1、数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60）1.为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验先将500件产品编号为000，001，002，499，在随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读为了便于说明，下面摘取了随机数表，附表1的第6行至第8行，即第一个号码为439，则选出的第4个号码是（ ）162277943949544354821737932378844217533157245506887704744767630163785916955567199810507175A. 548B. 443C. 379D. 217【答案】D【解析】
2、【分析】利用随机数法的定义直接求解【详解】选出第6行第8列的数4开始向右读为了便于说明，下面摘取了随机数表，附表1的第6行至第8行，即第一个号码为439，则选出的前4个号码是：439，495，443，217，选出的第4个号码是217故选：D【点睛】本题考查随机数表，考查简单随机抽样的性质等基础知识，属于简单题型.2.某学校有高一、高二、高三三个年级，已知高一、高二、高三的学生数之比为，现从该学校中抽取一个容量为100的样本，从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为，则该学校学生的总数为（ ）A. 200B. 400C. 500D. 1000【答案】B【解析】【分析】求出在整个
3、抽样过程中，每个学生被抽到的概率为，从该学校中抽取一个容量为100的样本，可得该学校学生的总数【详解】从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为，在整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为，从该学校中抽取一个容量为100的样本，该学校学生的总数为，故选：B【点睛】本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，属于基础题3.从装有3个白球，1个红球球除颜色外完全相同不透明箱子中，不放回地随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算出从装有3个白球，1个红球的箱子中，随机取出3个球的取法总数，以及恰好是2个白球，1个红球的取法
4、个数，利用古典概型概率公式，即可得解【详解】从装有3个白球，1个红球的箱子中，随机取出了3个球，共有种不同的方法，其中取出的3个球，恰好是2个白球，1个红球共有种方法，故所求概率.故选：A【点睛】本题考查了组合的应用与古典概型概率的计算，考查了计算求解能力，属于基础题4.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）A. 150B. 200C. 300D. 400【答案】C【解析】【分析】求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的
5、人数【详解】，所以，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为故选C【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想属于基础题5.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为（ ）A. 62，B. 65，62C. 65，D. 65，65【答案】D【解析】【分析】根据频率分布直方图，最高的矩形底边的中点即为众数；从左边开始求各组的频率和，当频率和为0.5时，底边对应的值即为中位数【详解】最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为，前两个矩形的面积为，由于，中位数为故选：D【点睛】本题考查
6、根据频率分布直方图求数据的众数、中位数，属于基础题6.已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组关系数据如下表所示，则下列说法中，正确的个数是（ ）x2468y14m1211当时，y的值必定为9；变量x，y负相关；由表格数据知，该回归直线必过点；A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】通过回归方程得到的函数值至少预测值，不是精准值；，所以变量x，y负相关求出，代入回归方程解出，列方程解出m，再判断每个选项是否正确【详解】当时，回归方程只是一种预测值，不是精确值，所以错误；线性回归方程为，所以变量x，y之间呈负相关关系，所以正确；，故该回归直线必过点，故正确；又
7、，解得，故错误；所以正确的有2个故选：B【点睛】本题考查回归直线方程的理解与简单辨析，理解正负相关，以及回归直线必过样本中心点等基础知识，属于基础题型.7.4名学生和3位老师排成一排合影，恰有两位老师相邻的不同排法有（ ）A. 240种B. 2880种C. 720种D. 960种【答案】B【解析】【分析】先将所有学生排列，然后将3位老师中2位捆绑一起，再与另一个老师插入到2个空中，根据分步乘法原理即可计算结果【详解】将所有学生先排列，有种排法，然后将3位老师中2位捆绑一起，有种方法，再与另一个老师插入到2个空中，有种方法，共有种排法，故选：B【点睛】本题考查排列组合的综合应用，考查分步乘法原理
8、，考查捆绑法，插空法来解决问题，考查了学生逻辑推理和运算求解能力.8.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由，再由其展开式求出第三项系数即可.【详解】解：因为第三项为所以故选D.【点睛】本题考查了二项式定理的系数问题，属于基础题.9.已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据( )A. 一样稳定B. 变得比较稳定C. 变得比较不稳定D. 稳定性不可以判断【答案】C【解析】【分析】根据均值定义列式计算可得的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得，从而得方差然后判断【详解】由题可得：平均值为2，由，所以变得不稳定.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的计算
9、公式，考查方差的含义属于基础题10.从3，5，7中选两个数字，从0，4，6中选两个数字，组成无重复数字的四位数其中偶数的个数为（ ）A. 36个B. 72个C. 82个D. 96个【答案】D【解析】【分析】分类讨论，先取奇数，再考虑取偶数，同时考虑分0是否取到，由此可得结论【详解】从3，5，7中选两个数字，共有3种取法，从0，4，6中选两个数字，假设没有取到0，即取4、6，末位是4或6，两种放法，故偶数共有个，假设取到了0，另一个偶数的选取有两种取法，故偶数共有个，综上，故偶数共有个.故选：D【点睛】本题考查排列知识，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于常考题11.的展开式
10、中有理项共有（ ）A. 4项B. 3项C. 2项D. 1项【答案】C【解析】【分析】由题意可得二项展开式共有12项，要求展开式中的有理项，只要在通项中，让为整数，求解符合条件的r即可.【详解】由题意可得二项展开式的通项根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r3，9共有2项，故选C.【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项，找出符合条件的项数是关键12.重庆一中为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似最强大脑的赛，两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分假设每局比赛队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时队
11、的得分高于队的得分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：分三种情况求解：即A队5分B队0分；A队4分B队1分；A队3分B队2分，然后根据互斥事件的概率公式可得所求详解：（1）A队5分B队0分，即A队四局全胜，概率为（2）A队4分B队1分，即A队一、二、四局中败1局，第3局胜，其概率为.（3）A队3分B队2分，包括两种情况：A队第3局败，其余各局胜；A队第一、二、四局中胜1局，第3局胜其概率为由互斥事件的概率加法公式可得所求概率为故选A点睛：求解概率问题时首先要通过读题理解题意，分清所求概率事件及对应的概率类型，然后选择相应的公式求解求解时对于复杂事件的概率要合理分解为简
12、单事件的概率处理，同时要合理选择计数的方法，使得问题的解决顺利进行二、填空题（本大题共4小题，共20）13.已知随机变量服从正态分布，则_.【答案】8【解析】【分析】由已知求得，再由得答案【详解】随机变量服从正态分布，则故答案为8【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查方差的求法，是基础题14.展开式中的系数为_；所有项的系数和为_【答案】 (1). -80 (2). -1【解析】【分析】令可得所有项的系数和，根据通项公式可写出含的系数.【详解】因为，令，所以的系数为-80，设，令，则 ，所以所有项的系数和为-1.【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，二项式所有项的
13、系数和，属于中档题.15.位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则电子兔移动五次后位于点的概率是_【答案】【解析】【分析】由题意转化条件得质点P向左移动3次，向右移动2次，再利用独立重复实验的概率公式计算即可得解【详解】根据题意，质点P移动五次后位于点，其中向左移动3次，向右移动2次；其中向左平移的3次有种情况，剩下的2次向右平移；故所求概率为故答案：【点睛】本题考查了独立重复试验的概率计算，考查了运算求解能力，关键是对于题意的转化，属于基础题.16.“2019曹娥江国际马拉松”在上虞举行，现要选派
14、5名志愿者服务于四个不同的运动员救助点，每个救助点至少分配1人，若志愿者甲要求不到A救助点，则不同的分派方案有_种.【答案】180【解析】【分析】先对甲单独服务和甲与其他人一起服务分类计数，再考虑甲要求不到A救助点计算两类的方法种数，求得不同的分派方案种数.【详解】根据志愿者甲的特殊要求，应按甲单独服务、甲与其他人一起服务分类计数.若甲单独服务，则甲有3种选法，其余各人先从另4人中选2人组团，再分配给余下的3个救助点，共种方法；若甲与其他人组团服务，则从4人中选1人与甲组团，有种选法，再定求助点有种方法，其余3人救助点的选法有种，故共有（种）方法.故答案为：180【点睛】本题考查排列组合与计数
15、原理,合理分类，特殊元素和位置的考虑是解决问题的关键，思路过程不清极易出现遗漏与重复计数的错误.三、解答题（本大题共6小题，共70）17.甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件，求事件发生的概率；（2）用表示甲班总得分，求随机变量的概率分布和数学期望【答案】（1）（2）分布列见解析，期望为20【解析】【分析】利用相互独立事件概率公式求解即可;由题意知,随机变量可能的取值为0，10，20，30,分别求出对应的
16、概率,列出分布列并代入数学期望公式求解即可.【详解】（1）由相互独立事件概率公式可得, （2）由题意知,随机变量可能的取值为0，10，20，30.，,所以，的概率分布列为0102030所以数学期望.【点睛】本题考查相互独立事件概率公式和离散型随机变量的分布列及其数学期望;考查运算求解能力;确定随机变量可能的取值,求出对应的概率是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.18.在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于分的选手将直接参加竞赛选拔赛.已知成绩合格的名参赛选手成绩的频率分布直
17、方图如图所示，其中的频率构成等比数列.（1）求的值；（2）估计这名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有名选手进入竞赛选拔赛，记这名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量，求的分布列和数学期望.【答案】(1) ；(2)84；(3)分布列见解析，1.【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图的性质列式求解即可.(2) 利用频率分布直方图求平均数的方法求解即可.(3)易得随机变量满足二项分布,再根据二项分布的分布列与数学期望求解即可.【详解】解:(1)由题意,得解得(2)估计这名选手的平均成绩为.(3)
18、由题意知,则可能取值为,所以所以的分布列为故数学期望为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的运用与二项分布的分布列与数学期望,属于中等题型.19.某工厂为了对本工厂工人的理论成绩与实践能力进行分析，决定从本工厂工人中随机抽取一个样本容量为7的样本进行分析如果随机抽取的7名工人的理论成绩与实践能力值单位：分对应如下表：工人序号i1234567理论成绩60657075858790实践能力值70778085908693（1）求这7名工人的理论成绩与实践能力值的中位数、极差；（2）若规定85分以上包括85分为优秀，从这7名工人中抽取3名工人，记3名工人中理论成绩和实践能力值均为优秀的人数为X，求X的
19、分布列和期望；（3）根据下表数据，求实践能力值y关于理论成绩x的线性回归方程系数精确到附：线性回归方程中，7683812526【答案】（1）中位数为75，极差30；中位数为85，极差为23；（2）分布列详见解析，数学期望为；（3）【解析】【分析】（1）根据中位数和极差公式求解.（2）根据7名工人中理论成绩和实践能力值均为优秀的人数为3名，则的所有可能取值为0，1，2，3，然后分别求得相应概率，列出分布列求期望.（3）根据表中数据代入公式，求得，然后写出回归方程.【详解】（1）这7名工人的理论成绩的中位数为75，极差为；实践能力值的中位数为85，极差为（2）因为7名工人中理论成绩和实践能力值均为
20、优秀的人数为3名，的所有可能取值为0，1，2，3，则，的分布列为X0123P（3）由公式得，实践能力值y关于理论成绩x的线性回归方程为【点睛】本题主要考查中位数，极差，离散型随机变量的分布列以及回归方程的求法，还考查运算求解的能力，属于中档题20.为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系列房价调控政策某市为拟定出台“房产限购的年龄政策”为了解人们对“房产限购年龄政策”的态度，对年龄在岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如下：年龄支持的人数155152817（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不
21、超过的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异；44岁以下44岁及44岁以上总计支持不支持总计（2）若以44岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加政策听证会现从这8人中随机抽2人抽到1人是44岁以下时，求抽到的另一人是44岁以上的概率记抽到44岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望参考数据：，其中【答案】（1）列联表详见解析，在犯错误的概率不超过的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异；（2）；分布列详见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）由统计数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结
22、论；（2）求抽到1人是44岁以下的概率，再求抽到1人是44岁以下且抽到另1人是44岁以上的概率；根据题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量X的分布列，计算数学期望值【详解】（1）由统计数据填列联表如下，44岁以下44岁及44岁以上合计支持354580不支持15520合计5050100计算观测值，所以在犯错误的概率不超过的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异；（2）由题意可知抽取的这8人中，44岁以下的有6人，44岁以上的有2人，抽到1人是44岁以下的概率为，抽到1人是44岁以下且另一人是44岁以上的概率为故所求概率为根据题意，X的可能取值是0，1
23、，2；计算，可得随机变量X的分布列为：X012P故数学期望为【点睛】本题考查了独立性检验，条件概率，离散型随机变量的分布列与数学期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题21.为增强学生体质，合肥一中组织体育社团，某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团，每人只能从两个社团中选择其中一个社团，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团，掷出点数为5或6的人参加篮球社团，掷出点数小于5的人参加足球社团（1）求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率；（2）用，分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数，记随机变量X为和之差的绝对值，求随机变量X的分布列与数学期望 【答案】（1）；（2）
24、分布列详见解析，【解析】【分析】（1）根据题意可知每个人参加篮球社团的概率为，再利用独立事件同时发生的概率公式得到恰有1人参加篮球社团的概率即可得解；（2）根据条件求出X的所有可能取值，并求出概率即得分布列，再根据数学期望公式即可得解【详解】（1）依题意，这4个人中，每个人参加篮球社团的概率为，参加足球社团的概率为，设“这4个人中恰有i个人参加篮球社团”为事件1，2，3，则，1，2，3，这4个人中恰有1个人参加篮球社团的概率为：；（2）由已知得X的所有可能取值为0，2，4，的分布列为：【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率求法，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题22.某小店每天以每份
25、5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理. ()若小店一天购进16份，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式；()小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？【答案】()；()(i)答案见
26、解析；(ii)17份.【解析】试题分析：() 分和两种情况分别求得利润，写成分段的形式即可得到所求()(i) 由题意知的所有可能的取值为62，71，80，分别求出相应的概率可得分布列和期望； (ii)由题意得小店一天购进17份食品时，利润的所有可能取值为58，67,76,85，分别求得概率后可得的分布列和期望，比较的大小可得选择的结论试题解析：（）当日需求量时，利润， 当日需求量时，利润， 所以关于的函数解析式为 （）（i）由题意知所有可能的取值为62，71，80， 并且，的分布列为：X627180P010207元 （ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为Y58677685P0102016054的数学期望为元 由以上的计算结果可以看出，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润所以小店应选择一天购进17份
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