1、专题 01 圆锥曲线求解定值问题的两大途径1.由特例得出一个值此值一般就是定值 证明定值：将问题转化为证明待证式与参数某些变量无关2先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值特殊地，两种弦长公式：(1)若直线 AB 的方程设为,),(,2211yxByxAmkxy则akxxxxkxxkAB22122122121411(2)若直线 AB 的方程设为,),(,2211yxByxAtmyx,则amyyyymyymAB22122122121411例题 1、已知椭圆 C：x2a2y2b21 过 A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆
2、C 的方程及离心率；(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值例题 2、已知圆锥曲线221xymn 过点 1,2A，且过抛物线28xy的焦点 B（1）求该圆锥曲线的标准方程；（2）设点 P 在该圆锥曲线上，点 D 的坐标为,0m，点 E 的坐标为0,n，直线 PD与 y轴交于点 M，直线 PE 与 x 轴交于点 N，求证：DNEM为定值例题 3已知椭圆2211xymm：，过点(1,0)D 的直线:(1)l yk x与椭圆交于 MN、两点（M 点在 N 点的右侧），与 y 轴交于点 E；（
3、1）当1m 且1k 时，求点 MN、的坐标；（2）当2m 时，设,EMDM ENDN，求证：为定值，并求出该值.1已知双曲线222:1(0)yH xbb，经过点(2,0)D的直线l 与该双曲线交于 MN、两点.（1）若l 与 x 轴垂直，且|6MN，求b 的值；（2）若2b，且 MN、的横坐标之和为 4，证明：90MON.（3）设直线l 与 y 轴交于点,E EMMD ENND，求证：为定值.2已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为22，点 A 为其左顶点，点 D 的坐标为1,0，过点 D 作直线l 与椭圆交于 E，F 两点，当 EF 垂直于 x 轴时，6EF（1）求该椭圆的方程；（2
4、）设直线 AE，AF 分别交直线3x 于点 M，N，线段 MN 的中点为Q，设直线l 与QD的斜率分别为k，k，且0k，求证：k k为定值3已知抛物线 E：24yx的焦点为 F，圆C：222240 xyaxa.直线l 与抛物线 E 交于点 A、B 两点，与圆C 切于点 P.（1）当切点 P 的坐标为 4855，时，求直线l 及圆C 的方程；（2）当2a 时，证明：|FAFBAB是定值，并求出该定值.4圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦.若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦.已知点00(,)P xy、(,)M m n 是圆锥曲线 C 上不与顶点重合的任意两点，MN 是
5、垂直于 x 轴的一条垂轴弦，直线 MPNP、分别交 x 轴于点(,0)EE x和点(,0)FF x.（1）试用00,xy m n 的代数式分别表示Ex 和Fx；（2）若 C 的方程为（如图），求证：EFxx是与 MN 和点 P 位置无关的定值；（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线 C，试探究Ex 和Fx 经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与 MN 和点 P 位置无关的定值，写出你的研究结论并证明.（说明：对于第 3 题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分）5已知1,0M，1,0N，2 2MR，12OQONOR，MPMR，0QP NR，记动点 P 的轨迹为C.(1
6、)求曲线C 的轨迹方程.(2)若斜率为22的直线l 与曲线C 交于不同的两点 A、B，l 与 x 轴相交于 D 点，则22DADB是否为定值？若为定值，则求出该定值；若不为定值，请说明理由.6平面内有两定点 0,1A,0,1B,曲线C 上任意一点,M x y 都满足直线 AM 与直线 BM的斜率之积为12，过点1,0F的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与 y 轴交于点 P,直线 AC 与BD交于点Q.（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）当点 P 异于,A B 两点时，求证：OP OQ 为定值.例题 1【详解】(1)由题意得 a2，b1，椭圆 C 的方程为x24y21.又 c a2b2 3，离
7、心率 eca 32.(2)证明：设 P(x0，y0)(x00，y00)，则 x204y204.又 A(2,0)，B(0,1)，直线 PA 的方程为 y y0 x02(x2)令 x0，得 yM 2y0 x02，从而|BM|1yM1 2y0 x02.直线 PB 的方程为 yy01x0 x1.令 y0，得 xN x0y01，从而|AN|2xN2 x0y01.四边形 ABNM 的面积 S12|AN|BM|122 x0y01 1 2y0 x02x204y204x0y04x08y04x0y0 x02y02x0y02x04y04x0y0 x02y02 2.从而四边形 ABNM 的面积为定值.例题 2【答案】
8、（1）22142yx；（2）证明见解析【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，再代入解析式中求出方程即可得解；（2）由（1）问可知该圆锥曲线为椭圆，且 2,0D，0,2E，设椭圆上一点 00,P xy，表示出直线 PD，直线 PE，得到0022Myyx，0022Nxxy；所以0000222222DNEMxyyx计算可得；【详解】解：（1）抛物线28xy的焦点 0,2B，将点 1,2A，0,2B代入方程得121041mnmn，解得24mn，所以圆锥曲线的标准方程为22142yx（2）由（1）问可知该圆锥曲线为椭圆，且 2,0D，0,2E，设椭圆上一点 00,P xy，则直线 PD：0022yyx
9、x，令0 x，得0022Myyx00222yEMx，直线 PE：0022yyxx，令0y，得0022Nxxy00222xDNy所以0000222222DNEMxyyx00000022 2222 2222yxxyyx00000022 2222 2222yxxyyx2200000000002244 22 24222 2yxyxx yx yxy因为点 P 在椭圆上，所以2200142yx，即220024yx，代入上式得000000002 444 22 24222 2yxx yx yxDMyNE00000000244 22 28222 2yxx yx yxy4 2故 DNEM为定值例题 3【答案】（1
10、）41(0,1),(,)33MN（2）证明见详解；定值为3【分析】（1）根据条件，联立直线和椭圆方程，解方程组即可求得交点坐标；（2）联立直线与椭圆方程，将的结果用韦达定理进行处理，即可得到结果.【详解】（1）当1m 且1k 时，联立直线1yx 与椭圆方程2212xy可得2340 xx，因为 M 点在 N 点的右侧，故解得40,3MNxx 代入直线方程可得11,3MNyy 故,M N 两点的坐标分别为410,1,33MN.（2）当2m 时，椭圆方程为22132xy联立直线方程1yk x，可得2222236360kxk xk设1122,M x yN xy则22121222636,2323kkxx
11、x xkk 对直线方程1yk x，令0 x，解得 yk故点 E 的坐标为0,k.因为,EMDM ENDN即可得1111,1,x ykxy，2222,1,xykxy则1212,11xxxx1212121212122111xxx xxxxxx xxx2222222222366122 232323343661232323kkkkkkkkkk，故为定值，定值是 3.跟踪训练 1【答案】（1）3b（2）证明见解析；（3）证明见解析；【分析】（1）把2x 代入双曲线方程求得,M N 坐标，由6MN 可求得b；（2）设1122,M x yN xy，设直线方程为(2)yk x，代入双曲线方程应用韦达定理得12
12、12,xxx x，由124xx 可求得k，再由数量积的坐标运算计算出OM ON可得结论；（3）设方程为(2)yk x，且(0,2)Ek，由,EMMD可用,表示出11,x y，代入双曲线方程得222223240bbkb，同理222223240bbkb.故、是方程222223240b xb xkb的两根.由韦达定理可得结论【详解】（1）:2l x ，2241yb，3yb，(2,3),(2,3),2 363Mb NbMNbb.（2）22:12yH x ，设1122,M x yN xy，显然直线斜率存在，设方程为(2)yk x，并与 H 联立得222224420kxk xk，由124xx 得22441
13、2kkk ，此时126x x .12121212121222224OM ONx xy yx xxxx xxx122(4)40 .（3）有题意可知直线l 斜率必存在，设方程为(2)yk x，且(0,2)Ek.由,EMMD ENND得 11112222,22,22,x ykxyxykxy，所以121x，121ky，又由于点 M 在双曲线 H 上，故22221122221111kyxbb 化简得222223240bbkb，同理222223240bbkb.故、是方程222223240b xb xkb的两根.则222233bb为定值.【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，考查韦达定理的应用在直线与双曲线
14、相交时常常设交点坐标为1122(,),(,)x yx y，由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得出1212,xxx x，然后代入其他条件求解跟踪训练 2【答案】（1）22142xy；（2）证明见详解.【分析】（1）先由题意，得到222ab，点61,2E 在椭圆上，由此可求出22,a b，即可求出椭圆方程；（2）设11,E x y，22,F xy，直线l 的方程为1yk x，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得到212221224122412kxxkkx xk，由题中条件，求出Q 点坐标，表示出直线QD 的斜率，化简整理，即可得出结果.【详解】（1）因为椭圆22221(0)xyaba
15、b的离心率为22，即22cea，所以22212aba，即222ab，因此椭圆方程可化为222212xybb；又由题意可知：点61,2E 在椭圆222212xybb，所以2213122bb，解得22b，所以2224ab；因此椭圆方程为22142xy；（2）设11,E x y，22,F xy，直线l 的方程为1yk x，由221142yk xxy 消去 y，整理得：22221 24240kxk xk，所以212221224122412kxxkkx xk，又2,0A，所以直线 AE 的方程为：1122yyxx，其与直线3x 的交点为1153,2yMx；同理2253,2yNx，所以 MN 的中点为12
16、1255223,2yyxxQ，因此QD 的斜率为121212211552222523 142yyxxyxyxkx 12211212125422k xxk xxxx12121212245424x xxxkx xxx222222222222222484484481212248248484555125444 18426112kkkkkkkkkkkkkkkkkkk-+-+-+-=?-+，因此56k k，即 k k为定值【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆中的定值问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型，计算量较大.跟踪训练 3 【答案】（1）圆C：224960525xy
17、x，直线l：1520440 xy（或31145yx）；或圆C：2240 xyx，直线l：3440 xy（或314yx）.（2）定值为2.【解析】试题分析:（1）将 P 代入圆方程，即可求得a 的值，根据圆的方程求得圆心，再根据直线的斜率公式求得CP 的斜率k，则直线l 的方程斜率为1k，利用直线的点斜式方程，即可求得l 的方程；（2）将当l 垂直与 x 轴时，求得 A 和 B 点坐标，利用两点之间的斜率公式，即可求得FAFBAB的值；当l 不垂直于 x 轴时，由直线l 与圆C 相切，求得244kbb，将直线l 代入抛物线方程利用韦达定理及弦长公式求得|AB，利用抛物线的定义，12FAFBxxp
18、，即可求得 FAFBAB是定值试题解析:（1）把点 P 代入圆C 的方程可得：2224842?40555aa25a 或2a.（i）当25a 时，圆22416:055C xyx.圆心2,05C ，804524355CPk，34lk ，l 的方程为：834545yx ，化简得：1520440 xy.（ii）当2a 时，圆22:40C xyx，圆心2,0C，80454325CPk，34lk，l 的方程为：834545yx，化简得：3440 xy.综上所述，圆22416:055C xyx，直线:1520440lxy（或31145yx）；或圆22:40C xyx，直线:3440lxy（或314yx）.（
19、2）2a 时，由（1）知，圆22:40C xyx.（i）当l 垂直于 x 轴时，:4l x，4,4A，4,4B，5FAFB，8AB.2FAFBAB.（ii）当直线l 不垂直于 x 轴时，设直线:0l ykxb k.直线l 与圆C 相切.22202441kbkbbk,0b,1kb .联立直线l 与抛物线C，得24 yxykxb222240k xkbxb.222244kbk b 21616164 4kbkbkbb 240b.又12224kbxxk，2122bx xk，22121214ABkxxx x222222414kbbkkk2216161kbkk22241bkk22224 bk bk2224
20、44kbk bk242kbk.由抛物线的性质可知，12FAFBxxp122xx，2242kbAFBFk，2FAFBAB.综上所述，FAFBAB是定值，且该定值为 2.跟踪训练 4【答案】解:（1）000Emynxxyn,000Fmynxxyn;（2）证明见解析；（3）见解析.【分析】（1）先求直线的斜率，利用点斜式表示出直线方程，求出Ex 和Fx；（2）先求解EFxx的表达式，结合点在椭圆上，消减变量可得定值；（3）类比（2）可以探究积为定值，也可以探究差为定值.【详解】（1）因为 MN 是垂直于 x 轴的一条垂轴弦，所以(,)N mn则00:()MPynlynxmxm令0,y 则000Emy
21、nxxyn同理可得：000Fmynxxyn，（2）由（1）可知：222200220EFm yn xxxyn,M P 在椭圆 C：22221xyab 上，2222220022(1),(1)xmnbybaa，则222222022202220222222200222(1)(1)()()(1)(1)EFxmm bbxb mxaaxxaxbmmxbbaaa（定值）EFxx是与 MN 和点 P 位置无关的定值.（3）第一层次：点 P 是圆 C：222xyR上不与坐标轴重合的任意一点，MN 是垂直于 x 轴的垂轴弦，直线 MPNP、分别交 x 轴于点(,0)EE x和点(,0)FF x，则2EFxxR.证明
22、如下：由（1）知：222200220EFm yn xxxyn,M P 在圆 C：222xyR上，22222200,nRmyRx，则222222222200022222200()()()()()()EFmRxRmxR mxxxRRxRmmxEFxx是与 MN 和点 P 位置无关的定值点 P 是双曲线 C：22221(0,0)xyabab上不与顶点重合的任意一点，MN 是垂直于 x 轴的垂轴弦，直线 MPNP、分别交 x 轴于点(,0)EE x和点(,0)FF x，则2EFxxa.证明如下：由（1）知：222200220EFm yn xxxyn,M P 在双曲线 C：22221xyab 上，222
23、2220022(1),(1)xmnbybaa，则222222022202220222222200222(1)(1)()()(1)(1)EFxmm bbxbxmaaxxaxbmxmbbaaaEFxx是与 MN 和点 P 位置无关的定值第二层次：点 P 是抛物线 C：22(0)ypx p上不与顶点重合的任意一点，MN 是垂直于 x 轴的垂轴弦，直线 MPNP、分别交 x 轴于点(,0)EE x和点(,0)FF x，则0EFxx.证明如下：由（1）知：22002202()EFmyn xxxyn，,M P 在抛物线 C：22(0)ypx p上，22002,2ypx npm则2200002222002(
24、)2(22)0EFmyn xm pxpmxxxynynEFxx是与 MN 和点 P 位置无关的定值.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线中定值问题探究，立意比较新颖，侧重考查数学运算的核心素养.跟踪训练 5 【答案】(1)2212xy；(2)答案见解析.【解析】分析：(1)根据向量几何意义得 P 点为线段 NR 的垂直平分线与直线 MR 的交点，即得2 2PMPNMR，再根据椭圆定义得曲线C 的轨迹方程.(2)设 11,A x y，22,B xy，,0D m，化简22DADB得2212121232222xxx xm xxm，再联立侄媳妇与椭圆方程，利用韦达定理代入化简即得定值
25、.详解：（1）由12OQON OR可知，Q 为线段 NR 的中点.由 MPMR可知，P 点在直线 MR 上.由0QP NR 可知，QPNR.所以 P 点为线段 NR 的垂直平分线与直线MR 的交点，所以PNPR，所以2 2PMPNMR，所以动点 P 的轨迹为以 M、N 为焦点，长轴长为 2 2 的椭圆，即2a，1c ，所以1b .所以曲线C 的轨迹方程为2212xy.（2）设 11,A x y，22,B xy，,0D m，则直线l 的方程为22yxm，将22yx m代入2212xy 得222220 xmxm.2224821640mmm ，所以 22m.则12xxm，21222mx x.所以22
26、22221122DADBxmyxmy22221212333222xmxmxmxm22212123222 xxm xxm222121232222xxx xmm223232 mm故22DADB是定值 3.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.跟踪训练 6【答案】（1）221(0)2xyx（2）证明见解析【分析】（1）根据题意得到1112AMBMyykkxx，化
27、简得到答案.（2）设直线l 的方程为1yk x，则0,OPk，联立方程根据韦达定理得到212221224122212kxxkkxxk将韦达定理代入1111ykyk 计算得到答案.【详解】（1）由已知可得1112AMBMyykkxx，化简得22210 xy，即曲线C 的轨迹方程为：221(0)2xyx.（2）由已知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为1yk x（0k，且1k ，且1k ），所以 P 点的坐标为0,k，即0,OPk，设11,C x y，22,D xy，则22(1)12yk xxy，联立削去 y 得，22221 24220kxk xk，所以212221224122212kxxk
28、kxxk，122212221212kyykkyyk直线 AC 的方程为1111yyxx，直线 BD的方程为2211yyxx 将两方程联立消去 x 得21121111xyyyxy，解得21121212111111xyyxyyxyxy由题意可知 22221112ADBDyykkxx，所以 2222211yxyx，所以，21121212111111xyyxyyxyxy12121212121211yyyyxxx x12121221yyyyx x将韦达定理代入得1111ykyk ，解得1yk，所以Q 点的坐标为01,xk，所以01(0,),1OP OQkxk，OP OQ为定值.【点睛】本题考查了轨迹方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
