1、4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较新课程标准解读核心素养1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型数学抽象2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义逻辑推理3.能根据具体问题选择合适的函数模型数学建模一家世界500强公司曾经出过这样的一道面试题：现在有一套房子，价格200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能一共攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？A5年B7年C8年 D9年E永远买不起问题(1)房子每年的价格满足什么函数关系？(2)这个人每年的收入之和满足什么函数关系？(3)你能给出这道题的答案吗？知识点指
2、数函数、幂函数、对数函数增长的比较1当b1，c0时，即使b很接近于1，c很接近于0，都有yxc比ylogbx增长快2当a1，c0时，即使a很接近于1，c很大，都有yax比yxc增长快3随着自变量x的增大，yax的函数值增长远远大于yxc的函数值增长；而yxc的函数值增长又远远大于ylogbx的函数值增长4当底数a1时，由于指数函数yax的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸”三种函数模型的再理解(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型 存在一个x0，当xx0时，为什么axxnlogax(a1，n0
3、)一定成立？提示：当a1，n0时，由yax，yxn，ylogax的增长速度，存在x0，当xx0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有axxnlogax.1下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()Ayex Byln xCy3x Dyex答案：A2某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用()A一次函数模型 B二次函数模型C指数函数模型 D对数函数模型答案：D3四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101
4、226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数型函数变化的变量是_解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象可知变量y2关于x呈指数型函数变化答案：y2几类函数模型的比较例1(链接教科书第117页练习1题)下面对函数f(x)logx，g(x)与h(x)x在区间(0，)上的
5、衰减情况说法正确的是()Af(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢Bf(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快Cf(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢Df(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快解析画出三个函数的图象如图，由图象可知选C.答案C一般地，在(0，)上，尽管函数yax(0a1)，yxn(n0)，ylogax(0a1)都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，函数yax(0a1)的衰减速度会越来越慢，并且一开始远远
6、大于函数yxn(n0)的衰减速度，但是它们的函数值始终大于0；而对于函数ylogax(0a1时，函数值小于0，会越来越小因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxaxxn(0a1，nx0时，若a1，n0，则logaxxnax；若0a1，n0，则logaxaxxn.而当x0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变；(2)指数函数模型：指数函数模型yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”；(3)对数函数模型：对数函数模型ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓；(4)幂函数模
7、型：幂函数yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间 跟踪训练四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i1，2，3，4)关于时间x(x1)的函数关系是f1(x)x2，f2(x)2x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是()Af1(x)x2Bf2(x)2xCf3(x)log2x Df4(x)2x解析：选D由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大故选D.函数模型的构建例3(链接教科书第117页习题2题)某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择hmtb与hloga
8、(t1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7解在坐标轴上标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理不妨将(2，1)代入hloga(t1)中，得1loga3，解得a3.故可用函数hlog3(t1)来拟合这个实际问题当t8时，求得hlog3(81)2，故可预测第8年松树的高度为2米函数模型构建的一般步骤(1)收集数据；(2)根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；(
9、4)选择其中的几组数据求出函数模型；(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)；若符合实际，则进入下一步；(6)用所得函数模型解析实际问题 跟踪训练某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y0.2x, ylog5x，y1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解：作出函数y3，y0.2x，ylog5x，y1.02x的图象(如图所示)观察
10、图象可知，在区间5，60上，y0.2x，y1.02x的图象都有一部分在直线y3的上方，只有ylog5x的图象始终在y3和y0.2x的下方，这说明只有按模型ylog5x进行奖励才符合学校的要求1下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是()Ay2 022ln x Byx2 022Cy Dy2 0222x解析：选D由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数y2 0222x的函数值的增长速度最快故选D.2向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是()解析：选B水深h为自变量，随着h的增大，A项中V的增长速度越来越快，C项中先
11、慢后快，D项中增长速度不变，只有B项中V的增长速度越来越慢3某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份()A甲食堂的营业额较高B乙食堂的营业额较高C甲、乙两食堂的营业额相同D不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高解析：选A设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m8am(1x)8，则5月份甲食堂的营业额y1m4a，乙食堂的营业额y2m(1x)4.因为yy(m4a)2m(m8a)16a20，所以y1y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高7
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