1、邯郸市第二中学高二年级（2016级）期中考试数学试卷一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1. 已知集合，集合，则（ ）A. 3，+） B. （3，+）C. （-，-13，+） D. （-，-1）（3，+）【答案】A【解析】由，得：，则3，+），故选A.2. 已知等差数列中，则（ ）A. 20 B. 30 C. 40 D. 50【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由题意可得：，即，故，故选A.3. 在中，若，则此三角形为（ ）A. 等边三角形 B. 等腰三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】在中，由以及正弦定理可知，即，所以三角形为直角三角形，故选C.4. 已知
2、命题，命题，则命题是命题的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由，得或，命题，解得，由于成立，不成立，即命题是命题的充分不必要条件，故选A.5. 在公差不为零的等差数列中，数列是等比数列，且，则（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C【解析】数列为等差数列，数列是等比数列，故，故选C.6. 下列函数中，最小值为4的是（ ）A. B. C. （） D. 【答案】B【解析】时，不满足题意； B.由于，由均值不等式可得，当且仅当时取等号，故其最小值为4，满足题意；C.令，则，因此函数单调递减，不满足题意；D.当时，
3、不满足题意；故选B.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件7. 等差数列的前n项和为Sn，若S5=5，那么的最小值为（ ）A. 4 B. 2 C. 2 D. 【答案】A【解析】由等差数列的前项和公式，即，由，当且仅当，即，取“”，的最小值4，故选A.8. 已知实数满足若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）A. a|-1a1 B.
4、 a|a-1C. a|a-1或a1 D. a|a1【答案】A【解析】由得，直线是斜率为，轴上的截距为的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则，的最大值为，最小值为，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若，则，此时经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若，则目标函数斜率，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足，即，可得，若，则目标函数斜率，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得，综上可得，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定
5、要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9. 若，则下列不等式：|a|b|；a2b2中，正确的有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】对于，根据不等式的性质，可知若，则，故正确，对于若，两边同除以，则，即，故正确，对于若，则，根据基本不等式即可得到；故正确，对于若，则，故不正确，故选C.10. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】，由正弦定理可得，或
6、，的面积为，的面积为，故选C.11. 定义为个正数P1，P2Pn的“均倒数”，若已知正整数数列an的前n项的“均倒数”为，又bn=，则+=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意得的前项和，,故选C.考点：与的关系；裂项相消数列求和.【易错点睛】本题主要考查了的关系；裂项相消数列求和等知识.用裂项相消法求和应注意的问题:利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等本题难度中等.12. 给出下列命题： 命题“若，则方程（）无实根”
7、的否命题；命题“在中，那么为等边三角形”的逆命题；命题“若，则”的逆否命题；“若，则的解集为”的逆命题 其中真命题的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】命题“若，则方程（）无实根”的否命题是“若，则方程（）有实根”，是正确的；命题“中，那么为等边三角形”的逆命题是“是等边三角形，则”，是正确的；命题“若，则0”是正确的，它的逆否命题也是正确的；命题“若，则的解集为”的逆命题是“若的解集为，则，不等式的解集为时，的解集为，逆命题是错误的；正确命题有；故选A.二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13. 若实数满足，则的最大值是_【答案】【解析】 ，即 ，所以的最大值是-2，
8、故填：-2.14. 如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30，则水塔的高度为_米【答案】【解析】设，则，则，故答案为.15. 若变量满足约束条件，则的最大值为_【答案】6【解析】做出如图所示可行域，由，可看作与间连线的斜率，由题时斜率最大故本题填点睛：本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法:利用截距的几何意义;利用斜率的几何意义;利用距离的几何意义.往往是根据题中给出的不等式,求出的可行域,利用的条件约束,做出图形.数形结合求得目标函数的最值. 16. 设Sn为数列an的前项和，已知，对任意，都有，则（）的最小值为_【
9、答案】 点睛：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；利用递推式可得数列为等差数列，根据等差数列的前项和公式可得的表达式，利用导数判断函数的单调性，一定要注意函数的定义域为正整数.三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17. 已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列 （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和【答案】（1）；（2）试题解析：（1）由题意可得，即，解得：，数列的通项公式为（2），=18. 在中，已知三内角A，B，C成等差数列，且 （1）求及角的值； （2）设角所对的边分别为a，b，c，且，求的
10、值【答案】（1）；（2）8【解析】试题分析：（1）根据等差数列的性质可得，再根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出；（2）根据正弦定理求出，再根据余弦定理求出.试题解析：（1）成等差数列，又，则B=，sin（+A）=，cosA=，sinA=，tanA=；（2）由正弦定理可得=，b=7，由余弦定理可得，即，解得或，舍去，故19. （1）若，且，求的最小值（2）已知，满足，求的最小值【答案】（1）64；（2）【解析】试题分析：（1）利用基本不等式的性质即可得出；（2）利用“乘1法”即与基本不等式的性质即可得出.试题解析：（1）x0，y0，且+=1：1=+=，可得：，当且仅当8x=2y，即x=4
11、，y=16时取等号 那么：xy64故xy的最小值是64（2）x0，y0，x+2y=1，那么：=（）（x+2y）=1+3+2=3+，当且仅当x=y，即x=，y=时取等号，故的最小值是：3+20. 解关于的不等式 【答案】见解析【解析】试题分析：（1）第一层先讨论，确定二次不等式对应二次函数的开口方向；（2）时要讨论根和的大小关系，结合三个二次的关系得不等式的解集.试题解析：当时，当时，；当时，；当时，；当时，.考点：二次不等式的解法，分类讨论思想.21. 命题不等式的解集是命题：函数在定义域内是增函数，若为假命题，为真命题，求的取值范围【答案】【解析】试题分析：由题意可得p，q真时，a的范围，分
12、别由p真q假，p假q真由集合的运算可得试题解析：命题p：不等式的解集是，解得，命题q：函数在定义域内是增函数，解得由为假命题，为真命题，可知一真一假，当真假时，由，当假真时，由，或，综上可知的取值范围为：，或22. 已知数列的前项和为，数列满足点在直线上.(1)求数列， 的通项，；(2)令，求数列的前项和；(3)若，求对所有的正整数都有成立的的范围【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）通过与作差，进而整理可知数列是首项为、公比为2的等比数列，通过将点代入直线计算可知，进而整理即得结论；（2）利用错位相减法计算即得结论；（3）通过（1）及作差法计算可知数列为单调递减数列，进而问题转化为求的最小值，利用基本不等式计算即得结论.试题解析：(1)解: ，,当时，是首项为，公比为2的等比数列，因此，当时，满足，所以，因为在直线上，所以，而，所以.(2)，因此，-得： ，(3)证明:由(1)知， ，数列为单调递减数列；当时，即最大值为1，由可得，而当时，当且仅当时取等号，.点睛：本题主要考查的是等差数列和等比数列通项公式以及数列的前项和与作差法判断数列的单调性；解题中，在利用的同时一定要注意和两种情况，常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
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