1、第一课 坐 标 系 【网络体系】【核心速填】1.坐标伸缩变换公式 设点P(x,y)为平面直角坐标系中的任意一点,在变换:_的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称 伸缩变换.xx(0)yy(0)，2.极坐标与直角坐标的互化公式 点M直角坐标(x,y)极坐标(,)互化公式 x_,y_ cossin2_,tan_ 22xyy(x0)x3.圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式(a0)a 2acos-2acos 2asin 2acos(-)-2asin 4.直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式 0acosacosasinasinacon()5
2、.柱坐标、球坐标与直角坐标的互化公式 设空间一点P的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(,z),球坐标为(r,),则 空间直角坐标(x,y,z)转换公式柱坐标(,z)球坐标(r,)x_y_z_ ，cossinzx_y_z_ ，rsin cosrsin sinrcos【易错警示】1.关于伸缩变换公式的注意事项(1)伸缩变换不改变点所在的象限,坐标轴上的点经过伸缩变换仍在坐标轴上.(2)求曲线经过伸缩变换后的曲线方程,要分清变换前后的点的坐标,常常运用代入法求解.2.点的直角坐标化为极坐标的注意事项 在化点的直角坐标为极坐标时,一般取0,0,2),即取最小正角,由tan=(x0)求时,必须 根据角
3、的终边经过点(x,y)所在的象限来确定的值.yx类型一 平面直角坐标系【典例1】说出由曲线y=tanx得到曲线y=3tan2x的变换规律,并求出满足其图形变换的伸缩变换.【解析】y=tanx的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,得到y=tan2x.再将其纵坐标伸长为原来的3倍,横坐标 不变,得到曲线y=3tan2x.设变换为 则y=3tan2x,即y=tan2x.12xx(0)yy(0)，3与y=tanx比较,则有=3,=.所以所求的变换为 121xx2y3y.，【方法技巧】伸缩变换公式及其应用(1)设点P(x,y)为平面直角坐标系中的任意一点,在变 换:的作用下,点P(x,y)对应到点 P(x
4、,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩 变换,简称伸缩变换.xx,(0)yy,(0)，(2)求曲线关于伸缩变换公式变换后的曲线方程,一般通过设定变换前与变换后曲线上的点的坐标建立联系,这可以通过上标符号进行区分;椭圆通过适当的伸缩变换可以为圆.直线和椭圆的位置关系问题利用伸缩变换公式变换为直线和圆的位置关系利于解决.【变式训练】1.圆x2+y2=4经过伸缩变换 后的 图形的方程为_.x2xy3y ，【解析】由 代入x2+y2=4得 故圆经过已知伸缩变换后的方程为 答案:1xxx2x21y3yyy3 ，得，2222xyxy41491636，即，22xy1.163622xy116362.在伸缩变换
5、 的作用下某曲线C的方程变为y=cos2x,试求曲线C的方程.1xx21yy2 ，12【解析】由 得 y=cos x，即y=cosx,故曲线C的方程为y=cosx.1xx21yy2 ，1212类型二 极坐标系与极坐标方程【典例2】(2016晋中高二检测)在极坐标系中,已知O1和O2的极坐标方程分别为=2cos,=2asin(a为常数),(1)分别将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)若两圆的圆心距为 ,求a的值.5【解析】(1)将极坐标方程=2cos,=2asin,分别化为直角坐标方程为 x2+y2-2x=0和x2+y2-2ay=0.(2)两圆的圆心坐标分别为O1(1,0)和O2(0,a)
6、,由|O1O2|=,得1+a2=5,解得a=2.5【延伸探究】若本例的条件不变,是否存在实数a,使两圆相切?【解析】因为两圆x2+y2-2x=0和x2+y2-2ay=0都经过原点,且原点与两圆心不共线,所以不存在实数a使两圆相切.【方法技巧】关于点的极坐标与曲线的极坐标方程的问题(1)点与直角坐标之间建立的是一一对应关系,而点与极坐标之间不能建立一一对应关系,在0,极角满足0,2)的条件下,点与极坐标是一一对应的.(2)极坐标系中的曲线问题主要涉及直线、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等问题.将极坐标方程转化为直角坐标方程是解决位置关系、计算距离等问题的关键.【变式训练】1.(
7、2016丰城高二检测)若 是极坐标系中的一点,则 (kZ)四点中与P重合的点有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 P23(，)285Q 2R 2M2333(，)，(，)，(，)，4N 2,2k3()【解析】选D.点 的直角坐标为(-1,),且 (kZ)四点的 直角坐标分别为Q(-1,),R(-1,),M(-1,),N(-1,),所以与P重合的点有4个.P23(，)285Q 2R 2M2333(，)，(，)，(，)，4N 2,2k3()333332.在极坐标系中,求由三条曲线=0,=,cos+sin=1围成的图形的面积.33【解析】曲线cos+sin=1的直角坐标方程为x+y-1=0.它
8、与x轴的交点为B(1,0).曲线=的直角坐标方程为 x-y=0.它们的交点坐标为 所以由三条曲线=0,=,cos+sin=1围成的图形如图所示.33331 3A(,)4 4，33所以S=1133OB h12248 类型三 柱坐标系与球坐标系【典例3】已知点A的柱坐标为 ,求它的直角坐 标与球坐标.(26)4，【解析】由得 故点A的直角坐标为(1,1,).x2cos4x1y2siny14z6z6 ，得，6 故点A的球坐标为 222222rxyz11(6)2 2r2 2z63cos r262 2y1tan 14x1 ，由，得，(2 2).6 4，【方法技巧】1.坐标之间的互化公式 其中0,02,-z+,0.2.极坐标系中的面积距离问题 在极坐标系中涉及距离,面积问题有两种思路:一是将点的极坐标化为直角坐标,利用直角坐标系中的公式解题;二是直接利用图形中极径、极角的关系,结合三角形中的定理解题.【变式训练】设点M的球坐标为 ,求它的柱 坐标.5(2)44，【解析】由 故点M的直角坐标为(-1,-1,),故=5x2sincos44x15y2sinsiny144z2z2cos4 ，得，2221112 tan 11 ，又的终边过点(-1,-1),故=又z=,故点M的柱坐标为 54，25(22).4，