1、课时跟踪训练(四十二) 基础巩固一、选择题1和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A异面 B相交 C平行 D异面或相交解析当两条直线无公共点时，可知两直线异面；当两异面直线中的一条直线与两条直线交于一点时，可知两直线相交，选D.答案D2.如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点A B点BC点C但不过点M D点C和点M解析AB，MAB，M.又C，M、C，与的交线必通过点C和点M.选D.答案D3已知正方体ABCDA1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是()AA1、M、O三点共线 BM、
2、O、A1、A四点共面CA、O、C、M四点共面 DB、B1、O、M四点共面解析因为O是BD1的中点由正方体的性质知，O也是A1C的中点，所以点O在直线A1C上，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确答案D4以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1 C2 D3解析对于，不共面的四点中，其中任意三点不共线，故正确；对于，若A，B，C共线时，A
3、，B，C，D，E不一定共面 ，故不正确；对于，b，c也可异面，故不正确；是错误的选B.答案B5在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析如图，连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角或其补角连接A1C1，设AB1，则AA12，A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1.答案D6两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是()A两条相交直线 B两条平行直线C两个点 D一条直线和直线外一点解析如图，在正方体ABCDEFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异
4、面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点，故选C.答案C二、填空题7(2017陕西汉中调研)若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是_答案b与相交或b或b8(2018江西上饶月考)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线
5、MN与AC所成的角为60.其中正确的结论为_(把你认为正确的结论序号都填上)解析由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线因为D1CMN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60.答案9(2017广东华山模拟)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角为_解析取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，在RtAB1E中，AB1E即为所求设AB1，则A1A，AB1，B1E，AE，故AB1E60.答案60三、解答题10如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1
6、、B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解(1)不是异面直线理由如下：连接MN、A1C1、AC.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.A1A綊C1C，A1ACC1为平行四边形，A1C1AC，MNAC，A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线理由如下：假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面.D1、B、C、C1，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾假设不成立，即D1B与CC1是异面直线能力提升11如图，平面与平面交于直线l，A，C是平面内不同的两点，B，D是平
7、面内不同的两点，且A，B，C，D不在直线l上，M，N分别是线段AB，CD的中点，下列判断正确的是()A若AB与CD相交，且直线AC平行于l时，则直线BD与l可能平行也有可能相交B若AB，CD是异面直线时，则直线MN可能与l平行C若存在异于AB，CD的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，则AB，CD不可能是异面直线DM，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交解析对于A，直线BD与l只能平行；对于B，直线MN与l异面；对于C，AB与CD可能为异面直线当直线AB与CD的中点M，N重合时，必有直线ACl，故不可能相交，综上所述，故选D.答案D12(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C
8、1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析解法一：平面CB1D1，平面ABCD平面A1B1C1D1，平面ABCDm，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，mB1D1.平面CB1D1，平面ABB1A1平面DCC1D1，平面ABB1A1n，平面CB1D1平面DCC1D1CD1，nCD1.B1D1，CD1所成的角等于m，n所成的角，即B1D1C等于m，n所成的角B1D1C为正三角形，B1D1C60，m，n所成的角的正弦值为.解法二：由题意画出图形如图，将正方体ABCDA1B1C1D1平移，补形为两个全等的正方体如图
9、，易证平面AEF平面CB1D1，所以平面AEF即为平面，m即为AE，n即为AF，所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角因为AEF是正三角形，所以EAF60，故m，n所成角的正弦值为.答案A13如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是_对于任意的平面，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；存在一个平面0，使得GFEHBD；存在一个平面0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上解析当H，G分别为AD，BC的中点时，直线GF，EH，BD平行，所以错，正确；若存在一个平面0，使得点G在线段BC上，点H
10、在线段AD的延长线上，则平面0与CD的交点不可能是CD的中点，故错答案14(2017安徽安庆调研)如图所示，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为_解析取DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HF綊AD.GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)在GHF中，可求HF，GFGH，cosGFH.答案15(2017河南许昌模拟)如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦
11、值解(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.16如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小解(1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S4，所以，四棱锥OABCD的体积V42.(2)连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，则EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角)，由已知，可得DE，EM，MD，()2()2()2，DEM为直角三角形，tanEMD.延伸拓展过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A1条 B2条C3条 D4条解析正方体的四条(体)对角线与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，如图1，其中只有一条过A，只需把另外三条进行适当平移使之分别过点A(参考图2)即可，过A可以作出适合题意要求的四条直线l.答案D