1、课时训练 14 数列求和一、分组求和1.若数列an的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+a10=()A.15B.12C.-12D.-15答案:A解析:an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+a10=-1+4-7+10-25+28=(-1+4)+(-7+10)+(-25+28)=35=15.2.已知数列an满足 a1=1,an+1=an+n+2n(nN*),则 an为()A.-+2n-1-1B.-+2n-1C.+2n+1-1D.-+2n+1-1答案:B解析:an+1=an+n+2n,an+1-an=n+2n.an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1
2、)=1+(1+2)+(2+22)+(n-1)+2n-1=1+1+2+3+(n-1)+(2+22+2n-1)=1+-+2n-1.3.(2015 广东湛江高二期末,19)已知数列an为等差数列,a5=5,d=1;数列bn为等比数列,b4=16,q=2.(1)求数列an,bn的通项公式 an,bn;(2)设 cn=an+bn,求数列cn的前 n 项和 Tn.解:(1)数列an为等差数列,a5=5,d=1,a1+4=5,解得 a1=1,an=1+(n-1)1=n.数列bn为等比数列,b4=16,q=2,b123=16,解得 b1=2,bn=22n-1=2n.(2)cn=an+bn=n+2n,Tn=(1
3、+2+3+n)+(2+22+23+2n)=-+2n+1-2.二、裂项相消法求和4.数列an的通项公式 an=,则其前 n 项和 Sn=()A.B.C.D.答案:A解析:an=2(-),Sn=a1+a2+an=2(-)(-)(-)=2(-).5.+-=.答案:解析:-(-),+-(-)=(-).6.(2015 山东省潍坊四县联考,17)等差数列an中,a1=3,其前 n 项和为 Sn.等比数列bn的各项均为正数,b1=1,且 b2+S2=12,a3=b3.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)求数列 的前 n 项和 Tn.解:(1)设数列an的公差为 d,数列bn的公比为 q,由已知可得 又
4、q0,an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.(2)由(1)知数列an中,a1=3,an=3n,Sn=,(-),Tn=(-)=(-).三、错位相减法求和7.数列 ,前 n 项的和为 .答案:4-解析:设 Sn=+,Sn=+,-得(-)Sn=+=2-.Sn=4-.8.(2015 湖北高考,文 19)设等差数列an的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列bn的公比为 q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)当 d1 时,记 cn=,求数列cn的前 n 项和 Tn.解:(1)由题意有,即 解得 或 故 -或 ()-(2)由 d1,知 a
5、n=2n-1,bn=2n-1,故 cn=-,于是 Tn=1+-,Tn=+-.-可得 Tn=2+-=3-,故 Tn=6-.(建议用时:30 分钟)1.数列an的通项公式是 an=,若前 n 项和为 10,则项数为()A.11B.99C.120D.121答案:C解析:an=,Sn=a1+a2+an=(-1)+()+()=-1,令 -1=10,得 n=120.2.已知数列an的通项公式 an=-,其前 n 项和 Sn=,则项数 n 等于()A.13B.10C.9D.6答案:D解析:an=-=1-().Sn=n-(-)-=n-1+=5+,n=6.3.数列an的通项公式 an=ncos ,其前 n 项和
6、为 Sn,则 S2 012等于()A.1 006B.2 012C.503D.0答案:A解析:函数 y=cos 的周期 T=4,可分四组求和:a1+a5+a2 009=0,a2+a6+a2 010=-2-6-2 010=-=-5031 006,a3+a7+a2 011=0,a4+a8+a2 012=4+8+2 012=5031 008.故 S2 012=0-5031 006+0+5031 008=503(-1 006+1 008)=1 006.4.已知等比数列an的前 n 项和 Sn=2n-1,则 +等于()A.(2n-1)2B.(2n-1)C.4n-1D.(4n-1)答案:D解析:根据前 n
7、项和 Sn=2n-1,可求出 an=2n-1,由等比数列的性质可得 仍为等比数列,且首项为 ,公比为 q2,+=1+22+24+22n-2=(4n-1).5.已知数列an:,那么数列bn=前 n 项的和为()A.4(-)B.4(-)C.1-D.答案:A解析:an=,bn=4(-).Sn=4(-)=4(-).6.如果 lg x+lg x2+lg x10=110,那么 lg x+lg2x+lg10 x=.答案:2 046解析:由已知(1+2+10)lg x=110,55lg x=110.lg x=2.lg x+lg2x+lg10 x=2+22+210=211-2=2 046.7.已知等比数列an中
8、,a1=3,a4=81.若数列bn满足 bn=log3an,则数列 的前 2 013 项的和为 .答案:解析:=q3=27,q=3.an=a1qn-1=33n-1=3n.bn=log3an=n.,数列 的前 2 013 项的和为:(-)(-)+(-)=1-.8.已知等比数列an的各项都为正数,且当 n3 时,a4a2n-4=102n,则数列 lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,2n-1lg an的前 n 项和 Sn等于 .答案:1+(n-1)2n解析:an是等比数列,a4a2n-4=102n.an=10n,2n-1lg an=n2n-1.利用错位相减法求得 Sn=1+(n
9、-1)2n.9.正项数列an满足:-(2n-1)an-2n=0.(1)求数列an的通项公式 an;(2)令 bn=,求数列bn的前 n 项和 Tn.解:(1)由 -(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.由于an是正项数列,所以 an=2n.(2)由 an=2n,bn=,则 bn=(-),Tn=(-+-)(-).10.已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2+n,nN*,数列bn满足 an=4log2bn+3,nN*.(1)求 an,bn;(2)求数列anbn的前 n 项和 Tn.解:(1)由 Sn=2n2+n,得当 n=1 时,a1=S1=3;当 n2 时,an=Sn-Sn-1=4n-1.当 n=1 时,41-1=3.所以 an=4n-1,nN*.由 4n-1=an=4log2bn+3,得 bn=2n-1,nN*.(2)由(1)知 anbn=(4n-1)2n-1,nN*.所以 Tn=3+72+1122+(4n-1)2n-1,2Tn=32+722+(4n-5)2n-1+(4n-1)2n,所以 2Tn-Tn=(4n-1)2n-3+4(2+22+2n-1)=(4n-5)2n+5.故 Tn=(4n-5)2n+5,nN*.