1、第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不 等 式 1.不等式的基本性质【自主预习】1.两个实数a,b的大小关系 a-b0 a-b=0 a-bb_.(2)传递性:ab,bc_.(3)可加性:_a+cb+c.bc ab(4)可乘性:如果ab,c0,那么_;如果ab,cb0,那么an_bn(nN,n2).(6)开方:如果ab0,那么 _ (nN,n2).acbc ac n an b【即时小测】1.若ab0,则下列结论不正确的是()A.a2b2 B.aba2 【解析】选A.因为ab0,所以0-b2x(xR).(2)a5+b5a3b2+a2b3(a,bR).(3)a2+b22(a-b-1).其中正确的个数(
2、)A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.因为x2+3-2x=(x-1)2+20,所以(1)正确;a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a2-b2)(a3-b3)=(a-b)2(a+b)(a2-ab+b2)正负不确定,所以(2)不正确;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)20.所以(3)正确.【知识探究】探究点 不等式的基本性质 1.若ab,cd,那么a-cb-d吗?提示:不一定成立,同向不等式具有可加性,但不具有可减性.如21,51,但2-51-1不成立.2.若ab,cd,一定有acbd吗?提示:不一定,如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立.【归纳总结】1
3、.符号“”和“”的含义“”与“”,即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不同性质的条件.2.性质(3)的作用 它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.即a+bcac-b.性质(3)是可逆的,即aba+cb+c.3.不等式的单向性和双向性 性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆的.4.注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的正负,乘方、开方性质中的“正数”及“nN,且n2”都需要注意.类型一 作差法比较大小【典例】设mn,x=m
4、4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小.【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什么?提示:常用作差比较法.【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)=(m-n)m3-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2)222n3mn(m)n,24又mn,所以(m-n)20,因为 所以x-y0,故xy.22n3(m)n 0,24【方法技巧】作差比较法的四个步骤【变式训练】1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是_.【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-
5、1)2+110,所以f(x)g(x).答案:f(x)g(x)2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小关系.【解析】x3+y3-x2y-xy2=x2(x-y)-y2(x-y)=(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),因为x0,y0,所以(x-y)2(x+y)0,所以x3+y3x2y+xy2.类型二 不等式性质的简单应用【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由.(1)ab0,则 (2)cab0,则 (3)若 ,则adbc.(4)设a,b为正实数,若a-b-,则ab0,所以ab两边同乘以 得 得 ,故正确.(2)因为c-a0,c-b0,且c-a0,又ab0,所以 ,正确
6、.1ab11ababab，1a1b11c acbabc acb(3)由 ,所以 0,即adbc且cd0或adbc且cd0,故不正确.abcdabcdadbc0adbc 0adbc0cd0cd 0.cd，即，所以或，(4)因为a-0,b0,所以a2b-bab2-aa2b-ab2-b+a0,ab(a-b)+(a-b)0(a-b)(ab+1)0,所以a-b0,即ab0,cd0,那么 若a,bR,则a2+b2+52(2a-b).ab;dc【解析】因为ab0,cd0,所以 0,故 错误.a2+b2+5-2(2a-b)=a2+b2+5-4a+2b=(a-2)2+(b+1)20,所以正确.答案:abdcab
7、.dc2.若ab0,分别判断下列式子是否成立,并简述理由.11111.2.abaabb【解析】(1)成立.由ab0得aa-b0,所以 则 (2)成立.因为ab0,所以a+bbb0,cd0,求证:【解题探究】证明该不等式成立的关键是什么?提示:证明的关键是由不等式的性质得到a-c与b-d的大小关系.ba.acb d【证明】因为cd-d0,又ab0,所以a-cb-d0,所以0 ,再由0ba,所以 ba.acb d11acb d【延伸探究】1.(改变问法)本题条件不变,证明:33ab.dc【证明】因为cd-d0,所以 又ab0,所以 所以 同乘以-1得 110,cd ab0,dc 3333abab.
8、dcdc 即，33ab.dc2.(变换条件、改变问法)本题中加上条件“e0”,其 他条件不变,证明:【证明】因为cd-d0,又ab0,所以a-cb-d0,所以(a-c)2(b-d)20,所以 又eb0,cd0.求证:【证明】因为ab0,所以0d0,所以00,b0,c0,d0,且 ,求证:【证明】因为a0,b0,c0,d0且 ,所以adbc,所以ad+cdbc+cd,即d(a+c)c(b+d),所以 acbdacc.bddacbdacc.bdd自我纠错 作差法比较大小【典例】设a+b0,n为偶数,的大小关系为_.n 1n 1nnba11abab与【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确
9、答案.提示:n为偶数时,an-bn和an-1-bn-1不一定同号,这里忽略了在题设条件a+b0且没有明确字母的具体值的情况下,要考虑分类讨论,即对a0,b0和a,b有一个负值的情况加以讨论.正确解答过程如下:【解析】(1)当a0,b0时,(an-bn)(an-1-bn-1)0,(ab)n0,nnn 1n 1n 1n 1nnnababba11.abababnnn 1n 1n 1n 1nnnababba110.ababab所以，故(2)当a,b有一个为负数时,不妨设a0,b0,所以a|b|.又n为偶数,所以(an-bn)(an-1-bn-1)0,且(ab)n0,故 即 综合(1)(2)可知,答案:nnn 1n 1nabab0,abn 1n 1nnba11.ababn 1n 1nnba11.ababn 1n 1nnba11abab