1、课后素养落实(二十七)空间中的角(建议用时：40分钟)一、选择题1已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为()ABCDC建立如图所示空间直角坐标系，令正四棱锥的棱长为2，则A(1，1，0)，D(1，1，0)，S(0，0，)，E，(1，1，)，cos，AE、SD所成的角的余弦值为2如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，ABCD为正方形，且PDAB1，G为ABC的重心，则PG与底面所成角的余弦值为()ABCDB建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，所以G，又因为平面ABC
2、D的一个法向量为n(0，0，1)，则cos，n，所以与平面ABCD的法向量所成角的余弦值为，所以与平面ABCD所成角的余弦值为3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A B C DD以B为原点，直线BC、BA、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(2，2，0)，B1(0，0，1)，C1(2，0，1)设平面BB1D1D的一个法向量n(x，y，z)，则，取n(1，1，0)，直线BC1的方向向量(2，0，1)，直线BC1与平面BB1D1D所成的角为，满足sin 4正方体ABCDA1B1C1D1中，M是DD
3、1的中点，O是底面四边形ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与AM的夹角是()ABCD与点P的位置有关C建立如右图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则M(0，2，1)，O(1，1，0)，设P(x，0，2)，其中0x2，则(0，2，1)，(x1，1，2)由0(x1)2(1)120，得AMOP，直线OP与AM所成的角是5把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角ABDC，若AB1，AD，AC，则平面ABD与平面BCD的夹角为()A30B60C120D90B过A作AEBD，过C作CFBD，则AE，BE，所以EF1，因为，所以|2|2|2|22|cos，cos
4、，平面ABD与平面BCD的夹角是60，故选B二、填空题6已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为_45或135因为cosm，n，所以两平面所成的二面角的大小为45或1357正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角是_30如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设ODSOOAOBOCa，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(a，0，0)，P，则(2a，0，0)，(a，a，0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0，1，1)，设BC与平面PAC的夹角为，则sin |cos，n|，308
5、正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_建立如图所示坐标系，设AB1，则D，A(0，0，0)，F(1，0，0)，B(0，1，0)，所以，(1，1，0)所以异面直线AD与BF所成角的余弦值是三、解答题9如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60(1)证明：平面ABEFEFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值解(1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC(2)过D作DGEF，垂足为
6、G，由(1)知DG平面ABEF以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则|DF|2，|DG|，可得A(1，4，0)，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0，)由已知，ABEF，所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF，由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60，从而可得C(2，0，)所以(1，0，)，(0，4，0)，(3，4，)，(4，0，0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即取z1，则n(，0，1)设m是
7、平面ABCD的法向量，则取z4，则m(0，4)，所以cosn，m故二面角EBCA的余弦值为10如图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值解以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz设D(1，0，0)，则A(2，2，0)，B(0，2，0)又设S(x，y，z)，则x0，y0，z0(1)证明：(x2，y2，z)，(x，y2，z)，(x1，y，z)，由|得，故x1由|1得y2z21，又由|2得x2(y2)2z24，即y2z24y10，故y，z于是S，0，
8、0，故DSAS，DSBS，又ASBSS，所以SD平面SAB(2)设平面SBC的法向量a(m，n，p)，则a，a，a0，a0又，(0，2，0)，故取p2得，a又(2，0，0)，记为AB与平面SBC所成的角，则sin |cos，a|故AB与平面SBC所成的角的正弦值为11在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A60B90C105D75B建立如图所示的空间直角坐标系，设BB11，则A(0，0，1)，B1，C1(0，0)，B，10，即AB1与C1B所成角的大小为9012如图，在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为()ABCD
9、B作AO平面BCD于O，则O是BCD的中心，以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，设AB2，则O(0，0，0)，A，C，E，cos，CE与平面BCD的夹角的正弦值为13(多选题)如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，正确的是()AOABC是正三棱锥B直线OB平面ACDC直线AD与OB所成的角是45D二面角DOBA为45ACD将原图补为正方体不难得出只有B错误，故选ACD14(一题两空)四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB2MA2，则平面PMD与平面ABCD的夹角的余弦值为_，直线
10、MA与平面PMD所成的角的正弦值为_如图建立空间直角坐标系，则D(0，2，0)，M(0，0，1)，P(2，0，2)，(0，2，1)，(2，0，1)，设n1(x，y，z)是平面PMD的一个法向量，则，令z1得n1，易知n2(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量cosn1，n2又(0，0，1)，则直线MA与平面PMD所成的角的正弦值为15如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，若直线AC与平面A1BC所成的角为，二面角A1BCA的平面角为，求证：证明法一：如图所示，在平面A1ABB1中，作ADA1B于D，连接CD，易证AD平面A1BC，所以ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，ABA1是二面角A1BCA的平面角，即ACD，ABA1，在RtADC中，sin ，在RtADB中，sin ，由于ABAC，得sin sin ，易知0，0，所以0，所以与n的夹角为锐角，则与互为余角，所以sin cos ，易知|cos |，又由图可知，为锐角，所以cos ，所以sin ，易知cb，所以，即sin sin ，又0，0，所以
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