1、第 1 讲 直线与圆1(2015安徽)直线 3x4yb 与圆 x2y22x2y10 相切，则 b 的值是()A2 或 12B2 或12C2 或12D2 或 122(2015湖南)若直线 3x4y50 与圆 x2y2r2(r0)相交于 A，B 两点，且AOB120(O为坐标原点)，则 r_.3(2014重庆)已知直线 axy20 与圆心为 C 的圆(x1)2(ya)24 相交于 A，B 两点，且ABC 为等边三角形，则实数 a_.4(2014课标全国)设点 M(x0,1)，若在圆 O：x2y21 上存在点 N，使得OMN45，则x0 的取值范围是_考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的
2、问题.直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.热点一 直线的方程及应用1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距离公式(1)两平行直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 间的距离 d|C1C2|A2B2.(2)点(x0，y0)到直线 l：AxByC
3、0 的距离公式 d|Ax0By0C|A2B2.例 1(1)已知直线 l1：(k3)x(4k)y10 与 l2：2(k3)x2y30 平行，则 k 的值是()A1 或 3B1 或 5C3 或 5D1 或 2(2)已知两点 A(3,2)和 B(1,4)到直线 mxy30 的距离相等，则 m 的值为()A0 或12B.12或6C12或12D0 或12思维升华(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究跟踪演练 1 已知 A(3,1)，B(1,2)两点，若ACB 的平分线方程为 yx1，则 AC 所在的直线方程为()Ay2x4
4、By12x3Cx2y10D3xy10热点二 圆的方程及应用1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中 D2E24F0，表示以(D2，E2)为圆心，D2E24F2为半径的圆例 2(1)若圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为()A(x2)2(y2)23B(x2)2(y 3)23C(x2)2(y2)24D(x2)2(y 3)24(2)已知圆 M 的圆心在 x 轴上，且圆心在直线 l1：x2 的右侧，若圆 M 截直线 l1 所得的弦
5、长为 2 3，且与直线 l2：2x 5y40 相切，则圆 M 的方程为()A(x1)2y24B(x1)2y24Cx2(y1)24Dx2(y1)24思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数跟踪演练 2(1)(2015赣州九校联考)经过点 A(5,2)，B(3，2)，且圆心在直线 2xy30 上的圆的方程为_(2)已知直线 l 的方程是 xy60，A，B 是直线 l 上的两点，且OAB 是正三角形(O 为坐标原点)，则OAB 外接圆的方程是_热点三
6、 直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r，则 dr直线与圆相离(2)判 别 式 法：设 圆 C：(x a)2 (y b)2 r2，直 线 l：Ax By C 0，方 程 组AxByC0，xa2yb2r2 消去 y，得关于 x 的一元二次方程根的判别式，则直线与圆相离0.2圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离设圆 C1：(xa1)2(yb1)2r21，圆 C2：(xa2)2(yb2)2r22，两圆心之间的距离为 d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1
7、)dr1r2两圆外离；(2)dr1r2两圆外切；(3)|r1r2|dr1r2两圆相交；(4)d|r1r2|(r1r2)两圆内切；(5)0d0)上一动点，PA，PB 是圆 C：x2y22y0 的两条切线，A，B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为()A3B.212C2 2D2思维升华(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到
8、圆心的距离问题跟踪演练 3(1)已知在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2y22y3，直线 l 过点(1,0)且与直线 xy10 垂直若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，则OAB 的面积为()A1B.2C2D2 2(2)两个圆 C1：x2y22axa240(aR)与 C2：x2y22by1b20(bR)恰有三条公切线，则 ab 的最小值为()A6B3C3 2D31已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点(1,0)且被 x 轴分成两段弧长比为 12，则圆 C 的方程为()A(x 33)2y243B(x 33)2y213Cx2(y 33)243Dx2(y 33)2132已知点 A(
9、2,0)，B(0,2)，若点 C 是圆 x22axy2a210 上的动点，ABC 面积的最小值为 3 2，则 a 的值为()A1B5C1 或5D53若圆 x2y24 与圆 x2y2ax2ay90(a0)相交，公共弦的长为 2 2，则 a_.提醒：完成作业 专题六 第 1 讲二轮专题强化练专题六第 1 讲 直线与圆A 组 专题通关1直线 l 过点(1,2)且与直线 2x3y10 垂直，则 l 的方程是()A3x2y10B3x2y70C2x3y50D2x3y802若直线 ykx2k 与圆 x2y2mx40 至少有一个交点，则 m 的取值范围是()A0，)B4，)C(4，)D2,43过 P(2,0)
10、的直线 l 被圆(x2)2(y3)29 截得的线段长为 2 时，直线 l 的斜率为()A 24B 22C1D 334若圆 O：x2y24 与圆 C：x2y24x4y40 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程是()Axy0Bxy0Cxy20Dxy205已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A5 24B.171C62 2D.176已知圆 O：x2y25，直线 l：xcos ysin 1(00)上，与直线 2xy10 相切，则面积最小的圆的方程为()A(x2)2(y1)2
11、25B(x2)2(y1)25C(x1)2(y2)225D(x1)2(y2)2512已知圆面 C：(xa)2y2a21 的面积为 S，平面区域 D：2xy4 与圆面 C 的公共区域的面积大于12S，则实数 a 的取值范围是()A(，2)B(，0)(0，)C(1,1)D(，1)(1,2)13(2015辽宁师范大学附中期中)若圆 x2y24x4y100 上恰有三个不同的点到直线 l：ykx 的距离为 2 2，则 k_.14已知圆 C：(x1)2(y2)225，直线 l：(2a1)x(a1)y7a40，其中 aR.(1)求证：不论实数 a 取何值，直线 l 和圆 C 恒有两个交点；(2)求直线 l 被
12、圆 C 截得的线段最短时，直线 l 的方程和最短的弦长；(3)求过点 M(6，4)且与圆 C 相切的直线方程学生用书答案精析专题六 解析几何 第 1 讲 直线与圆高考真题体验1D 圆方程可化为(x1)2(y1)21，该圆是以(1,1)为圆心，以 1 为半径的圆，直线 3x4yb 与该圆相切，|3141b|32421，解得 b2 或 b12，故选 D.22解析 如图，过 O 点作 ODAB 于 D 点，在 RtDOB 中，DOB60，DBO30，又|OD|30405|51，r2|OD|2.34 15解析 圆心 C(1，a)到直线 axy20 的距离为|aa2|a21.因为ABC 为等边三角形，所
13、以|AB|BC|2，所以(|aa2|a21)21222，解得 a4 15.41,1解析 如图，过点 M 作O 的切线，切点为 N，连接 ON.M 点的纵坐标为 1，MN 与O 相切于点 N.设OMN，则 45，即 sin 22，即ONOM 22.而 ON1，OM 2.M(x0,1)，x201 2，x201，1x01，x0 的取值范围为1,1热点分类突破例 1(1)C(2)B解析(1)当 k4 时，直线 l1 的斜率不存在，直线 l2 的斜率存在，则两直线不平行；当 k4时，两直线平行的一个必要条件是3k4kk3，解得 k3 或 k5.但必须满足 1k432(截距不相等)才是充要条件，经检验知满
14、足这个条件(2)依题意，得|3m5|m21|m7|m21.所以|3m5|m7|.所以(3m5)2(m7)2，所以 8m244m240.所以 2m211m60.所以 m12或 m6.跟踪演练 1 C 由题意可知，直线 AC 和直线 BC 关于直线 yx1 对称设点 B(1,2)关于直线 yx1 的对称点为 B(x0，y0)，则有y02x011，y022x0121x01，y00，即 B(1,0)因为 B(1,0)在直线 AC 上，所以直线 AC 的斜率为 k103112，所以直线 AC 的方程为 y112(x3)，即 x2y10.故 C 正确例 2(1)D(2)B解析(1)因为圆 C 经过(1,0
15、)，(3,0)两点，所以圆心在直线 x2 上，又圆与 y 轴相切，所以半径 r2，设圆心坐标为(2，b)，则(21)2b24，b23，b 3，所以选 D.(2)由已知，可设圆 M 的圆心坐标为(a,0)，a2，半径为 r，得a22 32r2，|2a4|45r，解得满足条件的一组解为a1，r2，所以圆 M 的方程为(x1)2y24.故选 B.跟踪演练 2(1)(x2)2(y1)210(2)(x2)2(y2)28解析(1)由题意知 KAB2，AB 的中点为(4,0)，设圆心为 C(a，b)，圆过 A(5,2)，B(3，2)两点，圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上则 ba412，2ab30，解得a
16、2，b1C(2,1)，r|CA|522212 10.所求圆的方程为(x2)2(y1)210.(2)设OAB 的外心为 C，连接 OC，则易知 OCAB，延长 OC 交 AB 于点 D，则|OD|3 2，且AOB 外接圆的半径 R|OC|23|OD|2 2.又直线 OC 的方程是 yx，容易求得圆心 C 的坐标为(2,2)，故所求圆的方程是(x2)2(y2)28.例 3(1)A(2)D解析(1)对于直线方程 2x(y3)m40(mR)，取 y3，则必有 x2，所以该直线恒过定点 P(2,3)设圆心是 C，则易知 C(1,2)，所以 kCP32211，由垂径定理知 CPMN，所以 kMN1.又弦
17、MN 过点 P(2,3)，故弦 MN 所在直线的方程为 y3(x2)，即 xy50.(2)如图，把圆的方程化成标准形式得 x2(y1)21，所以圆心为(0,1)，半径为 r1，四边形 PACB 的面积 S2SPBC，所以若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 SPBC 的最小值为 1.而 SPBC12r|PB|，即|PB|的最小值为 2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线 kxy40 的距离 d，此时 d|5|k21 1222 5，即 k24，因为 k0，所以 k2.跟踪演练 3(1)A(2)C解析(1)因为圆 C 的标准方程为 x2(y1)24，圆心为 C(0，1)，半径 r2，直线
18、l 的斜率为1，其方程为 xy10.圆心 C 到直线 l 的距离 d|011|2 2，弦长|AB|2 r2d22 422 2，又坐标原点 O 到线段 AB 的距离为 12，所以 SOAB122 2 121，故选 A.(2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程分别为圆 C1：(xa)2y24，圆 C2：x2(yb)21，所以|C1C2|a2b2213，即 a2b29.由(ab2)2a2b22，得(ab)218，所以3 2ab3 2，当且仅当“ab”时取“”所以选 C.高考押题精练1C 由已知得圆心在 y 轴上，且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为23.设圆心坐标为(0，a)，半径为 r，
19、则 rsin31，rcos3|a|，解得 r 23，即 r243，|a|33，即 a 33，故圆 C 的方程为 x2(y 33)243.故应选 C.2C 圆的标准方程为(xa)2y21，圆心 M(a,0)到直线 AB：xy20 的距离为 d|a2|2，圆上的点到直线 AB 的最短距离为d1|a2|2 1，(SABC)min122 2|a2|223 2，解得 a1 或5.3.102解析 联立两圆方程x2y24，x2y2ax2ay90，可得公共弦所在直线方程为ax2ay50，故圆心(0,0)到直线 ax2ay50 的距离为|5|a24a2 5a(a0)故 222 5a 22 2，解得 a252，因
20、为 a0，所以 a 102.二轮专题强化练答案精析专题六 解析几何 第 1 讲 直线与圆1A 方法一 由题意可得 l 的斜率为32，所以直线 l 的方程为 y232(x1)，即 3x2y10.方法二 设直线 l 的方程为 3x2yC0，将点(1,2)代入，得 C1，所以 l 的方程是 3x2y10.2C 由 yk(x2)得直线恒过定点(2,0)，因此可得点(2,0)必在圆内或圆上，故有(2)2022m40m4.又由方程表示圆的条件，故有 m2440m4.综上可知 m4.故选 C.3A 由题意得直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 yk(x2)，即 kxy2k0.由点到直线的距离
21、公式得，圆心到直线 l 的距离 d|2k32k|k213k21，由圆的性质可得 d212r2，即(3k21)2129，解得 k218，即 k 24.4C 圆 x2y24x4y40，即(x2)2(y2)24，圆心 C 的坐标为(2,2)直线 l 过 OC 的中点(1,1)，且垂直于直线 OC，易知 kOC1，故直线 l 的斜率为 1，直线 l的方程为 y1x1，即 xy20.故选 C.5A 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1(2，3)，则(|PC1|PC2|)min|C1C2|5 2，所以(|PM|PN|)min5 2(13)5 24.64解析
22、圆心 O 到直线 l 的距离 d1cos2sin21，而圆 O 半径为 5，所以圆 O 上到 l 的距离等于 1 的点有 4 个72解析 依题意，不妨设直线 yxa 与单位圆相交于 A，B 两点，则AOB90.如图，此时 a1，b1，满足题意，所以 a2b22.8(1)(x1)2(y 2)22(2)21解析(1)由题意，设圆心 C(1，r)(r 为圆 C 的半径)，则 r2|AB|22122，解得 r 2.所以圆 C 的方程为(x1)2(y 2)22.(2)方法一 令 x0，得 y 21，所以点B(0，21)又点 C(1，2)，所以直线 BC 的斜率为 kBC1，所以过点 B 的切线方程为 y
23、(21)x0，即 yx(21)令 y0，得切线在 x 轴上的截距为 21.方法二 令 x0，得 y 21，所以点B(0，21)又点 C(1，2)，设过点 B 的切线方程为 y(21)kx，即 kxy(21)0.由题意，得圆心 C(1，2)到直线 kxy(21)0 的距离 d|k 2 21|k21r 2，解得 k1.故切线方程为 xy(21)0.令 y0，得切线在 x 轴上的截距为 21.9解 解方程组3xy10，xy30，得交点 P(1,2)若点 A，B 在直线 l 的同侧，则 lAB.而 kAB323512，由点斜式得直线 l 的方程为y212(x1)，即 x2y50.若点 A，B 分别在直
24、线 l 的异侧，则直线 l 经过线段 AB 的中点(4，52)，由两点式得直线 l 的方程为y2x152241，即 x6y110.综上所述，直线 l 的方程为x2y50 或 x6y110.10解(1)由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1，因为 l 与 C 交于两点，所以|2k31|1k2 1.解得4 73k0)，则半径 r2a2a1522a2a15 5，当且仅当 2a2a，即 a1 时取等号所以当 a1 时圆的半径最小，此时 r 5，C(1,2)，所以面积最小的圆的方程为(x1)2(y2)25，故选 D.12D 依题意并结合图形分析可知(图略)，圆面 C：(xa)2y2a21 的圆心(a,
25、0)应在不等式 2xy4 表示的平面区域内，且(a,0)不在直线 2xy4 上，即有a210，2a04，由此解得 a1 或 1a2.因此，实数 a 的取值范围是(，1)(1,2)132 3解析 x2y24x4y100，即(x2)2(y2)218，其圆心为 C(2,2)，半径为 r3 2.圆 x2y24x4y100 上恰有三个不同的点到直线 l：ykx 的距离为 2 2，应满足图中 A，B，D 到直线 l：ykx 的距离为 2 2，所以，C(2,2)到直线 l：ykx 的距离为 3 2|2k2|1k22 2，整理得 k24k10，解得 k2 3.14(1)证明 方法一 在直线 l 的方程中，分别取 a0，a1，得 xy40，x30，联立方程得直线 l 恒过定点 N(3,1)因圆心 C 的坐标为(1,2)，圆 C 的半径为 r5，|CN|312122 525，所以 M(6，4)在圆外，过点 M(6，4)且与圆 C 相切的直线有两条当斜率不存在时，所求的切线为 x6；当斜率存在时，设所求的切线方程为 y4k(x6)，即 kxy6k40，由|k26k4|k215，得 k1160，这时，所求的切线方程为 11x60y1740.综上，所求的直线方程为 x6 或 11x60y1740.