、图象的关系，同时考查了学生的作图能力，属于中档题14（4分）四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中不共面的4点，不同的取法共有141种考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去补合题意的结果解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6
11、种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种以上三类情况不合要求应减掉，不同的取法共有C1044C6463=141种故答案为 141点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏二、选择题（每小题5分，满分20分）15（5分）若ab0，则下列不等式中，一定成立的是（）A a2abb2Ba2abb2Ca2b2abDa2b2ab考点：不等式的基本性质专题：不等式的解法及应用分析：由于ab0，利用不等式的基本性质可得a2abb2解答：解：ab0，a2abb2，故选：B点评：本题考
12、查了不等式的基本性质，属于基础题16（5分）“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程2+y=0“的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：点M（1，2）在曲线y2=4x上，但点M的坐标不满足方程2+y=0，即充分性不成立，若点M的坐标满足方程2+y=0，则y=2，则y2=4x成立，即必要性成立，故“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程2+y=0“的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件，根据曲线和方程之间的关系是解决本
13、题的关键17（5分）要得到y=cos（2x）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位考点：函数y=Asin（x+）的图象变换专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：利用三角函数的诱导公式，化简得y=cos（2x）=sin（2x+），再根据函数图象平移的公式加以计算，可得本题答案解答：解：y=cos（2x）=sin（2x）+=sin（2x+），若函数y=sin2x=f（x），则函数g（x）=sin（2x+）=sin2（x+）=f（x+）因此，将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，可得y=sin（2x+）的图象，即函数y=sin
14、2x的图象向左平移个单位，得到y=cos（2x）的图象故选：A点评：本题给出形状相同的两个三角函数图象，要我们求从一个图象到另一个图象所要平移的距离着重考查了三角函数的诱导公式和函数图象平移的公式等知识，属于基础题18（5分）若在边长为1的正三角形ABC的边BC上有n（nN*，n2）等分点，沿向量的方向依次为P1，P2，Pn1记Tn=+，则Tn的值不可能是（）ABCD考点：平面向量数量积的运算专题：计算题；等差数列与等比数列；平面向量及应用分析：利用平面向量的数量积运算求得=1+（k=1，2，n1，kN），再由数列的求和知识即可得到Tn，再对选项加以判断，解方程即可得到解答：解：=（+k）（+
15、（k+1）=+k（k+1）（2k+1）=1+（k=1，2，n1，kN），则Tn=+=（）+（n1）+=1+n1+=若=，则解得，n=4，若=，则解得，n=5，若=，则解得，n=6，若=，则无整数解故选D点评：本题主要考查平面向量的数量积的运算及数列求和的知识，考查学生的运算求解能力，属难题三、解答题（共5大题，满分74分，写出必要的步骤与说明）19（12分）已知P是椭圆+=1上的一点，求P到M（m，0）（m0）的距离的最小值考点：椭圆的简单性质专题：函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设P（x，y），则，所以，2x2，所以得到|PM|=，二次函数的对称轴为x=2m，所以讨论2m和
16、区间2，2的关系，根据二次函数的顶点及在区间2，2上的单调性即可求出该二次函数的最小值，从而求出|PM|的最小值解答：解：设P（x，y），则x，y满足：；|PM|=；若02m2，即0m1时，x=2m时，函数取最小值2m2；此时|PM|的最小值为；若2m2，即m1时，二次函数在2，2上单调递减；x=2时，函数取最小值（m2）2；此时|PM|的最小值为|m2|点评：考查曲线上的点坐标和曲线方程的关系，两点间的距离公式，以及二次函数的最小值求法20（14分）已知函数f（x）=2sin2x+bsinxcosx满足f（）=2（1）求实数b的值以及函数f（x）的最小正周期；（2）记g（x）=f（x+t），
17、若函数g（x）是偶函数，求实数t的值考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）化简可得f（x）=1cos2x+sin2x，由f（）=2有1cos2+sin2=1+=2，从而解得b=2，有f（x）=1cos2x+sin2x=1cos2x+sin2x=12sin（2x），从而可求T=（2）由g（x）=f（x+t）=12sin2（x+t）=12sin（2x+2t），函数g（x）是偶函数，从而有2t=k，kZ，从而解得t=，kZ解答：解：（1）f（x）=2sin2x+bsinxcosx=1cos2x+sin2xf（）=21cos2+sin2=1
18、+=2，从而解得b=2f（x）=1cos2x+sin2x=1cos2x+sin2x=12sin（2x）T=即函数f（x）的最小正周期是（2）g（x）=f（x+t）=12sin2（x+t）=12sin（2x+2t）函数g（x）是偶函数，2t=k，kZ，从而解得t=，kZ点评：本题主要考查了正弦函数的图象，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查21（14分）如图，在两块钢板上打孔，用顶帽呈半球形，钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一段每打出一个帽，使得与顶帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2（单位：mm）（加工中不计损失）（1）若钉身长度是顶帽长度的
19、2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚底为12mm，求钉身的长度（结果精确到1mm）考点：组合几何体的面积、体积问题专题：空间位置关系与距离分析：（1）根据图象结合圆柱和球的表面积公式即可求铆钉的表面积；（2）根据体积公式即可求钉身的长度解答：解：（1）设钉身的高为h，钉身的底面半径为r，钉帽的底面半径为R，由题意可知圆柱的高h=2R=38，圆柱的侧面积S1=2rh=760，半球的表面积S2=，故铆钉的表面积S=S1+S2=760+1083=1843（2）V1=r2h1=10024=2400，V2=，设钉身的长度为l，则V3=r2l=100l，由于V3=V1+V2，2400，解得l70mm
20、点评：本题主要考查空间几何体的体积和表面积的计算，要求熟练掌握相应的表面积和体积公式22（16分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn+an=4，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）已知cn=2n+3（nN*），记dn=cn+logCan（C0且C1），是否存在这样的常数C，使得数列dn是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由（3）若数列bn，对于任意的正整数n，均有b1an+b2an1+b3an2+bna1=（）n成立，求证：数列bn是等差数列考点：数列的求和；等差关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n2时，an=SnSn1”即可得出；
21、（2）dn=cn+logCan=2n+3+=（2logC2）n+3+2logC2，假设存在这样的常数C，使得数列dn是常数列，则2logC2=0，解得C即可（3）由于对于任意的正整数n，均有b1an+b2an1+b3an2+bna1=（）n成立（*），b1an+1+b2an+bna2+bn+1a1=（*）两边同乘以可得：b1an+1+b2an+bna2=两式相减可得可得，即，（n3）n=1，2也成立，即可证明解答：（1）解：且Sn+an=4，nN*当n2时，Sn1+an1=4，an+anan1=0，即当n=1时，2a1=4，解得a1=2数列an是等比数列，an=22n（2）解：dn=cn+lo
22、gCan=2n+3+=2n+3+（2n）logC2=（2logC2）n+3+2logC2，假设存在这样的常数C，使得数列dn是常数列，则2logC2=0，解得C=存在这样的常数C=，使得数列dn是常数列，dn=3+=7（3）证明：对于任意的正整数n，均有b1an+b2an1+b3an2+bna1=（）n成立（*），b1an+1+b2an+bna2+bn+1a1=（*）两边同乘以可得：b1an+1+b2an+bna2=可得bn+1a1=，（n3）又2b1=，解得b1=b1a2+b2a1=，+b22=，解得b2=当n=1，2时，也适合，（nN*）是等差数列点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通
23、项公式、等差数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于难题23（18分）已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（x0）=f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点（1）若aR且a0，证明：函数f（x）=ax2+xa必有局部对称点；（2）若函数f（x）=2x+b在区间1，2内有局部对称点，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）=4xm2x+1+m23在R上有局部对称点，求实数m的取值范围考点：函数的图象；函数的值专题：函数的性质及应用分析：（1）根据定义构造方程ax2+xa=0，再利用判别式得到方程有解，问题得以解决（2）根据定义构造方程2x+2x+2b=0在区间1，2上有
24、解，再利用换元法，设t=2x，求出b的范围，问题得以解决（3）根据定义构造方程4x+4x2m（2x+2x）+2（m23）=0（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2x+2x，方程变形为t22mt+2m28=0 在区间2，+）内有解，再根据判别式求出m的范围即可解答：解：（1）由f（x）=ax2+xa得f（x）=ax2xa，代入f（x）=f（x） 得ax2+xa+ax2xa=0得到关于x的方程ax2+xa=0（a0），其中=4a2，由于aR且a0，所以0恒成立，所以函数f（x）=ax2+xa必有局部对称点；（2）f（x）=2x+b在区间1，2内有局部对称点，方程2x+2x+2b=0在区间1，2上有解，于是2b=2x+2x，设t=2x，t4，2b=t+，其中2t+，所以b1（3）f（x）=4xm2x+1+m23，由f（x）=f（x），4xm2x+1+m23=（4xm2x+1+m23），于是 4x+4x2m（2x+2x）+2（m23）=0（*）在R上有解，令t=2x+2x（t2），则4x+4x=t22，方程（*）变为t22mt+2m28=0 在区间2，+）内有解，需满足条件：即，化简得1m2点评：本题依据新定义，考查了方程的解得问题以及参数的取值范围，以及换元的思想，转化思想，属于难题