1、课时训练6圆锥曲线的参数方程1.椭圆x=4cos+1,y=3sin(为参数)的左焦点的坐标是()A.(-7,0)B.(1-7,0)C.(-1-7,0)D.(7-1,0)答案:B解析:化为普通方程为(x-1)216+y29=1,其中a2=16,b2=9,c2=a2-b2=16-9=7,c=7,左焦点为(1-7,0).2.椭圆x=4+5cos,y=3sin(为参数)的焦点坐标为()A.(0,0),(0,-8)B.(0,0),(-8,0)C.(0,0),(0,8)D.(0,0),(8,0)答案:D解析:利用平方关系化为普通方程(x-4)225+y29=1,焦点坐标分别为(0,0),(8,0),故选D
2、.3.下列在曲线x=sin2,y=cos+sin(为参数)上的点是()A.12,-2B.-34,12C.(2,3)D.(1,3)答案:B解析:转化为普通方程y2=1+x(|y|2),把选项A,B,C,D代入验证可知B正确.4.点P(x,y)是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点,则x+2y的最大值为()A.22B.22C.6D.4答案:A解析:椭圆为x26+y24=1,设P(6cos ,2sin ),则x+2y=6cos +4sin =22sin(+)tan=64.因为sin(+)-1,1,所以(x+2y)max=22.故选A.5.双曲线x=sec,y=tan(为参数)的渐近线方程为()A.y
3、=2xB.y=xC.y=12xD.y=22x答案:B解析:x2-y2=sec2-tan2=1,双曲线为等轴双曲线,易知渐近线方程为y=x.6.点P(1,0)到抛物线x=t2,y=2t(其中参数tR)上的点的最短距离为()A.0B.1C.2D.2答案:B解析:设点P(1,0)到曲线上的点的距离为d,则d=(x-1)2+(y-0)2=(t2-1)2+(2t)2=(t2+1)2=t2+11.所以点P到曲线上点的距离的最小值为1.7.参数方程x=cos2+sin2,y=12(1+sin)(02)表示()A.抛物线的一部分,这部分过点1,12B.双曲线的一支,这支过点1,12C.双曲线的一支,这支过点-
4、1,12D.抛物线的一部分,这部分过点-1,12答案:A解析:由参数方程,得x2=cos2+sin22=cos22+sin22+2cos2sin2=1+sin ,故y=12x2,且x0,表示抛物线的一部分.8.直线x4+y3=1与椭圆x216+y29=1相交于A,B两点,该椭圆上点P使得PAB的面积等于4,这样的点P共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:B解析:设椭圆上一点P1的坐标为(4cos ,3sin ),0,2,如图所示,则S四边形P1AOB=SOAP1+SOBP1=1243sin +1234cos =6(sin +cos )=62sin +4.当=4时,S四边形P1AOB有最
5、大值为62.所以SABP162-SAOB=62-64,所以在直线AB的左下方,存在2个点满足到直线AB的距离为85,使得SPAB=4.故椭圆上有两个点使得PAB的面积等于4.9.椭圆x=2cos,y=sin中斜率为1的平行弦的中点的轨迹方程是.答案:x+4y=0(椭圆内部分)解析:设斜率为1的平行弦的方程为y=x+b,代入椭圆方程x24+y2=1,得5x2+8bx+4b2-4=0,所以方程的两根x1,x2满足x1+x2=-8b5,x1x2=4b2-45,则中点M(x,y)满足x=x1+x22=-4b5,y=x+b=b5,即x=-4b5,y=b5,消去b得到x+4y=0(椭圆内部分),即斜率为1
6、的平行弦的中点的轨迹方程为x+4y=0(椭圆内部分).10.已知两曲线的参数方程分别为x=5cos,y=sin(0)和x=54t2,y=t(tR),它们的交点坐标为.答案:1,255解析:将两曲线的参数方程化为一般方程分别为x25+y2=1(0y1,-50,b0)上的一定点M(h,k)作双曲线的弦,当弦变动时,求动弦的中点的轨迹方程.解:设双曲线上动点N的坐标为(asec ,btan ),弦MN的中点坐标为(x,y),则x=h+asec2,y=k+btan2,由此可得sec=2x-ha,tan=2y-kb,所以2x-ha2-2y-kb2=1.故弦的中点的轨迹为双曲线,它的方程可化为x-h22a
7、22-y-k22b22=1.16.已知极点与原点重合,极轴与x轴正半轴重合,若曲线C1的极坐标方程为cos -4=2,曲线C2的参数方程为x=2cos,y=3sin(为参数),试求曲线C1,C2的交点的直角坐标.解:曲线C1可化为22cos +22sin =2,即x+y=2,曲线C2可化为x24+y23=1,联立x+y=2,3x2+4y2=12,解得交点为(2,0),27,127.17.已知曲线C1:x=-4+cost,y=3+sint(t为参数),C2:x=8cos,y=3sin(为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t=2,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线x-2y-7=0的距离的最小值.解:(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:x264+y29=1.C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)当t=2时,P(-4,4),设Q(8cos ,3sin ),故M-2+4cos,2+32sin.点M到直线x-2y-7=0的距离d=55|4cos -3sin -13|=55|5cos(+)-13|,其中为锐角,tan =34.故d的最小值为855.