1、1山东省2023-2024高三上学期适应性联考(一)数学试题本试卷共 3 页，22 题.全卷满分 150 分.考试时间 120 分钟.注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答，用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的
2、四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合3,2,1,0,1,2,3 M，ln1Nxx，则 MN（）A.2,1,0,1 2，B.0,1,2C.1 2，D.22若0a，则“22ab”是“ab”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3.阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对棱剖开得一四棱锥和一三棱锥，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑。（注：图 4 由左依次是堑堵、阳马、鳖臑）上图中长方体为正方体，由该正方体得图 4 中阳马和鳖
3、臑，已知鳖臑的外接球的体积为4 3，则鳖臑体积为（）A.23B.43C.2D.834.已知1sin()63，则sin(2)6 （）A.29B.29C.79D.795.已知 ABC，点 D 在线段 BC 上（不包括端点），向量ADxAByAC，12xy 的最小值为（）A.2 2B.2 22C.2 23D.2 326.设函数 12log()afxxx 在区间1,上单调递减，则 a 的取值范围是（）A.,1B.01，C.11，D.1,7.设0,0 xy，222222 2xxyymxy，则 m 有（）A.最小值 3B.最大值3C.最小值 322 D.最大值 322 8.已知131sin,ln,223a
4、bc，则（）A.abcB.bcaC.bacD.cab二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.设等差数列 na的前 n 项和为ns，公差为d，10a，670aa，670aa，下列结论正确2的是（）A.0dB.当0ns时，n 的最大值为 13C.数列 nsn为等差数列，且和数列 na的首项、公差均相同D.数列 nsn前 n 项和为nT，12T最大10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。某摩天轮最高点距离地面高度
5、为 60 米，转盘直径为 50 米，设置有 24 个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的座舱标为 0 号，距地面最远的座舱为 12 号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐 2 号舱位，乙坐 6 号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，开启后的第 8 分钟游客这一时刻，甲和乙首次距离地面高度相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为 H 米，A.H 关于 t 的函数解析式为 H25sin()35126tB.开启后第 20 分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同C.开启后第 10 分钟游客乙距离地面 47.5 米D.开启后第 10 分钟至第 18 分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）11.已
6、知函数2()()xf xxaxb e，下列结论正确的是（）A.若函数()f x 无极值点，则()f x 没有零点B.若函数()f x 无零点，则()f x 没有极值点C.若函数()f x 恰有一个零点，则()f x 可能恰有一个极值点D.若函数()f x 有二个零点，则()f x 一定有二个极值点12.直四棱柱1111ABCDA B C D，所有棱长都相等，且60DAB，M 为1BB 的中点，P 为四边形11BB C C 内一点（包括边界），下列结论正确的是（）A.平面1D AM 截四棱柱1111ABCDA B C D 的截面为直角梯形B.11面CBD AMC.平面11BB C C 内存在点
7、P，使得DPAMD.111:2:3AAD MCAD MVV三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知 a，b 为非零向量，且1aab，向量 a 在向量ab 上的投影向量为 12（）ab，则 2 ab的模为_14.对于数列 na,由1nnnbaa作通项得到的数列 nb,称 nb为数列 na的差分数列，已知数列 nb为数列 na的差分数列，且 nb是以 1 为首项以 2 为公差的等差数列，则105aa_15.已知矩形 ABCD，1AB，2BC，E 是边 BC 的中点AE 和 BD 交于点 M，将ABE 沿 AE 折起，在翻折过程中当 AB 与 MD 垂直时异面直线 BA
8、和 CD 所成角的余弦值为_16.已知函数()f x 及其导函数()fx 的定义域均为 R，记()()g xfx，若1 24fxx 为偶函数，(2)(1)()g xg xg x，且1()02g，则5()(4)2 gg_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10 分）如图等腰直角PQR 的三个顶点分别在等腰直角 ABC的三条边上，角 PRQ 和角C 为直角，1BC，设PRx，PRC（1）求 RB 的长（用 x，表示）（2）求PQR 面积的最小值318.（12 分）记 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cossin11 cos
9、i2s n 2BBCC（1）求角 A 和角C 之间的等式关系（2）若cos0C，BD 为角CBA 的角平分线，且2BD，ABC的面积为 2 33，求c 的长19.（12 分）已知函数 ln2f xxmx（1）求 f x 的极值（2）若 f x 在区间21,ee有 2 个零点，求m 的取值范围20.（12 分）如图，三棱台DEFABC 中，面 ADFC 面 DBC，2ACCDDBC 的面积为 1，ADBC 且 AD 与底面 ABC 所成角为60，（1）求 A 到平面 DBC 的距离；（2）求面 ADB 与面CDB 所成角的正弦值21.（12）设数列 na的首项11a，且12,1,.为偶数为奇数
10、nnna naan，数列 na的 n 项和为ns（1）求na（2）求19s22.（12 分）设,a b 为实数，且1a ，函数 2R()xf xaex，直线ybx，（1）若直线ybx 与函数 2R()xf xaex的图像相切，求证：当 a 取不同值时，切点在一条直线上（2）当 ae时，直线ybx 与函数 fx 有两个不同的交点，交点横坐标分别为12,x x，且12xx，求证：122lnxxb 高三数学试题答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C.解析：由ln1x得0 xe，选 C2 B解析：由22ab不能得 ab
11、，由 ab 能得22ab，选 B3.B解析：鳖臑的外接球和正方体的外接球是同一外接球，由鳖臑的外接球的体积为4 3，得外接球的半径为3，正方体的体对角线长度是2 3，正方体的棱长为 2，鳖臑体积为 43，选 B4.D解析：由1sin()63，得7cos(2)39 则sin(2)sin(2)6327cos(2)39，选 D.5.C解析：ABC，点 D 在线段 BC 上（不包括端点），向量ADxAByAC，可得10,0，xyxy，1212)2 23（）(xyxyxy，当且仅当2yx 时成立选 C6.C解析：当0a时，axx在，a单调递增，12log()afxxx 单调递减，题目要求 f x 在区间
12、1,上单调递减，所以需满足1a，当0a满足题意，当0a时，axx在0，单调递增，需满足真数0axx，则1a，综上 11 a.选 C7.B解析：0,0 xy，222222222222 2223xxyyxyxymxyxy，当且仅当2xy时成立选 B8.A解析：先证 n(111l1)xx，设1()ln(1)1 1 fxxx，求导可得2()(1)xfxx，()(0)0f xf所以 n(111l1)xx，当0 x时取等号，得31ln 23，再证设(0,1)x时，sinln(1)xx成立，设()sinln(1)g xxx，当(0,1)x时，211(1)(2)()cos101212(1)xx xxg xxx
13、xx，其中2cos12 xx需证，因为(0)0g，所sinln(1)xx，所以13sinln22，选 A二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.AD解析：（1）0d，显然 A 正确（2）由题意得，60a，70a，113137()131302aasa，B 错（3）数列 nsn为等差数列，且和数列 na的首项相同、公差为 2dC 错（4）由题意得，60a，70a，670aa得1111150,60,02adadad，令nnsbn，1(1)2ndban，12130,0bb，D 对1
14、0.BCD 解析：（1）H 关于 t 的函数解析式为 H25sin()35123t，A 错（2）摩天轮速旋一周需 24 分钟，第二次高度相同，8+12=20B 对（3）游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度为 Y25sin()3512t米，C 对（4）H 关于 t 的函数解析式为 H25sin()35123t与 Y25sin()3512t，两个图像递减区间的交集为 1018.D 对11.AD解析：函数2()()xf xxaxb e 的图像可以为如下 4 种图像：12.ABD解析：（1）取11B C 的中点为 N，1 ADMN，1AMND 为截面，1D N 垂直面11BB C C，1D NMNA
15、 对（2）11D NCB，1MNCB，B 对（3）DP 在面11AA B B 的射影不可能与 AM 垂直，C 错（4）111:2:1AAD MB AD MVV，11:3:1CAD MB AD MVV，D 对三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.3解析：a，b 为非零向量，由1aab得2cos0b，由1cos2，a ab，得1cos2 b，1b，1cos2 ，可求 2 ab 的模为 314.65解析：由题意得121nnnbaan，累加得21(1)naan，则105aa6515.23解析：矩形 ABCD，1AB，2BC，E 是边 BC 的中点 AE 和 BD 交于点 M，
16、可得AEMD，将沿 AE 折起，在翻折过程中当 AB 与 MD 垂直时可得BMMD，即面ABE 和面 AECD垂直时，利用三余弦定理，异面直线 BA 和 CD 所成角的余弦值为 23 16.6解析：1 24fxx 为偶函数，得1 241 24fxxfxx，两边同时求导得21 2421 24fxfx，即1 21 24fxfx，114fxfx，得()fx 关于(1,2)对称，由(2)(1)()g xg xg x，可得(3)(2)(1)g xg xg x，两式相加得()g x 的周期为 6，()g x 关于(4,2)对称，(4)2g，由1()02g，得5()42 g，所以5()(4)62 gg四、解
17、答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图等腰直角PQR 的三个顶点分别在等腰直角 ABC的三条边上，角 PRQ 和角C 为直角，1BC，设PRx，PRC（1）求 RB 的长（用 x，表示）（2）求PQR 面积的最小值解：（1）由PRx，PRC，得2QRB，4RQB.1 分由正弦定理得 sin()sin44RBx得2 sin()4RBx.3 分（2）cosRCxa，2 sin()cos14RBRCxxa.5 分得1sin2cosxaa.6 分222111111()()22 sin2cos2105sin()PQRSxaaa.9 分当且仅当1tan2a时，
18、PQR 面积的最小值为 110.10 分18.记 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cossin11 cosi2s n 2BBCC（1）求角 A 和角C 之间的等式关系（2）若cos0C，BD 为角CBA 的角平分线，且2BD，ABC的面积为 2 33，求c 的长解：（1）由cossin11 cosi2s n 2BBCC得2cossin122sisincnosBBCCC，sin0C得 cossin1sc sionBBCC，即cossinsincossin BBCCC，.2 分得cossinAC.3 分2CA 或2CA.5 分（2）由（1）2CA 或2CA，因为cos0C，
19、得2CA，22BABD 为角CBA 的角平分线，得3,44BDCBDA.7 分2BD，由正弦定理得,3s22s nsiinin4BABAAAsi22cossn24in()，BCBCAA，.9 分由 ABC的面积为 2 33，得11sin,cos222222 3222 3sincos3sincos3AAABAA.11 分即 tan 23,6AA，得2 2c.12 分19.已知函数 ln2f xxmx（1）求 f x 的极值（2）若 f x 在区间21,ee有 2 个零点，求 m 的取值范围解：（1）因为 ln2f xxmx，定义域为0,，所以 1fxmx，.1 分当0m时，由于 10 x，则 0
20、fx恒成立，所以 f x 在0,上单调递增，f x 无极值.2 分当0m时，令 0fx，解得1xm，当10 xm时，0fx，则 f x 在10,m上单调递增；当1xm时，0fx，则 f x 在1,m上单调递减；.4 分所以当0m时，f x 在1xm处取极大值1 lnm；.5 分（2）ln2f xxmx，令ln20 xmx，得 ln2xmx，令ln2()xg xx，f x 在区间21,ee有 2 个零点，即ym与()yg x 在区间21,ee有 2 个交点，.6 分ln2()xg xx，21 ln()xg xx，21 ln()0 xg xx，1xe当1(0,)xe，()0g x，()g x 单增
21、，当1(,)xe，()0g x，()g x 单减，.9 分当 x，()0g x单调递减，.10 分21()0g e，()yg x 的最大值为1()gee，3()g ee，.11 分ym与()yg x 在区间21,ee有 2 个交点，则 3 mee。.12 分20.如图，三棱台DEFABC 中，面 ADFC 面 DBC，2ACCDDBC 的面积为 1，ADBC且 AD 与底面 ABC 所成角为60，（1）求 A 到平面 DBC 的距离；（2）求面 ADB 与面CDB 所成角的正弦值解：（1）2ACCD，作AHDC 交 DC 于 H，平面 ADFC 平面 BDC，而平面 ADFC 平面BDCDC，
22、AH平面 ADFC，AH平面 BDC，.2 分而 BC 平面 BDC，即有AHBC，ADBC，ADAHA，BC平面 ADFC，平面ABC平面 ADFC，.4 分作DMAC 交 AC 于 M，DM平面 ABC，60DAC，DAC 为等边三角形，M 为中点，A 到平面 DBC 的距离为 AH 等于 3。.6 分(2)由DBC 的面积为 1，得1BC，以 M 为坐标原点，取 AB 中点为 N，,MN MC MD 所在直线为,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,1,0)(0,1,0)(1,1,0)(0,0,3)，ACBD，(1,2,0)AB，(0,1,3)AD，(1,0,0)CB，(0,1,3)
23、CD.8 分设平面 ABD 的法向量(,)nx y z，则2030 n ABxyn AzDy，令32 3，z=1 yx，(2 3,31)，n，设平面 BCD的法向量(,)ma b c，则030 mam CDbcCB，令31，bc0a，得(0,3,1)m，.10 分1cos,4 n mn mn m，.11 分所以面 ADB 与面CDB 所成二面角的正弦值为154.12 分21.设数列 na的首项11a，且12,1,.为偶数为奇数 nnna naan，数列 na的 n 项和为ns（1）求na（2)求19s解（1）若 n 为偶数，则11122122（）nnnnaaaa，即212122nnaa，所以2
24、12122（+2）nnaa，于是121122 2 nnaa故12123 2 nna.3 分若 n 为奇数，则11121 nnnaaa，即22221nnaa，所以222211nnaa于是122112 nnaa，123 21 nna.6 分1212,3.222,13,为偶数为奇数 nnnnan；.8 分（2）191234192020()()()saaaaaaa，因为11,为奇数 nnaan，所以1913519202)10（saaaaa.10 分991926 123 2)40(3 21)10（3 s，9199 235 s.12 分22.设 a，b 为实数，且1a ，函数 2R()xf xaex，直线
25、ybx，（1）若直线ybx 与函数 2R()xf xaex的图像相切时，求证：切点在一条直线上（2）当 ae时，直线ybx 与函数 fx 有两个不同的交点，交点横坐标分别为12,x x，且12xx，求证122lnxxb解：（1）设切点横坐标为0 x，可得00lnxfxaa，020 xaekx，.1 分得0020lnxxaeaax，即0020 lnxxxaaae，化简得020 ln1（）xxaae，0 ln20 ln1（）exaxae，.2 分令0 lntxa，得2(1)ttee，记2()(1),()tth te te h te t，.3 分所以(,0)t时()h t 单减，且()0h t时，当
26、(0,)t，()h t 单增，(2)0h，所以2t，0 ln2xa，02lnxa，.4 分222ln02af xaee，所以切点在直线22ye 上.5 分（2）当 ae时，由（1）得切线的斜率为2e，直线ybx 与函数 fx 有两个不同的交点，得2be，即20 xebxe有 2 个不同的解120 xx，由题意得121xeebx，222xeebx，做差得1221()xxeeb xx，即1221xxeebxx，欲证122lnxxb，即证122xxbe，即证12xxeb，即211221xxxxeexxe令212,1xxt ete，即证2212 11lnlnttttt t即.7 分下面先证明2212 11lnlnttttt t，令121mtt，即证1lnmmm，即1lnmmm，.8 分先证 11()ln2mmm，令11()()ln2mmmm，2211()2（）mmm，()m 单调递增得，因为1m，所以()0m，证得 11()ln2mmm成立，.10 分用m 替换 m，可得1lnmmm成立，.11 分所以2212 11lnlnttttt t，即112221xxxxebexxe成立，得122lnxxb.12 分
